高中數(shù)學(xué)高考解密03 函數(shù)及其性質(zhì)（分層訓(xùn)練）（解析版）-【高頻考點(diǎn)解密】2021年高考數(shù)學(xué)（理）二輪復(fù)習(xí)講義+分層訓(xùn)練

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1．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則f(x)（ ）
A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
【答案】D
【詳解】
由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
又，
為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，排除B；
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.
故選：D.
2．（2019·全國(guó)高考真題（理））設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【詳解】
是R的偶函數(shù)，．
，
又在(0，+∞)單調(diào)遞減，
∴，
，故選C．
3．（2019·全國(guó)高考真題（理））函數(shù)在的圖像大致為
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．
4．（2019·全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
時(shí)，，，，即右移1個(gè)單位，圖像變?yōu)樵瓉?lái)的2倍．
如圖所示：當(dāng)時(shí)，，令，整理得：，（舍），時(shí)，成立，即，，故選B．
5．（2018·全國(guó)高考真題（理））函數(shù)的圖像大致為
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，排除，
求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
由得，
得或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，排除，故選D.
6．（2020·全國(guó)高考真題（理））關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個(gè)命題：
①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱．
④f（x）的最小值為2．
其中所有真命題的序號(hào)是__________．
【答案】②③
【詳解】
對(duì)于命題①，，，則，
所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于命題②，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，命題②正確；
對(duì)于命題③，，
，則，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，命題③正確；
對(duì)于命題④，當(dāng)時(shí)，，則，
命題④錯(cuò)誤.
故答案為：②③.
7．（2019·全國(guó)高考真題（理））已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則__________.
【答案】-3
【詳解】
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，．
又因?yàn)?，?br>所以，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，所以，即．
1．（2020·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】
因?yàn)椋越獾?，所以函?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以函數(shù)需滿足且，解得且，
故選：D.
2．（2020·浙江寧波市·鎮(zhèn)海中學(xué)高三三模）若函數(shù)滿足，定義的最小值為的值域跨度，則下列函數(shù)中值域跨度不為2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
∵，∴，
即函數(shù)的值域?yàn)?，值域跨度?；
∵，
∴的值域?yàn)?，值域跨度為?br>∵，
∴函數(shù)的值域?yàn)?，值域跨度?；
∵，值域跨度為2；
故選：B.
3．（2020·四川成都市·高三一模（理））設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
， ；
，；
，；
故，
故選：C
4．（2020·四川宜賓市·高三一模（理））已知實(shí)數(shù)，，，(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
由題意，令，則，
而，所以時(shí)，即在上單調(diào)遞增，
∴，即，
故選：A
5．（2020·四川宜賓市·高三一模（理））已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，若且時(shí)，都有，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C．在上為減函數(shù)D．在上為增函數(shù)
【答案】B
【詳解】
由是定義在上的奇函數(shù)，則
所以，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
又，則
所以函數(shù)為周期函數(shù)， 4為函數(shù)的一個(gè)周期.
所以的對(duì)稱軸方程為：，不滿足，故A不正確.
由是定義在上的奇函數(shù),則圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.
所以的對(duì)稱中心滿足：，所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確.
由且時(shí)，都有，
則，即
所以在上為增函數(shù), 由是定義在上的奇函數(shù)
所以在上為增函數(shù)，且，所以在上為增函數(shù)
由的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以在上為減函數(shù)，
又4為函數(shù)的一個(gè)周期.
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以在上為增函數(shù)，故C不正確.
在上為增函數(shù),在為減函數(shù)，故D不正確.
故選：B
6．（2020·廣東高三一模）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且所以函數(shù)是奇函數(shù)，
其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，排除C；
又由當(dāng)時(shí)，排除A，D.
故選：B．
7．（2020·河南開(kāi)封市·高三一模（理））某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】
A選項(xiàng)，，
則，
所以是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足題中圖象；
又當(dāng)時(shí)，，由可得，解得或；由可得，解得，滿足題中圖象，故該函數(shù)的解析式可能是；A正確；
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，不滿足題意；排除B；
C選項(xiàng)，由得，即不過(guò)原點(diǎn)，不滿足題意；排除C；
D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，則，不滿足題意，排除D；
故選：A.
