中考數(shù)學(xué)二輪壓軸培優(yōu)專題31三角形與新定義綜合問(wèn)題（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題31三角形與新定義綜合問(wèn)題

【例1】(2022?淮安區(qū)模擬)我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(duì)(can)，如圖1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的鄰對(duì)記作canB，這時(shí)canB＝＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對(duì)值是一一對(duì)應(yīng)的，根據(jù)上述角的鄰對(duì)的定義，解下列問(wèn)題：
(1)can30°＝　　，若canB＝1，則∠B＝　60　°．
(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周長(zhǎng)．

【分析】(1)根據(jù)定義，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，求出BC即可解答，
根據(jù)定義，canB＝1，可得底邊與腰相等，所以這個(gè)等腰三角形是等邊三角形，從而得∠B＝60°；
(2)根據(jù)定義，想利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，canB＝，所以設(shè)BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△ABC＝48，列出關(guān)于x的方程即可解答．
【解答】解：(1)如圖：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∵∠B＝30°，
∴BD＝ABcos30°＝AB，
∴BC＝2BD＝AB，
∴can30°＝＝＝，
若canB＝1，
∴canB＝＝1，
∴BC＝AB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝60°，
故答案為：，60；
(2)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，

∵canB＝，
∴＝，
∴設(shè)BC＝8x，AB＝5x，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝4x，
∴AD＝＝3x，
∵S△ABC＝48，
∴BC?AD＝48，
∴?8x?3x＝48，
∴x2＝4，
∴x＝±2(負(fù)值舍去)，
∴x＝2，
∴AB＝AC＝10，BC＝16，
∴△ABC的周長(zhǎng)為36，
答：△ABC的周長(zhǎng)為36．
【例2】(2022?柯城區(qū)校級(jí)三模)定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這個(gè)三角形為“標(biāo)準(zhǔn)三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB＝CD，則△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形．
【概念感知】
判斷：對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．
(1)等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．　√　
(2)頂角為30°的等腰三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．　×　
【概念理解】
若一個(gè)等腰三角形為標(biāo)準(zhǔn)三角形，則此三角形的三邊長(zhǎng)之比為　1：1：或：：2?。?br /> 【概念應(yīng)用】
(1)如圖，若△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．
(2)若一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形的其中一邊是另一邊的倍，求最小角的正弦值．

【分析】【概念感知】(1)根據(jù)等腰直角三角形的兩條直角邊互相垂直且相等，即可判斷；
(2)作出圖形，分別對(duì)底邊上的高和腰上的高進(jìn)行討論，即可求解；
【概念理解】當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，AC：AB：BC＝1：1：；當(dāng)△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，設(shè)BE＝x，則AE＝2x，求出AB＝x，則AB：AC：BC＝：：2；
【概念應(yīng)用】(1)過(guò)C點(diǎn)作AB的平行線，作A點(diǎn)關(guān)于該平行線的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，當(dāng)A'、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，AC+BC＝A'B，此時(shí)AC+BC的值最小，求出A'B即可；
(2)分兩種情況討論：①當(dāng)AC＝AB時(shí)，AC＝CD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，設(shè)CD＝AB＝a，則AC＝a，由等積法求出BE＝a，用勾股定理分別求出AD＝2a，BD＝a，BC＝a，則可求sin∠BCE＝；②當(dāng)BC＝AB時(shí)，BC＝DC，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，設(shè)CD＝AB＝a，則BC＝a，由勾股定理分別求出BD＝2a，AD＝3a，AC＝a，再由等積法求出BE＝a，即可求sin∠BCE＝．
【解答】解：【概念感知】
(1)如圖1：等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，
∵AB＝AC，
∴等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形，
故答案為：√；
(2)如圖2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，
∵∠A＝30°，
∴CD＝AC，
∵CA＝AB，
∴CD＝AB，
∴△ABC不是標(biāo)準(zhǔn)三角形；
如圖3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，
此時(shí)AE＞BC，
∴△ABC不是標(biāo)準(zhǔn)三角形；
故答案為：×；
【概念理解】
如圖1，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，AC：AB：BC＝1：1：；
如圖4，當(dāng)△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，
∴BE＝EC＝BC＝AE，
設(shè)BE＝x，則AE＝2x，
在Rt△ABE中，AB＝x，
∴AB：AC：BC＝：：2；
故答案為：1：1：或：：2；
【概念應(yīng)用】
(1)如圖5，過(guò)C點(diǎn)作AB的平行線，作A點(diǎn)關(guān)于該平行線的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，
當(dāng)A'、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，AC+BC＝A'B，此時(shí)AC+BC的值最小，
∵AB＝CD＝1，
∴AA'＝2，
在Rt△ABA'中，A'B＝，
∴AC+BC的最小值為；
(2)在△ABC中，AB＝CD，AB⊥CD，
∴AC＞CD，BC＞CD，
∴AC＞AB，BC＞AB，
∴△ABC的最小角為∠ACB，
①如圖6，當(dāng)AC＝AB時(shí)，AC＝CD，
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，
設(shè)CD＝AB＝a，則AC＝a，
∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，
∴BE＝a，
在Rt△ACD中，AD＝2a，
∴BD＝AD﹣AB＝a，
在Rt△BCD中，BC＝a，
在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；
②如圖7，當(dāng)BC＝AB時(shí)，BC＝DC，
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，
設(shè)CD＝AB＝a，則BC＝a，
在Rt△BCD中，BD＝2a，
∴AD＝3a，
在Rt△ACD中，AC＝a，
∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，
∴BE＝a，
在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；
綜上所述：最小角的正弦值為或.

