?考向26 空間幾何體的表面積和體積

1.（2022年甲卷理9文10）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和，若，則
A． B． C． D．

【答案】C
【解析】如圖，甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為，，高分別為，，則，，則，，由勾股定理，得，，所以．
2.（2022年乙卷理9文12）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】考慮與四棱錐的底面形狀無關(guān)，不是一般性，假設(shè)底面是
邊長(zhǎng)為a的正方形，底面所在圓面的半徑為r，則
所以該四棱錐的高，所以體積

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立
所以該四棱錐的高，故選C

3.（2022年新高考1卷第8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱雉體積的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】記三棱錐高與側(cè)棱夾角為，高為，底面中心到各頂點(diǎn)的距離為，，則，，
，，
故，
令
，故，，，，
即，
．
4.（2022年新高考2卷第7題）正三棱臺(tái)高為1，上下底邊長(zhǎng)分別是和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑是3，
下底面所在平面截球所得圓的半徑是4，
則軸截面中由幾何知識(shí)可得，或
解得，因此球的表面積是．故選A.

5.（2022年新高考2卷第11題）如圖，四邊形為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則
A． B． C． D．

【答案】CD
【解析】設(shè)，則，．連結(jié)交于，連結(jié)、，則，，，故，，，，故選CD．
6.（2022年北京卷第9題） 已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，
且，故.
因?yàn)?，故?br /> 故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，
而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，
故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為，故選：B


1.空間幾何體表面積的求法
①旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用．
②多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．
2.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略
①直接利用公式進(jìn)行求解．
②用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．
3.“切”“接”問題的處理規(guī)律
①“切”的處理：解決與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切于多面體或旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面．
②“接”的處理：把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．

1．與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論
(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．
(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等．
2．幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論
(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，
①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝a；
②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
(3)由棱柱的上下底面平行和球的對(duì)稱性，可知直棱柱外接球的球心為上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求直棱柱外接球的半徑．
(4)設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則它的高為a，內(nèi)切球半徑r＝a，外接球半徑R＝a.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.

1、基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)
（1） 對(duì)立幾中一些常見結(jié)論要做到了然于胸，如：關(guān)于三棱錐中頂點(diǎn)在底面三角形上的射影問題的相關(guān)條件和結(jié)論要在理解的基礎(chǔ)上加以熟記；
（2）在思維受阻時(shí)，要養(yǎng)成回頭看條件的習(xí)慣，問一問自己條件是否都用了呢？
2、平面化處理意識(shí)不強(qiáng)，簡(jiǎn)單的組合體畫不出適當(dāng)?shù)慕孛鎴D致誤
3、“想圖、畫圖、識(shí)圖、解圖”能力的欠缺，多面體與幾何體的結(jié)構(gòu)特征不清楚導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤

一、單選題
1．一只會(huì)飛行的昆蟲被長(zhǎng)為12cm的細(xì)繩子綁在一個(gè)封閉的正方體空盒子內(nèi)一角（忽略捆綁長(zhǎng)度），若盒子的棱長(zhǎng)為12cm，則飛蟲活動(dòng)范圍的體積為 （????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意可知，飛蟲的活動(dòng)范圍是半徑為的球的，
球的體積為，
故.
故選：B.
2．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為．若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為，所以四棱錐的高為，
若圓柱的一個(gè)底面的周圓經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，圓柱的底面半徑為，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為1，
故圓柱的體積為．
故選：A．
3．一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為，則該四棱柱的高為（????）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)球的半徑為，則 ，解得
設(shè)四棱柱的高為 ，則 ，解得
故選：C
4．已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且面積為4，則圓錐的體積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題設(shè)，圓錐的體高、底面半徑均為，所以圓錐的體積為.
故選：D
5．如圖，某多面體的體積是，其三視圖如圖所示，則正視圖中的高（????）

A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由三視圖還原出原幾何體為三棱錐，如圖所示，

結(jié)合三視圖得該三棱錐體積為：，所以.
故選：B.
6．已知點(diǎn)是球的小圓上的三點(diǎn)，若，則球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以是正三角形，是其外接圓圓心，所以的外接圓半徑，球的半徑，所以球的表面積為.
故選：B.
7．我國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一段表述:“今有圓堡壔（ d?o ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一個(gè)圓柱，底面周長(zhǎng)為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的表面積約為（????）（注:1丈=10尺，取3）
A．1088 平方尺 B．912 平方尺 C．720 平方尺 D．656 平方尺
【答案】B
【解析】由1丈=10尺，則4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下圖：

