2022—2023學年（上）期末考試高2024屆數(shù)學試題考試說明：1. 考試時間：120分鐘2. 試題總分：150分3. 試卷頁數(shù)：4頁一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. 已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，則（    ）．A. 90 B. 80 C. 60 D. 30【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的片斷和性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，知，，，…成等差數(shù)列，即，所以．故選：A．2. 若，，則等于（    ）A. 5 B.  C. 7 D. 【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的四則運算與數(shù)量積的坐標表示即可求解.【詳解】∵，，∴兩式相加得，∴，∴，∴，故選：B．3. 已知拋物線的焦點為F，，則為（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】確定焦點，再利用兩點間距離公式計算得到答案.【詳解】拋物線，即，焦點，，.故選：D4. 已知點在雙曲線上，若兩點關(guān)于原點對稱，過右焦點，且，則雙曲線的離心率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，可知，由，設(shè)，再由雙曲線的定義可得，然后利用勾股定理列方程可求得，從而可求出的關(guān)系，進而可求出離心率【詳解】解：設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，可知，設(shè)，解得.故選：A.5. 等比數(shù)列為遞減數(shù)列，若，，則（    ）A.  B.  C.  D. 6【答案】A【解析】【分析】，可得與為方程的兩個根，又，解得，，再利用通項公式即可得出.【詳解】∵等比數(shù)列為遞減數(shù)列，，，∴與為方程的兩個根，解得，或，，∵，∴，，∴，則，故選:A.6. 已知各棱長均為的四面體中， 是的中點，直線，則的最小值為（ ）A. 1＋ B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】將旋轉(zhuǎn)至與共面，連結(jié)，則它與的交點，即為使取最小值的點，然后在中利用余弦定理求出的值.【詳解】如圖，將旋轉(zhuǎn)至與共面，連結(jié)，則它與交點，即為使取最小值的點．易知，在中由余弦定理得，從而由平方關(guān)系得，在中由余弦定理得，所以．【點晴】本題考查空間求線段和差的最值問題，一般轉(zhuǎn)化到同一個平面上處理，結(jié)合三角形的正弦、余弦定理求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7. 分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”.按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖.若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（    ）A. 110 B. 128 C. 144 D. 89【答案】C【解析】【分析】表示第n行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個數(shù)，由題意可得，，根據(jù)初始值，由此遞推即可求得結(jié)果.【詳解】已知表示第n行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個數(shù)，則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和一個黑圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和2個黑圈，所以，，又因為，，所以，；所以，；，；，；，；.故選：C.8. 設(shè)橢圓的方程為，斜率為k的直線l不經(jīng)過原點O，且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，下列結(jié)論正確的是（    ）A. 直線l與OM一定垂直B. 若直線l方程為，則.C. 若直線l方程為，則點M坐標為D. 若點M坐標為，則直線l方程為【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用點差法可得，判斷A正確；結(jié)合弦長的求解方法求出，判斷B錯誤；利用點差法的結(jié)論可以求出，判斷C正確；利用點差法的結(jié)論可以求出，進而判斷D錯誤.【詳解】不妨設(shè)坐標為，則，兩式作差可得：，設(shè)，則.對A：，故直線不垂直，則A錯誤；對B：若直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，可得：，解得，故，則，故B錯誤；對C：若直線方程為y=x+1，故可得，即，又，解得，即，故C正確；對：若點M坐標為,則，則，又過點，則直線的方程為，即，故錯誤.故選：C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9. 已知動直線與圓，則下列說法正確的是（    ）A. 直線過定點B. 圓的圓心坐標為C. 直線與圓的相交弦的最小值為D. 直線與圓的相交弦的最大值為4【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識對各選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，直線，即，令，得，即直線過定點，故A正確；對于B，圓，即，圓心坐標為，故B錯誤；對于C，因為，所以直線所過定點在圓的內(nèi)部，不妨設(shè)直線過定點為，當直線與圓的相交弦的最小時，與相交弦垂直，又因為，所以相交弦的最小為，故C正確；對于D，直線與圓的相交弦的最大值為圓直徑4，故D正確.故選：ACD10. 已知橢圓與雙曲線，下列關(guān)于兩曲線的說法正確的是（    ）A. 的長軸長與的實軸長相等 B. 的短軸長與的虛軸長相等C. 焦距相等 D. 離心率不相等【答案】CD【解析】【分析】利用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】由題意可知，橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，當時，，，雙曲線的焦點在軸上，其實軸長為，虛軸長為，焦距為，離心率為.故的長軸長與的實軸長不相等，的短軸長與的虛軸長不相等，與的焦距相等，離心率不相等．故選：CD．11. 已知數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列的前項和為，那么下列選項正確的是（    ）A. 數(shù)列是等比數(shù)列 B. 數(shù)列的通項公式為C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)的關(guān)系，可判斷是否為等比數(shù)列，進而可得的通項公式，應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項和得，再寫出通項，應(yīng)用裂項法求，即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題設(shè)知：，則且，即是等比數(shù)列；∴，且，又，∴.故選：ABD.12. 已知為正四棱柱，底面邊長為2，高為4，E，F分別為，的中點.則下列說法錯誤的是（    ）A. 直線與平面所成角的正弦值為B. 平面平面C. 直線EF被正四棱柱的外接球截得的弦長為D. 以D為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線長為【答案】ABD【解析】【分析】是直線與平面所成角，計算A錯誤，平面平面，B錯誤，，球心到的距離為，故弦長為，C正確，交線長為，D錯誤，得到答案.