【例3】(2020?五華區(qū)校級(jí)三模)愛好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖(1)、圖(2)、圖(3)中，AM、BN是ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c．
【特例探究】
(1)如圖1，當(dāng)∠PAB＝45°，c＝時(shí)，a＝　4　，b＝　4　；如圖2，當(dāng)∠PAB＝30°，c＝2時(shí)，a2+b2＝　20??；
【歸納證明】
(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你的結(jié)論．
【拓展證明】
(3)如圖4，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD＝3AE，BC＝3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD＝3，AB＝3，求AF的長(zhǎng)．

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出PA、PB，根據(jù)三角形中位線定理得到MN∥AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求出PM、PN，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；
(2)連接MN，設(shè)PN＝x，PM＝y(tǒng)，利用勾股定理分別用x、y表示出a、b、c，得到答案；
(3)取AB的中點(diǎn)H，連接FH并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，證明△ABF為“中垂三角形”，根據(jù)(2)中結(jié)論計(jì)算即可．
【解答】解：(1)在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝，
則PA＝PB＝c＝4，
∵M(jìn)、N分別為CB、CA的中點(diǎn)，
∴MN＝AB＝2，MN∥AB，
∴△APB∽△MPN，
∴＝＝＝，
∴PM＝PN＝2，
∴BM＝＝2，
∴a＝2BM＝4，
同理：b＝2AN＝4，
如圖2，連接MN，
在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，
∴PB＝c＝1，
∴PA＝＝，
∴PN＝，PM＝，
∴BM＝＝，AN＝＝，
∴a＝，b＝，
∴a2+b2＝20，
故答案為：4；4；20；
(2)a2+b2＝5c2，
理由如下：如圖3，連接MN，
設(shè)PN＝x，PM＝y(tǒng)，
則PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，
∴BM＝＝，AN＝＝，
∴a＝2，b＝2，
∴a2+b2＝20(x2+y2)，
∵c2＝PA2+PB2＝4(x2+y2)，
∴a2+b2＝5c2；
(3)取AB的中點(diǎn)H，連接FH并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△AHP∽△BHF，
∴＝＝1，
∴AP＝BF，
∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3，
∴AE＝BF＝，
∴PE＝FC，
∴四邊形PFCE為平行四邊形，
∵BE⊥CE，
∴BG⊥FH，
∵AE∥BF，AE＝BF，
∴AG＝GF，
∴△ABF為“中垂三角形”，
∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×()2，
解得：AF＝4．

【例4】(2020?岳麓區(qū)校級(jí)二模)定義：在△ABC中，若有兩條中線互相垂直，則稱△ABC為中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周長(zhǎng)，記作L，即L＝AB2+BC2+CA2．
(1)如圖1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分別是AC，BC邊上的中線，若AC＝BC，求證：△AOB是等腰直角三角形；
(2)如圖2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分別是邊BC，AC上的中線，且AE⊥BD于點(diǎn)O，試探究△ABC的方周長(zhǎng)L與AB2之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
(3)如圖3，已知拋物線y＝與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線與該拋物線相交于點(diǎn)C，與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，且BD＝CD，連接AC交y軸于點(diǎn)E．
①求證：△ABC是中垂三角形；
②若△ABC為直角三角形，求△ABC的方周長(zhǎng)L的值．

【分析】(1)先利用“SAS“證明△BAD≌△ABE，然后根據(jù)△ABC是中垂三角形即可證明；
(2)先判斷出AC＝2AD，BC＝2BE，再利用勾股定理，即可得出結(jié)論；
(3)①利用二次函數(shù)先求出點(diǎn)B、點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)確定E是AC的中點(diǎn)，最后根據(jù)中垂三角形的定義即可證明；
②先由點(diǎn)A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)的坐標(biāo)得到kAB＝a，kAC＝﹣a，kBC＝﹣a，然后分情況討論即可求解；或結(jié)合射影定理分情況討論進(jìn)行求解即可．
【解答】(1)證明：AC＝BC，BD，AE分別是AC，BC邊上的中線，
∴AD＝BE，∠BAD＝∠ABE，
∴△BAD≌△ABE(SAS)，
∴∠ABD＝∠BAE，
∴OA＝OB．
∵△ABC是中垂三角形，且AC＝BC，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形．
(2)L＝6AB2．
證明：如圖，連接DE．

