課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十四）  空間幾何體及其表面積、體積一、綜合練——練思維敏銳度1．正三棱錐底面邊長為a，高為a，則此正三棱錐的側(cè)面積為(　　)A.a2　　　　　　　　　 B.a2C.a2   D.a2解析：選A　因?yàn)榈酌嬲切沃懈邽?/span>a，其重心到頂點(diǎn)距離為a×＝a，且棱錐高為a，所以利用勾股定理可得側(cè)棱長為 ＝a，斜高為 ＝，所以側(cè)面積為S＝3××a×＝a2.2.如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為(　　)A．(15＋)π  B．2(15＋)πC．4(15＋)π  D．(15＋4)π解析：選C　S表＝S圓臺(tái)底面＋S圓臺(tái)側(cè)面＋S圓錐側(cè)面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2＝4(15＋)π.故選C.3．魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為π∶4，若“牟合方蓋”的體積為18，則正方體的棱長為(　　)A．18  B．6C．3  D．2解析：選C　因?yàn)?/span>“牟合方蓋”的體積為18，所以該正方體的內(nèi)切球的體積為18×＝π，設(shè)正方體的棱長為a，則該正方體的內(nèi)切球半徑為，所以π×3＝π，解得a＝3，故選C.4．(2021·重慶八中期末)唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝．它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如圖2所示，已知球的半徑為R，酒杯內(nèi)壁表面積為πR2，設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為V1，下部分(半球)的體積為V2，則＝(　　)A．2　　　　  B.          C.　　　　 D．1解析：選C　設(shè)酒杯上部分高為h，則酒杯內(nèi)壁表面積S＝×4πR2＋2πRh＝πR2，解得h＝R，∴V1＝πR2h＝πR3，V2＝×πR3＝πR3，∴＝.5.(多選)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1＝2AB，E是DD1的中點(diǎn)，則(　　)A．△B1EC為直角三角形B．CE∥A1BC．三棱錐C1-B1CE的體積是長方體體積的D．三棱錐C1-B1CD1的外接球的表面積是正方形ABCD面積的6π倍解析：選ACD　令AA1＝2AB＝2a，在△B1EC中，B1E＝a，EC＝a，B1C＝a，所以B1E2＋EC2＝B1C2，則△B1EC為直角三角形，故A正確；因?yàn)?/span>A1B與D1C平行，而CE與D1C相交，所以CE與A1B不平行，故B錯(cuò)誤；三棱錐C1-B1CE的體積為VC1-B1CE＝VB1-C1CE＝××2a×a×a＝，VABCD-A1B1C1D1＝2a3，則三棱錐C1-B1CE的體積是長方體體積的，故C正確；因?yàn)槿忮FC1-B1CD1的外接球就是長方體ABCD-A1B1C1D1的外接球，所以三棱錐C1-B1CD1的外接球半徑R＝＝，三棱錐C1-B1CD1的外接球的表面積為S＝4π×2＝6a2π，又S正方形ABCD＝a2，所以三棱錐C1-B1CD1的外接球的表面積是正方形ABCD面積的6π倍，故D正確，故選A、C、D.6．(2020·全國卷Ⅰ)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為(　　)A．64π  B．48πC．36π  D．32π 解析：選A　如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因?yàn)?/span>      ⊙O1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得AB＝2，故OO1＝2，所以R2＝OO＋r2＝(2)2＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π.故選A.7．(多選)已知四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上下底面均為正方形，其中AB＝2，A1B1＝，AA1＝BB1＝CC1＝2，則下述正確的是(　　)A．該四棱臺(tái)的高為B．AA1⊥CC1C．該四梭臺(tái)的表面積為26D．該四梭臺(tái)外接球的表面積為16π解析：選AD　由棱臺(tái)性質(zhì)，畫出切割前的四棱錐如圖所示，由于AB＝2，A1B1＝，可知△SA1B1與△SAB相似比為1∶2；則SA＝2AA1＝4，AO＝2，則SO＝2，則OO1＝，該四棱臺(tái)的高為，A正確；因?yàn)?/span>SA＝SC＝AC＝4，所以AA1與CC1夾角為60°，不垂直，B錯(cuò)誤；該四棱臺(tái)的表面積為S＝S上底＋S下底＋S側(cè)＝2＋8＋4××＝10＋6，C錯(cuò)誤；由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1上中，由于OO1＝，B1O1＝1，則OB1＝2＝OB，即點(diǎn)O到點(diǎn)B與點(diǎn)B1的距離相等，則r＝OB＝2，該四棱臺(tái)外接球的表面積為16π，D正確，故選A、D.8．