則，，解得，
則圓柱底面積為，側(cè)面積為,
則圓柱的表面積(平方尺)，
故選：B.
8．據(jù)《九章算術(shù)》中記載，“陽馬”是以矩形為底面，一棱與底面垂直的四棱錐.現(xiàn)有一個(gè)“陽馬”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，則這個(gè)“陽馬”的外接球表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把四棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是其外接球也是四棱錐的外接球直徑，
設(shè)球半徑為，則，
球表面積為．
故選：C．


二、多選題
9．傳說古希臘科學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑與圓柱的高相等.因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個(gè)“圓柱容球”是他在幾何上最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他去世后，墓碑上要刻上一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，若，則（????）

A． B．的展開式中的的系數(shù)為56
C．的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0 D．，其中i為虛數(shù)單位
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則圓柱的高為，
∴，，A正確；
從而可知，∴；
對(duì)于B，展開式通項(xiàng)公式為：，
令，解得，∴的展開式中的的系數(shù)為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，即展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為0，C正確；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．已知正方體的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P為側(cè)面上一點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)Q為該正方體外接球球面上一點(diǎn)．則下面選項(xiàng)正確的是（????）
A．直線AP與平面ABCD所成最大角為
B．點(diǎn)Q到正方體各頂點(diǎn)距離的平方之和為
C．點(diǎn)Q到點(diǎn)A和點(diǎn)的距離之和最大值為
D．直線AP與直線BD所成角范圍為
【答案】AB
【解析】由題意得：
選項(xiàng)A:過點(diǎn)作平面ABCD的垂線，垂足為M，PM最大且AM最小時(shí)，所求角最大，此時(shí)點(diǎn)P為點(diǎn)，所成角為，A正確；
選項(xiàng)B:因?yàn)闉橥饨忧虻闹睆剑?，，所以點(diǎn)Q到正方體各頂點(diǎn)距離的平方之和為，B正確；
選項(xiàng)C:，當(dāng)三角形為等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)Q到的距離最大，此時(shí)最大面積為，所以的最大值為，C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D:當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，直線AP與直線BD所成角為，故D錯(cuò)誤.
故選：AB

三、填空題
11．半徑為的球的球面上有四點(diǎn)，已知為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為________.
【答案】
【解析】設(shè)的中心為，三棱錐外接球的球心為，
則當(dāng)體積最大時(shí)，點(diǎn)，，在同一直線上，且垂直于底面，如圖，

因?yàn)闉榈冗吶切吻移涿娣e為，所以的邊長(zhǎng)滿足，故，所以， ，故，
故三棱錐的高，所以
故答案為：
12．圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的體積為_______
【答案】
【分析】由球體積求得球半徑，再由球的截面性質(zhì)求得圓柱的高，從而得圓柱體積．
【詳解】球的半徑為，，解得，圓柱的高為：．可得．
故答案為：．
13．如圖為某幾何體的三視圖，該幾何體的表面積是___________.

【答案】
【解析】根據(jù)幾何體的三視圖復(fù)原原幾何體的直觀圖，如圖示，

該幾何體為一組合體，上部分為半徑為1的半球，下部分為底面半徑為1，高為2的圓柱，
故該幾何體的表面積為 ，
故答案為：
14．蹴鞠，2006年5月20日，已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)(不共面),，則該鞠（球）的體積為__________．
【答案】
【解析】由題可知，三棱錐的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，
又，故三棱錐的三組對(duì)棱均相等，
如圖，將三棱錐嵌入到在長(zhǎng)方體中，
則三棱錐的外接球即為在長(zhǎng)方體的外接球，
設(shè)，
則，
故，解得，
又長(zhǎng)方體外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，
故三棱錐的外接球的半徑為，
則三棱錐的外接球的體積為：.
故答案為：.




一、單選題
1．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）擬柱體（所有頂點(diǎn)均在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體）可以用辛普森（Simpson）公式求體積，其中是高，是上底面面積，是下底面面積，是中截面（到上、下底面距離相等的截面）面積.如圖所示，在五面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，且直線到底面的距離為2，則該五面體的體積為（????）

A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】由題意得：，，，
分別取的中點(diǎn)，順次連接，得到截面為中截面，且為長(zhǎng)方形，邊長(zhǎng)為，，
所以，