【詳解】對選項A：平面，故是直線與平面所成角，，錯誤；對選項B：，平面，平面，故平面，同理平面，，故平面平面，錯誤；對選項C：外接球半徑為，球心到的距離為，故弦長為，正確；對選項D：平面到球心距離為，交線為圓的部分，如圖所示，圓半徑為，交線長為，錯誤.故選：ABD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13. 以為圓心，且與直線相切的圓的標準方程是______.【答案】【解析】【分析】由相切關(guān)系得圓的半徑，得圓的標準方程.【詳解】圓心到切線的距離，所以圓的半徑，所以圓的標準方程為.故答案為：.14. 線段AB，其中，，過定點作直線l與線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】計算，，得到范圍.【詳解】，，，故，，兩點之間橫坐標不包含，故直線l的斜率的取值范圍是.故答案為：15. 數(shù)列滿足下列條件：，且，恒有，則______．【答案】248【解析】【分析】由條件，恒有，得出，按照此規(guī)律計算到，再分組求和即可得出答案．【詳解】， ，故答案為：248．16. 圓錐曲線有良好的光學性質(zhì)，光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點（如左圖）；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓：和雙曲線：在y軸右側(cè)的一部分（實線）圍成.光線從橢圓上一點出發(fā)，經(jīng)過點，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點依次為，，，，…若，重合，則光線從到所經(jīng)過的路程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線的光學性質(zhì)，結(jié)合它們的定義列式計算作答.【詳解】橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，由橢圓的光學性質(zhì)知，，由雙曲線的光學性質(zhì)知，，而，重合，因此光線從到所經(jīng)過的路程：，光線從到所經(jīng)過的路徑重復光線從到所經(jīng)過的路徑，所以光線從到所經(jīng)過的路程為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及圓錐曲線上的點與焦點距離的問題，認真分析題意，正確運用好橢圓、雙曲線、拋物線的定義是關(guān)鍵.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17. 記為等差數(shù)列的前n項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并求的最大值.【答案】（1）    （2），9【解析】【分析】（1）根據(jù)得到，計算，得到通項公式.（2）確定，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案.【小問1詳解】，，從而，即，，所以，故.【小問2詳解】，時有最大值9.18. 已知點，直線l：，圓C：.（1）若連接點D與圓心C的直線與直線l垂直，求實數(shù)a的值；（2）若點P為x軸上一動點，求的最小值，并寫出取得最小值時點P的坐標.【答案】（1）    （2）.【解析】【分析】（1）由圓的一般方程寫出圓心、半徑，運用兩直線垂直可求得a的值.（2）求點關(guān)于線的對稱點，進而求得的最小值，運用點斜式寫出直線方程，再求其與x軸交點.【小問1詳解】圓C：，∴，∴，∵，∴，∴.【小問2詳解】點關(guān)于x軸的對稱點為，則，當且僅當P、C、三點共線時等號成立，此時，，則直線方程為：，即，令，得，所以.故的最小值為，此時點P坐標為.19. 在棱長為2的正方體中，M，N，O，P分別為BC，，，的中點.（1）求證：平面；（2）求異面直線BN與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）.【解析】【分析】（1）取BD中點Q，連接MQ，，，確定四邊形為平行四邊形，得到，得到證明.（2）建立空間直角坐標系，計算各點坐標，得到，，根據(jù)向量夾角公式計算得到答案.【小問1詳解】取BD中點Q，連接MQ，，，則，，又因為，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以D為原點，DA、DC、分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系.則，，，，所以，，設(shè)直線BN與所成角，所以，所以異面直線BN與所成角的余弦值為.20. 已知數(shù)列的前n項和滿足條件，其中.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，又，對一切恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）    （2）.【解析】【分析】（1）計算得到，，相減得到，計算，得到通項公式.（2）確定，，利用裂項相消法計算和，確定取值范圍.【小問1詳解】，，兩式相減得，，又，，，數(shù)列是以首項為3，公比為3的等比數(shù)列，.【小問2詳解】，，設(shè)，，，又對一切恒成立，，M的取值范圍為.21. 已知四棱錐（如圖），四邊形ABCD為正方形，面面ABCD，，M為AD中點.（1）求證：；（2）求直線PC與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）運用面面垂直性質(zhì)定理證得面ABCD，以O為原點建立空間直角坐標系，運用空間向量坐標法證明線線垂直.（2）運用空間向量坐標法求線面角的正弦值，再運用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得其余弦值.【小問1詳解】證明：取AB中點O，連接OP，并過點O作BC的平行線OE，交CD于E，則，∵，∴為等邊三角形，又∵O為AB中點，∴，又∵面面ABCD，面面，面，∴面ABCD，∴，以O為原點，OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標系，因為.則，，，，，，所以，所以.【小問2詳解】，，設(shè)平面PBM的一個法向量為，則有，即，令，則，，所以 ，設(shè)直線PC與平面PBM所成角為，則，因為，所以，所以直線PC平面PBM所成角的余弦值為.22. 橢圓C：的兩焦點分別為，，橢圓與y軸正半軸交于點，.（1）求曲線C方程；（2）過橢圓C上一動點P（不在x軸上）作圓O：的兩條切線PC、PD，切點分別為C、D，直線CD與橢圓C交于E、G兩點，求的面積的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）確定，根據(jù)面積得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)，以OP為直徑的圓為，兩圓相減得到CD：，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計算和點到直線的距離得到面積表達式，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到范圍.【小問1詳解】，故，，故，，橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)，以OP為直徑的圓圓心為，半徑為，圓方程為：，整理得到，圓O：，兩式相減得到CD：.由，得到，，設(shè)，，則，，，，設(shè)，，，，上遞增，所以，在上遞增，故在上遞增，故 在上遞增，所以.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了橢圓方程，橢圓中的面積問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用換元的思想簡化函數(shù)解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性求最值是解題的關(guān)鍵.    
 

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