已知在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，過A，E，F三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長為________．解析：如圖，延長EF，A1B1，相交于點(diǎn)M，連接AM，交BB1于點(diǎn)H，延長FE，A1D1，相交于點(diǎn)N，連接AN，交DD1于點(diǎn)G，連接FH，EG，可得截面為五邊形AHFEG.因?yàn)?/span>ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體，且E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，易得EF＝3，AG＝AH＝2，EG＝FH＝，截面的周長為AH＋HF＋EF＋EG＋AG＝6＋3.答案：6＋39．已知三棱錐D-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，AD⊥平面ABC，AC＝，BC＝1，cos∠ACB＝sin∠ACB，AD＝2，則球O的表面積為________．解析：由cos∠ACB＝sin∠ACB，sin2∠ACB＋cos2∠ACB＝1，解得sin∠ACB＝，cos∠ACB＝，所以∠ACB＝.因?yàn)?/span>AC＝，BC＝1，所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，即AB2＝3＋1－2××＝1，故AB＝1，所以△ABC為等腰三角形，且∠ABC＝.設(shè)△ABC外接圓半徑為r，由正弦定理得＝2r，解得r＝1，設(shè)球O的半徑為R，△ABC的外心為O′，連接OO′，設(shè)OO′＝h，過O作OM⊥AD，連接O′A，OA，OD，則在△O′OA中，h2＋12＝R2，①在△OMD中，(2－h)2＋12＝R2，②聯(lián)立①②解得R＝，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝4π()2＝8π.答案：8π10．已知一個(gè)圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面面積為________．解析：因?yàn)閳A錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑r＝1，母線長l＝，所以圓錐的側(cè)面面積S＝πrl＝π.答案：π11．已知三棱錐S-ABC外接球O的體積為288π，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，        cos∠CBA＝，則三棱錐S-ABC體積的最大值為________．解析：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠CBA，解得BC＝10.因?yàn)?/span>AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB，所以Rt△ABC的外接圓半徑為5.因?yàn)?/span>πR3＝288π，故R＝6.球心O到平面ABC的距離d＝＝，當(dāng)平面SBC⊥平面ABC時(shí)，三棱錐S-ABC的體積最大，為××(6＋)＝48＋8.答案：48＋812.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點(diǎn)E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．解：(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示．(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因?yàn)樗倪呅?/span>EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.故S四邊形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，S四邊形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.因?yàn)殚L方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為.13.如圖是一個(gè)以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)該幾何體的體積．(2)截面ABC的面積．解：(1)過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點(diǎn)A2，B2.由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，則該幾何體的體積V＝VA1B1C1-A2B2C＋VC-ABB2A2＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6.(2)在△ABC中，AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2.則S△ABC＝×2×＝. 二、自選練——練高考區(qū)分度 1．(2021·安徽省示范高中名校聯(lián)考)如圖，已知四面體ABCD為正四面體，AB＝1，E，F分別是AD，BC的中點(diǎn)．