一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．B．1C．2D．
3．某中學(xué)從參加高一年級(jí)上學(xué)期期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段，，…，后畫(huà)出頻率直方圖如圖所示．觀察圖形的信息，則（ ）
A．成績(jī)?cè)趨^(qū)間上的人數(shù)為5
B．抽查學(xué)生的平均成績(jī)是71分
C．這次考試的及格率（60分及以上為及格）約為55%
D．若從成績(jī)是70分以上（含70分）的學(xué)生中選1人，則選到第一名的概率（第一名只1人）為
4．在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測(cè)是新冠肺炎確診的有效快捷手段．某醫(yī)院在成為新冠肺炎核酸檢測(cè)定點(diǎn)醫(yī)院并開(kāi)展檢測(cè)工作的第n天，每個(gè)檢測(cè)對(duì)象從接受檢測(cè)到檢測(cè)報(bào)告生成平均耗時(shí)（單位：小時(shí)）大致服從的關(guān)系為（，為常數(shù)），已知第9天檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)為16小時(shí)，第36天和第40天檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)均為8小時(shí)，那么第25天檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)大約為（ ）
A．8小時(shí)B．9.6小時(shí)C．11.5小時(shí)D．12小時(shí)
5．在中，，．若，則（ ）
A．3B．2C．D．
6．設(shè)命題p：“”是“”成立的必要不充分條件是命題q：若不等式恒成立，則．下列命題是真命題的（ ）
A．B．C．D．
7．某校有5名大學(xué)生觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名大學(xué)生且至多2名大學(xué)生觀看，則這5人觀看比賽的方案種數(shù)為（ ）
A．150B．90C．60D．15
8．下列直線中，不是圓和公切線的一條直線是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．的圖像與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為
B．
C．將的圖像向右平移個(gè)單位得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱
D．在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的最大值為
10．如圖，在三棱錐中，平面平面，，點(diǎn)M在AC上，，過(guò)點(diǎn)M作三棱錐A-BCD外接球的截面，則截面圓面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
11．設(shè)、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)．若為等腰三角形，則的內(nèi)切圓半徑為（ ）
A．或B．或C．或D．或
12．下列不等式中，成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題：全科試題免費(fèi)下載公眾號(hào)《高中僧課堂》本題共4小題，每題5分，共20分．請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．
13．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_____．
14．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作雙曲線漸近線的垂線，垂足為P，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_____．
15．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且，，則b的值為_(kāi)_____．
16．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是______．（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①若E是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則平面；
②若E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則；
③若E是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則直線與平面ABC所成角的正切值的取值范圍是；
④若E是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（12分）
正項(xiàng)數(shù)列中，，，的前n項(xiàng)和為，從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，將序號(hào)填在橫線______上．
①，；
②為等差數(shù)列；
③為等差數(shù)列，試完成下面兩個(gè)問(wèn)題：
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求證：．
18．（12分）
如圖，在三棱柱中，，．
（1）證明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
19．（12分）
2022年12月2日晚，神舟十四號(hào)、神舟十五號(hào)航天員乘組進(jìn)行在軌交接儀式，兩個(gè)乘組移交了中國(guó)空間站的鑰匙，6名航天員分別在確認(rèn)書(shū)上簽字，中國(guó)空間站正式開(kāi)啟長(zhǎng)期有人駐留模式．為調(diào)查大學(xué)生對(duì)中國(guó)航天事業(yè)的了解情況，某大學(xué)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為，統(tǒng)計(jì)得到以下列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算，有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)中國(guó)航天事業(yè)的了解與性別有關(guān)，但沒(méi)有99%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)中國(guó)航天事業(yè)的了解與性別有關(guān)．
（1）求n的值．
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法在調(diào)查結(jié)果“了解中國(guó)航天事業(yè)”的學(xué)生中抽取10人，再?gòu)倪@10人中抽取3人進(jìn)行第二次調(diào)查，以便了解學(xué)生獲得中國(guó)航天事業(yè)信息的渠道，則至少有2名女生被第二次調(diào)查的概率．