所以.
故選：D
2．（2022·遼寧鞍山·一模）如圖，某加工廠要在一圓柱體材料中打磨出一個(gè)直三棱柱模具，已知該圓柱底面圓面積為，高為6，則能截得直三棱柱體積最大為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知，設(shè)底面圓的半徑為，則,解得.
因?yàn)橹比庵亩x可知，要使能截得直三棱柱體積最大，只需要圓的內(nèi)接三角形面積最大即可，

.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)。等號(hào)成立，
所以三角形是正三角形時(shí)，圓的內(nèi)接三角形面積最大，
.所以能截得直三棱柱體積最大為.
故選：B.
3．（2023·安徽省宣城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M，N分別為，的中點(diǎn)．有下列結(jié)論：

①三棱錐在平面上的正投影圖為等腰三角形；
②直線平面；
③在棱BC上存在一點(diǎn)E，使得平面平面；
④若F為棱AB的中點(diǎn)，且三棱錐的各頂點(diǎn)均在同一求面上，則該球的體積為．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】對(duì)于①，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，，如圖，

為的中點(diǎn)，，
又平面，平面，
點(diǎn)，在平面上的正投影分別為，
且點(diǎn)在平面上的正投影分別為其本身，
三棱錐在平面上的正投影圖為，
又，
即為等腰三角形，①正確；
對(duì)于②，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
，，即，
，，即，
又，平面，平面，
平面，
即是平面的一個(gè)法向量，
而，
與不垂直，不與平面平行，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，如圖

設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由②知，，
，，
，，即，
，，即，
又，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，③正確；
對(duì)于④，如圖，

若為棱AB的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn)，，
平面，平面，
平面，，
又，和有公共的斜邊，
設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)到的距離相等，
為三棱錐外接球的球心，為該球的直徑，
，，
該球的體積為，④正確.
綜上所述，正確的結(jié)論為①③④.
故選：D.
4．（2022·北京二中模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一套組合玩具需在一半徑為3的球外罩上一個(gè)倒置圓錐，則圓錐體積的最小值為（????）

A．64π B．40π C．84π D．72π
【答案】D
【解析】設(shè)母線與底面的夾角，底面半徑，內(nèi)切球半徑，圓錐的高，

則：，，
圓錐的體積
，
而，，所以， 又因?yàn)椋憾ㄖ?br /> 所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，所以．
故選：D．
5．（2022·河南·通許縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，圖中線段，為線段的四等分點(diǎn)，則該圓臺(tái)的表面積為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，下底面半徑為，
則，，解得：，，
圓臺(tái)上、下底面面積分別為：，，
又圓臺(tái)的側(cè)面積，圓臺(tái)的表面積.
故選：A.
6．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））劉徽構(gòu)造的幾何模型“牟合方蓋”中說：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸．規(guī)之為圓困，徑二寸，高二寸．又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣．”牟合方蓋是一個(gè)正方體被兩個(gè)圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時(shí)的兩圓柱體的公共部分，計(jì)算其體積的方法是將原來的“牟合方益”平均分為八份，取它的八分之一（如圖一）．記正方形OABC的邊長(zhǎng)為r，設(shè)，過P點(diǎn)作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面積是．如果將圖一的幾何體放在棱長(zhǎng)為r的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面積等于．（如圖三）設(shè)此棱錐頂點(diǎn)到平行于底面的截面的高度為h，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于任何高度h，此截面面積必為，根據(jù)祖暅原理計(jì)算牟合方蓋體積（????）
注：祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】棱錐，由祖暅原理圖二中牟合方蓋外部的體積等于棱錐
所以圖1中幾何體體積為，所以牟合方蓋體積為．
故選：C．
7．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）《算數(shù)書》是已知最早的中國(guó)數(shù)學(xué)著作，于上世紀(jì)八十年代出土，大約比現(xiàn)有傳本的《九章算術(shù)》還要早近二百年．《算數(shù)書》內(nèi)容豐富，有學(xué)者稱之為“中國(guó)數(shù)學(xué)史上的重大發(fā)現(xiàn)”．在《算數(shù)書》成書的時(shí)代，人們對(duì)圓周率的認(rèn)識(shí)不多，用于計(jì)算的近似數(shù)與真實(shí)值相比誤差較大．如書中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．此術(shù)相當(dāng)于給出了圓錐的體積V的計(jì)算公式為，其中L和h分別為圓錐的底面周長(zhǎng)和高．這說明，該書的作者是將圓周率近似地取為（????）
A．3.00 B．3.14 C．3.16 D．3.20
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以，則，∴.
故選：A．
8．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）為慶祝神州十三號(hào)飛船順利返回，某校舉行“特別能吃苦，特別能戰(zhàn)斗，特別能攻關(guān)，特別能奉獻(xiàn)”的航天精神演講比賽，其冠軍獎(jiǎng)杯設(shè)計(jì)如下圖，獎(jiǎng)杯由一個(gè)半徑為6cm的銅球和一個(gè)底座組成，底座由邊長(zhǎng)為36cm的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線向上折疊成直二面角而成，則冠軍獎(jiǎng)杯的高度為（????）cm．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A，B，C在底面內(nèi)的射影為M，N，P分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，
∴，∴△ABC是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形，
設(shè)△ABC外接圓圓心O，半徑r，則，
∴，，∴到平面DEF距離＝9，
∴冠軍獎(jiǎng)杯的高度為，
故選：C．