8．（2020·廣西高三其他模擬（理））設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若存在，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋?br>∴，
∴為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，， 在上單調(diào)遞減，
∴在R上單調(diào)遞減.
∵存在，所以，
∴，化簡(jiǎn)得，
∴，即.
故選：D
9．（2020·運(yùn)城市景勝中學(xué)（理））已知函數(shù)，是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
由，，
可知在時(shí)恒成立，
故即或，
根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)可知，，解可得，.
故選：C.
10．（2020·北京高三二模）函數(shù)f(x)＝x是（ ）
A．奇函數(shù)，且值域?yàn)椋?，+∞）
B．奇函數(shù)，且值域?yàn)镽
C．偶函數(shù)，且值域?yàn)椋?，+∞）
D．偶函數(shù)，且值域?yàn)镽
【答案】B
【詳解】
根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x）＝﹣f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，
其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝1，在區(qū)間（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函數(shù)，且f（1）＝f（﹣1）＝0；
其圖象大致如圖：
其值域?yàn)镽；
故選：B.
11．（2020·福建漳州市·高三其他模擬（理））已知函數(shù)，其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，關(guān)于有下述四個(gè)結(jié)論：
①的一個(gè)周期是； ②是非奇非偶函數(shù)；
③在單調(diào)遞減； ④的最大值大于．
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）
A．①②④B．②④C．①③D．①②
【答案】A
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以的一個(gè)周期是，①正確；
又，④正確；
又，
，
所以，，所以是非奇非偶函數(shù)，所以②正確；
當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，所以③錯(cuò)誤；
綜上所以正確的結(jié)論的序號(hào)是①②④，
故選：A．
12．（2020·四川涼山彝族自治州·高三一模（理））定義在上的函數(shù)滿足.當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_____.
【答案】
【詳解】
因?yàn)榍业亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以不等式的解集為：，
故答案為：.
13．（2020·上海閔行區(qū)·高三一模）已知函數(shù)，給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)；
②對(duì)任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；
③若對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；
④存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)均存在個(gè)零點(diǎn).
其中的真命題是___________.（寫出所有真命題的序號(hào)）
【答案】②③
【詳解】
令，
函數(shù)的定義域?yàn)?，則，
所以，函數(shù)為偶函數(shù).
對(duì)于①，若，則，則，此時(shí)，函數(shù)不是奇函數(shù)；
若，則函數(shù)的定義域?yàn)榍?，?br>，顯然.
綜上所述，對(duì)任意的，函數(shù)都不是奇函數(shù)；
對(duì)于②，，
所以，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱.
因此，對(duì)任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，②正確；
對(duì)于③，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，兩個(gè)等號(hào)可以同時(shí)成立，所以，.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，③正確；
對(duì)于④，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，
若，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，任取、，且，即，
則
，
，隨著、的增大而增大，
當(dāng)且時(shí)，；
當(dāng)且時(shí)，.
所以，存在，使得當(dāng)時(shí)，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則，
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，.
若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)均存在個(gè)零點(diǎn)，
即直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，
由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
則直線與函數(shù)在直線右側(cè)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，
所以，.
由于為定值，當(dāng)且當(dāng)逐漸增大時(shí)，也在逐漸增大，
所以，不可能恒成立，
所以，當(dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)均存在個(gè)零點(diǎn)；
同理可知，當(dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)均存在個(gè)零點(diǎn)，故命題④錯(cuò)誤.
故答案為：②③.
14．（2020·上海高三一模）設(shè)，則不等式的解集為_(kāi)_________．
【答案】
【詳解】
由題意，函數(shù)，
根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，且，
則不等式等價(jià)于，即，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
15．（2020·河南新鄉(xiāng)市·高三一模（理））已知函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______．
【答案】
【詳解】
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，
則，
則，
所以，
．
故答案為：.
16．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且與圖象的交點(diǎn)為，，…，，則______．
【答案】18
【詳解】
函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，與圖像的交點(diǎn)為，，…，,兩兩關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱， .
故答案為18