（3）將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從全校男學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，記其中了解中國(guó)航天事業(yè)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附表：
20．（12分）
已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線，相交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若PA，PB與x軸分別交于Q，R兩點(diǎn)，令的面積為，四邊形PRFQ面積為，求的最小值．
21．（12分）
已知函數(shù)．
（1）若，求a的值；
（2）已知某班共有n人，記這n人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．
（?。┣蟮谋磉_(dá)式；
（ⅱ）估計(jì)的近似值（精確到0.01）．
參考數(shù)值：，，，．
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23二題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑．
22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且兩曲線與交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求曲線，的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，求．
23．（10分）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)．
（1）解不等式；
（2）設(shè)函數(shù)的最小值為t，若，，且，證明：．
赤峰市高三1·30模擬考試試題
理科數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分）
二、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．
13． 14． 15． 16．（1）（2）（4）
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23為選做題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．解：（1）選①，設(shè)，則n為奇數(shù)時(shí)，，，設(shè)，則n為偶數(shù)時(shí)，，所以
選②第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，則，則，
選③由己知，，，則，
則，，
則，經(jīng)檢驗(yàn)也成立，所以．
（2），則，
則
18．（1）證明：設(shè)O為AB的中點(diǎn)，連接CO，，因?yàn)?，?br>則，為正三角形，故，，
，，平面，故平面，平面，所以；
（2）由（1）可知，又，即有，故，
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
故，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
故，
由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為．
19．解：（1）由已知，完成列聯(lián)表，并將數(shù)值代入公式可得的觀測(cè)值：，
所以，解得，因?yàn)?，所以?br>（2）由（1）知，了解中國(guó)航天事業(yè)的學(xué)生共人，采用分層抽樣抽取10人，抽樣比為，
故抽取男生人，抽取女生，
從這10人中軸取3人，至少有2名女生被第二次調(diào)查的概率為．
（3）由（1）知，樣本的男生中了解中國(guó)航天事業(yè)的頻率為，用樣本估計(jì)總體，從全校男生中隨機(jī)抽取一人，了解中國(guó)航天事業(yè)的概率為，則，
，，
，，
，
則X的分布列為
．
20．解：（Ⅰ）解法一：由已知得，由得，∴
設(shè)，，，則，，
∴，即，同理．
又P在PA，PB上，則，所以．
∵直線AB過(guò)焦點(diǎn)F，∴．所以點(diǎn)P的軌跡方程是．
（Ⅰ）解法二：，
設(shè)AB直線方程為，則由得，所以，，
過(guò)A的切線方程為，過(guò)B的切線方程為，
所以交點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P在直線上，所以點(diǎn)P的軌跡方程是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，代入得，則，
則，
P到AB的距離，所以，
∵當(dāng)時(shí)，得，
∴，∴，同理，．
由得，∴四邊形PRFQ為矩形，
∵，∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴的最小值為2．
21．解：（1）由題得，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>又，且，所以是的極小值點(diǎn)，故．
而，于是，解得．
下面證明當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，，，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，即符合題意．
綜上，．
（2）（?。┯捎趎人生日都不相同的概率為，
故n人生日至少有兩人相同的概率為．
（ⅱ）由（1）可得當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由（?。┑?br>．
記，
則
，
即，由參考數(shù)值得，
于是，故．
（二）選考題：滿分10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
22．解：（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為．
由曲線的極坐標(biāo)方程，得，則，即的直角坐標(biāo)方程為．
（2）因?yàn)樵谇€上，所以曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
代入的直角坐標(biāo)方程，得．
設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，所以．
23．解：（Ⅰ）不等式等價(jià)于或或，
解得或或．所以不等式的解集為．
（Ⅱ）法一：由知，當(dāng)時(shí)，，即．
法二：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，則的最小值為2，即．同法一
法一：，
當(dāng)且僅當(dāng)，不等式取得等號(hào)，所以．
法二：由柯西不等式可得：．
當(dāng)且僅當(dāng)，不等式取得等號(hào)，所以．男生
女生
合計(jì)
了解
不了解
合計(jì)
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
B
C
B
B
C
D
A
D
C
X
0
1
2
3
4
5
P

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