二、多選題
9．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）在正四面體中，若，則下列說法正確的是（????）
A．該四面體外接球的表面積為
B．直線與平面所成角的正弦值為
C．如果點(diǎn)在上，則的最小值為
D．過線段一個(gè)三等分點(diǎn)且與垂直的平面截該四面體所得截面的周長(zhǎng)為
【答案】ACD
【解析】
正四面體中，，圖中點(diǎn)為外接球的球心，半徑為，為的外心，
所以，由于，
又因?yàn)?，所以，解得?br /> 因此外接球的表面積為，故A正確；
由于，且與平面所成的角為，
因此，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)橛冢?于，所以;
因此當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，最小值為，故C正確；
在平面中過點(diǎn)作交于，在平面中過點(diǎn)作交于，連接,
又因?yàn)?，所以平面，因此平面即為所求?br />
則的周長(zhǎng)為，
同理在平面中過點(diǎn)作交于，在平面中過點(diǎn)作交于，
連接,可得平面，而平面即為所求，
，
則的周長(zhǎng)為，故D正確.
故選：ACD.
10．（2022·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形，，均是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)在棱上，則（????）

A．該幾何體的體積為 B．點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的垂心
C．的最小值為 D．存在點(diǎn)，使得
【答案】BD
【解析】由題意，可將該幾何體補(bǔ)成正方體，如圖，

則該幾何體的體積為正方體體積去掉一個(gè)三棱錐的體積，所以，故A錯(cuò)誤；
由題意知，為等邊三角形，因?yàn)椋渣c(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的外心，即的中心，故B正確；
把所在面沿折起，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，連接，則的最小值即為的長(zhǎng)，由余弦定理知，，故，即的最小值為，故C錯(cuò)誤；
四邊形為正方形，， ，當(dāng)與重合時(shí)，，故D正確.
故選：BD

三、填空題
11．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（理））已知菱形的邊長(zhǎng)為2，且，點(diǎn)M，N分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，沿將翻折至，若點(diǎn)C在平面內(nèi)的射影恰好落在直線上，則當(dāng)線段最短時(shí)，三棱錐的體積為___________.
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是直線上的點(diǎn)，如圖，
設(shè).

∵平面，平面
∴平面平面，且平面平面，
在平面內(nèi)做于點(diǎn)，連接和，
此時(shí)平面.當(dāng)時(shí)最小，
，
，
則，
令得，即，
在區(qū)間上，函數(shù)與函數(shù)交于唯一的點(diǎn)，
如圖，

∴當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)候取最小值，
此時(shí)，點(diǎn)即點(diǎn)，，
所以.
故答案為：
12．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）周總理紀(jì)念館是由正方體和正四棱錐組合體建筑設(shè)計(jì)，如圖所示，若該組合體接于半徑R的球O（即所有頂點(diǎn)都在球上），記正四棱錐側(cè)面與正方體底面所成二面角為，則_________．

【答案】
【解析】由正方體的性質(zhì)可知該組合體的外接球的球心為正方體的中心，
設(shè)正方體底面的中心為，的中點(diǎn)為，連接，
則，

則，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，
∴.
故答案為：.
13．（2022·山東·煙臺(tái)市教育科學(xué)研究院二模）魯班鎖是我國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中的榫卯結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部的凹凸部分嚙合十分精巧．圖1是一種魯班鎖玩具，圖2是其直觀圖．它的表面由八個(gè)正三角形和六個(gè)正八邊形構(gòu)成，其中每條棱長(zhǎng)均為．若該玩具可以在一個(gè)正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)（忽略摩擦），則此正方體表面積的最小值為________．

