高中數(shù)學(xué)高考第4節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教案-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．
(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)復(fù)數(shù)的模：向量eq \(OZ,\s\up12(→))的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
2．復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b) 平面向量eq \(OZ,\s\up12(→))＝(a，b)．
3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算
(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律
復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
eq \O([常用結(jié)論])
1．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
3．z·eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若a∈C，則a2≥0.( )
(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．( )
(3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部為bi.( )
(4)方程x2＋x＋1＝0沒有解．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改編
1．若復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
A [∵z為純虛數(shù)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1＝0，,x－1≠0，))∴x＝－1.]
2．在復(fù)平面內(nèi)，向量eq \(AB,\s\up12(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量eq \(CB,\s\up12(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量eq \(CA,\s\up12(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
D [∵eq \(CA,\s\up12(→))＝eq \(CB,\s\up12(→))＋eq \(BA,\s\up12(→))＝eq \(CB,\s\up12(→))－eq \(AB,\s\up12(→))＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故選D.]
3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq \f(1＋z,1－z)＝i，則|z|等于( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
A [eq \f(1＋z,1－z)＝i，則z＝eq \f(i－1,1＋i)＝i，
∴|z|＝1.]
4．已知(1＋2i)eq \x\t(z)＝4＋3i，則z＝ .
2＋i [由(1＋2i)eq \x\t(z)＝4＋3i得eq \x\t(z)＝eq \f(4＋3i,1＋2i)＝eq \f(?4＋3i??1－2i?,5)＝2－i.
∴z＝2＋i.]
考點1 復(fù)數(shù)的概念
復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實部和虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解．
1.若復(fù)數(shù)(m2－m)＋mi為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
C [由純虛數(shù)的概念得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m＝0，,m≠0，))得m＝1，故選C.]
2．(2019·長沙模擬)已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝eq \f(a,1－2i)＋i(a∈R)的實部與虛部互為相反數(shù)，則a＝( )
A．－5 B．－1 C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(5,3)
D [z＝eq \f(a,1－2i)＋i＝eq \f(a?1＋2i?,?1－2i??1＋2i?)＋i＝eq \f(a,5)＋eq \f(2a＋5,5)i，
因為復(fù)數(shù)z＝eq \f(a,1－2i)＋i(a∈R)的實部與虛部互為相反數(shù)，所以－eq \f(a,5)＝eq \f(2a＋5,5)，解得a＝－eq \f(5,3).故選D.]
3．(2019·唐山模擬)已知eq \f(z,1－i)＝2＋i，則eq \x\t(z)(z的共軛復(fù)數(shù))為( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3＋i D．3－i
C [由題意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，
所以eq \x\t(z)＝3＋i，故選C.]
4．設(shè)z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝( )
A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \r(2)
C [法一：因為z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i＝eq \f(?1－i?2,?1＋i??1－i?)＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故選C.
法二：因為z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i＝eq \f(1－i＋2i?1＋i?,1＋i)＝eq \f(－1＋i,1＋i)，所以|z|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋i,1＋i)))＝eq \f(|－1＋i|,|1＋i|)＝eq \f(\r(2),\r(2))＝1，故選C.]
解決此類時，一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
考點2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算
復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略
(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法：復(fù)數(shù)的加、減、乘法類似于多項式的運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．
(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母實數(shù)化解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．
(1)(2019·全國卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，則z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)計算：eq \f(?2＋i??1－i?2,1－2i)＝( )
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
(3)(2019·惠州模擬)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq \x\t(z)，若eq \x\t(z)(1－i)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則z＝( )
A．i B．i－1
C．－i－1 D．－i
(4)[一題多解](2019·武漢調(diào)研)已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝1＋i，則z＝( )
A．－i B．i
C．1－i D．1＋i
(1)D (2)A (3)C (4)B [(1)由題意得z＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i?1－i?,?1＋i??1－i?)＝1＋i，故選D.
(2)eq \f(?2＋i??1－i?2,1－2i)＝eq \f(－?2＋i?2i,1－2i)＝eq \f(2－4i,1－2i)＝2，故選A.