若用一個(gè)與直線EF垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面α去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為(　　)A.   B.C.  D．1解析：選A　如圖所示，將正四面體ABCD放在正方體中，與直線EF垂直的截面，即與正方體的上下底面平行的平面，記該平面分別與AC，AB，BD，CD交于點(diǎn)K，L，M，N，則截面為KLMN.由面面平行的性質(zhì)可知KL∥BC，MN∥BC，LM∥AD，KN∥AD，則四邊形KLMN為平行四邊形，又AD⊥BC，所以KL⊥LM，所以四邊形KLMN為矩形．又＝，＝，且BC＝AD＝AB＝1，所以KL＋LM＝AL＋BL＝AB＝1，S四邊形KLMN＝KL·LM≤2＝，當(dāng)且僅當(dāng)KL＝LM＝時(shí)取等號(hào)，故選A.2．已知在正四面體ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，P是棱AC上的一動(dòng)點(diǎn)，BP＋PE的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為(　　)A.π   B.πC．4π   D.π解析：選D　由題意，將側(cè)面△ABC和△ACD沿AC邊展開成平面圖形，如圖所示．設(shè)正四面體的棱長為a，則BP＋PE的最小值為BE＝ ＝a＝，得a＝2，所以正四面體的高為 ＝，所以正四面體的體積為××8×＝，設(shè)該四面體內(nèi)切球的半徑為r，則4×××8×r＝，解得r＝，所以該四面體內(nèi)切球的體積為   π×3＝π.3.我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，即三棱柱ABC-A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，當(dāng)“陽馬”(四棱錐B-A1ACC1)體積最大時(shí)，“塹堵”(三棱柱ABC-A1B1C1)的表面積為(　　)A.＋1   B.＋1C.   D.解析：選C　由題意知，△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，設(shè)AC＝x，則BC＝(0<x<1)，則VB-A1ACC1＝S四邊形A1ACC1·BC＝×1×x×＝×x≤          ×＝(當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)VB-A1ACC1最大)，此時(shí)三棱柱ABC-A1B1C1的表面積S＝2×××＋2××1＋1×1＝＋＋1＝，故選C.4.(2021·廈門雙十中學(xué)高三期中)3D打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)(即“積層造型法”)．過去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價(jià)值應(yīng)用(比如髖關(guān)節(jié)、牙齒或一些飛機(jī)零部件等)．已知利用3D打印技術(shù)制作如圖所示的模型．該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個(gè)正方體后的剩余部分(正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上)，圓錐底面直徑為10 cm，母線與底面所成角的正切值為.打印所用原料密度為1 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為(取π＝3.14，精確到0.1)(　　)A．609.4 g  B．447.3 gC．398.3 g  D．357.3 g   解析：選C　如圖是幾何體的軸截面，因?yàn)閳A錐底面直徑為10 cm，所以半徑為OB＝5 cm.因?yàn)槟妇€與底面所成角的正切值為tan B＝，所以圓錐的高為PO＝10 cm.設(shè)正方體的棱長為a，DE＝a，則＝，解得a＝5.所以該模型的體積為V＝π×(5)2×10－53＝－125(cm3)．所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為×1＝－125≈398.3(g)．5．在棱長為4的密封正方體容器內(nèi)有一個(gè)半徑為1的小球，晃動(dòng)此正方體，則小球可以經(jīng)過的空間的體積為________．解析：先考慮小球不能經(jīng)過的空間的體積．(1)當(dāng)小球與正方體一頂點(diǎn)處的三個(gè)面都相切時(shí)，球面與該頂點(diǎn)處的三個(gè)面之間形成的空隙，小球始終無法經(jīng)過，其體積為13－××13＝1－.正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，共形成8個(gè)無法經(jīng)過的空隙，總體積為8×＝8－.(2)小球只與正方體過同一條棱的兩個(gè)面相切時(shí)，在該棱處能形成一個(gè)高為2的小柱體，其體積為×2＝2－，正方體共有12條棱，則12個(gè)小柱體的體積為×12＝24－6π.所以小球可以經(jīng)過的空間的體積為64－－(24－6π)＝32＋.答案：32＋

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