【答案】
【解析】將魯班鎖補(bǔ)成正方體，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

在魯班鎖所在幾何體上任取一個(gè)頂點(diǎn)，
觀察圖形可知，到魯班鎖所在幾何體上其他頂點(diǎn)的距離的最大值在、、
、、、、、中取得，
結(jié)合圖形可知、、、、
、、、，
則，，
，，
，
，
，，
所以，到魯班鎖所在幾何體上其他頂點(diǎn)的距離的最大值，
所以，若該玩具可以在一個(gè)正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)（忽略摩擦），
設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)的最小值為，則，該正方體的表面積為.
故答案為：.
14．（2022·北京朝陽·二模）如圖，在正方體，中，E，F(xiàn)，G分別為棱上的點(diǎn)（與正方體頂點(diǎn)不重合），過作平面，垂足為H．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，給出以下四個(gè)結(jié)論：

①若E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，則；
②若E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，則用平行于平面的平面去截正方體，得到的截面圖形一定是等邊三角形；
③可能為直角三角形；
④．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．
【答案】①④
【解析】①由，而，
所以，可得，正確；
②根據(jù)正方體的性質(zhì)平行平面的平面有如下情況：

當(dāng)截面在面與面之間時(shí)為六邊形，在面左上或面右下時(shí)為等邊三角形，錯(cuò)誤；
③分別在上不為頂點(diǎn)任意點(diǎn)，當(dāng)從到過程遞減，即小于，同理知：也小于，不可能為直角三角形，錯(cuò)誤；
④若，又，即，
所以，
則，即，
所以，即，正確；
故答案為：①④
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：①④應(yīng)用等體積法計(jì)算或轉(zhuǎn)化，②由正方體性質(zhì)及平面的基本性質(zhì)作出截面判斷；③根據(jù)正方體的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)分析三角形的內(nèi)角變化趨勢(shì).



1．（2020年全國(guó)三卷）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是
A． B． C． D．

【答案】C
【解析】由題2可知：該幾何體是棱長(zhǎng)為的正方體割掉一部分剩下的一個(gè)角，如圖所示，其面積為：，故選：C．

2．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.
【答案】
【解析】∵ ∴
∴
∴. 故答案為：.


3．（2016年全國(guó)III）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為

A． B． C．90 D．81
【答案】B
【解析】由三視圖可得該幾何體是平行六面體，上下底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，故面積都是9，前后兩個(gè)側(cè)面是平行四邊形，一邊長(zhǎng)為3、該邊上的高為6，故面積都為18，左右兩個(gè)側(cè)面是矩形，邊長(zhǎng)為和3，故面積都為，則該幾何體的表面積為2(9 +18+)=54 +．
4．（2017新課標(biāo)Ⅱ）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一 由題意，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積，上半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，
其體積，
故該組合體的體積．故選B．
解法二 該幾何體可以看作是高為14，底面半徑為3的圓柱的一半，所以體積為
．選B．
5．（2015新課標(biāo)）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，設(shè)正方形的棱長(zhǎng)為1，則截取部分為三棱錐，其體積為，又正方體的體積為1，則剩余部分的體積為，故所求比值為．

6.（2019全國(guó)Ⅲ理16）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐O—EFGH后所得幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，，3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________(g).

【答案】118.8
【解析】該模型為長(zhǎng)方體，挖去四棱錐后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，，，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，，，
所以該模型體積為：
，
打印所用原料密度因?yàn)闉?，不考慮打印損耗，
所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為：．
7.（2019年新課標(biāo)2卷）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有　　個(gè)面，其棱長(zhǎng)為　?。?br />

【答案】26,2?1
【解析】由圖知，該半正多面體的面數(shù)為26，設(shè)所求棱長(zhǎng)為a，則由題知
，
8．（2016全國(guó)II）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

A．20π B．24π C．28π D．32π
【答案】C
【解析】該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，
設(shè)圓柱底面圓半徑為，周長(zhǎng)為，圓錐母線長(zhǎng)為，圓柱高為．
由圖得，，由勾股定理得：，
，故選C．
9．（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則，解得.
故選：B.
10．（2021上海卷）在圓柱中，底面圓半徑為，高為，上底面圓的直徑為,是底面圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，繞著底面圓周轉(zhuǎn)，則的面積的范圍________．
【答案】
【解析】當(dāng)點(diǎn)為的投影時(shí)，面積最??；
當(dāng)點(diǎn)為弧中點(diǎn)的投影時(shí)，面積最大，
因此面積的取值范圍為
11．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷））已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，可得截面是邊長(zhǎng)為的正方形，
結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，
所以其表面積為，故選B.


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