(3)由已知可得eq \x\t(z)＝eq \f(2i,1－i)＝eq \f(2i?1＋i?,?1－i??1＋i?)＝－1＋i，則z＝－1－i，故選C.
(4)法一：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＋|z|＝(a＋eq \r(a2＋b2))＋bi＝1＋i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝1，,b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1，))所以z＝i，故選B.
法二：把各選項代入驗證，知選項B滿足題意．]
(1)在只含有z的方程中，z類似于代數(shù)方程中的x，可直接求解；
(2)在含有z，eq \x\t(z)，|z|中至少兩個的復(fù)數(shù)方程中，可設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，變換方程，利用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得出關(guān)于a，b的方程組，求出a，b，從而得出復(fù)數(shù)z.
1.(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
D [(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.]
2．對于兩個復(fù)數(shù)α＝1－i，β＝1＋i，有下列四個結(jié)論：①αβ＝1；②eq \f(α,β)＝－i；③eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(α,β)))＝1；④α2＋β2＝0.其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正確；eq \f(α,β)＝eq \f(1－i,1＋i)＝eq \f(?1－i?2,?1＋i??1－i?)＝－i，②正確；eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(α,β)))＝|－i|＝1，③正確；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正確．]
3．(2019·貴陽模擬)設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足i(z＋1)＝1，則復(fù)數(shù)z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
C [由題意，得z＝eq \f(1,i)－1＝－1－i，故選C.]
4．已知a為實數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則eq \f(a＋i2 020,1＋i)＝( )
A．1 B．0
C．1＋i D．1－i
D [z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，
則有a2－1＝0，a＋1≠0，
得a＝1，
則有eq \f(1＋i2 020,1＋i)＝eq \f(1＋1,1＋i)＝eq \f(2?1－i?,?1＋i??1－i?)＝1－i.]
考點3 復(fù)數(shù)的幾何意義
與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法
第一步，進(jìn)行簡單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；
第二步，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面的點之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)a＋bi與復(fù)平面上的點(a，b)一一對應(yīng)．
(1)(2019·全國卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)eq \x\t(z)對應(yīng)的點位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
(1)C (2)C (3)A [(1)設(shè)復(fù)數(shù)z與i分別表示復(fù)平面內(nèi)的點Z與點P，則P(0,1)，且|z－i|表示復(fù)平面內(nèi)點Z與點P之間的距離，所以點Z(x，y)到點P(0,1)的距離為定值1，所以Z的軌跡是以(0,1)為圓心，1為半徑的圓，故選C.
(2)∵z＝－3＋2i，∴eq \x\t(z)＝－3－2i，
∴在復(fù)平面內(nèi)，eq \x\t(z)對應(yīng)的點為(－3，－2)，此點在第三象限．
(3)由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(m＋3，m－1)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋3＞0，,m－1＜0，))解得－3＜m＜1，故選A.]
復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，只需確定復(fù)數(shù)的實部和虛部即可．
1.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是eq \(OA,\s\up12(→))，eq \(OB,\s\up12(→))，則復(fù)數(shù)z1·z2對應(yīng)的點位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [由已知eq \(OA,\s\up12(→))＝(－2，－1)，eq \(OB,\s\up12(→))＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，
它所對應(yīng)的點為(1，－2)，在第四象限．]
2．若復(fù)數(shù)z滿足|z－i|≤eq \r(2)(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為．
2π [設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤eq \r(2)得|x＋(y－1)i|≤eq \r(2)，所以eq \r(x2＋?y－1?2)≤eq \r(2)，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形是以點(0,1)為圓心，以eq \r(2)為半徑的圓及其內(nèi)部，它的面積為2π.]
3．已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A，B，C，若eq \(OC,\s\up12(→))＝λeq \(OA,\s\up12(→))＋μeq \(OB,\s\up12(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是．
1 [由條件得eq \(OC,\s\up12(→))＝(3，－4)，eq \(OA,\s\up12(→))＝(－1,2)，
eq \(OB,\s\up12(→))＝(1，－1)，
根據(jù)eq \(OC,\s\up12(→))＝λeq \(OA,\s\up12(→))＋μeq \(OB,\s\up12(→))得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－1，,μ＝2，))
所以λ＋μ＝1.]

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