∵AE，BD分別是邊BC，AC上的中線，
∴AC＝2AD，BC＝2BE，DE＝AB，
∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，DE2＝AB2．
在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2，
在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，
∴AC2+BC2＝4(AD2+BE2)
＝4(OA2+OD2+OB2+OE2)
＝4(AB2+DE2)
＝4(AB2+AB2)
＝5AB2，
∴L＝AB2+AC2+BC2＝AB2+5AB2＝6AB2．
(3)①證明：在y＝中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2a，
∴點(diǎn)B(0，﹣2a)．
y＝0時(shí)，＝0，
整理得3x2﹣4x﹣32＝0，
解得x1＝﹣(舍)，x2＝4，
∴點(diǎn)A(4，0)．
∵BD＝CD，
yC＝﹣yB＝2a，
將y＝2a代人y＝，
解得x1＝(舍)，x2＝﹣4，
∴C(﹣4，2a)．
由點(diǎn)A(4，0)，C(﹣4，2a)可知，E是AC的中點(diǎn)．
又∵BD＝CD，
∴AD，BE都是△ABC的中線．
又∵∠AOB＝90°，
∴AD⊥BE，
∴△ABC是中垂三角形．
②解法一：由點(diǎn)A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)可得kAB＝a，kAC＝﹣a，kBC＝﹣a，
∵∠C＜∠AOB，
∴∠C≠90°．
當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，kAB?kBC＝﹣1，
解得a＝(負(fù)值舍去)，
∴點(diǎn)B(0，﹣2)，
∴L＝6AB2＝6×24＝144．
當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，kAB?kCA＝﹣1，
解得a＝2(負(fù)值舍去)，
∴點(diǎn)B(0，﹣4)，
∴L＝6AB2＝6×48＝288．
綜上所述，△ABC的方周長(zhǎng)L的值為144或288．
解法二：由點(diǎn)A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D(﹣2，0)，E(0，a)．
∵∠C＜∠AOB，
∴∠C≠90°．
當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，在△ABD 中，由射影定理得OB2＝OA?OD，
∴4a2＝8，解得α＝(負(fù)值舍去)，
∴點(diǎn)B(0，﹣2)，
∴L＝6AB2＝6×24＝144．
當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，在△ABE中，由射影定理得OA2＝OB?OE，
∴16＝2a2，解得a＝2(負(fù)值舍去)，
∴點(diǎn)B(0，﹣4)，
∴L＝6AB2＝6×48＝288．
綜上所述，△ABC的方周長(zhǎng)L的值為144或288．
【例5】(2020?安徽模擬)通過(guò)學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值是一一對(duì)應(yīng)的，因此，兩條邊長(zhǎng)的比值與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(duì)(can)，如圖(1)在△ABC中，AB＝AC，底角B的鄰對(duì)記作canB，這時(shí)canB＝，容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對(duì)值也是一一對(duì)應(yīng)的．根據(jù)上述角的鄰對(duì)的定義，解下列問(wèn)題：
(1)can30°＝　??；
(2)如圖(2)，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周長(zhǎng)．

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)∠B＝30°，可得出BD＝AB，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得出BC＝AB，繼而得出canB；
(2)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)canB＝，設(shè)BC＝8x，AB＝5x，再由S△ABC＝24，可得出x的值，繼而求出周長(zhǎng)．
【解答】解：
(1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
∵∠B＝30°，
∴cos∠B＝＝，
∴BD＝AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC＝2BD＝AB，
故can30°＝＝；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵canB＝，則可設(shè)BC＝8x，AB＝5x，
∴AE＝＝3x，
∵S△ABC＝24，
∴BC×AE＝12x2＝24，
解得：x＝，
故AB＝AC＝5，BC＝8，
從而可得△ABC的周長(zhǎng)為18．

一．解答題(共20題)
1．(2022秋?如皋市期中)定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．
(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有 ?、冖邸?只填寫序號(hào))．
①頂角是30°的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一個(gè)角是30°的直角三角形．
(2)如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，連接BE．
①若BC＝BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；
②點(diǎn)P在線段AE上，連接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請(qǐng)直接寫出∠E的度數(shù)．

【分析】(1)利用“倍角三角形”的定義依次判斷可求解；
(2)①由折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BDE＝∠E，可得結(jié)論；
②分兩種情況討論，由三角形內(nèi)角和定理和“倍角三角形”的定義可求解．
【解答】(1)解：若頂角是30°的等腰三角形，
∴兩個(gè)底角分別為75°，75°，
∴頂角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，
若等腰直角三角形，
∴三個(gè)角分別為45°，45°，90°，
∵90°＝2×45°，
∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，
若有一個(gè)是30°的直角三角形，
∴另兩個(gè)角分別為60°，90°，
∵60°＝2×30°，
∴有一個(gè)30°的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案為：②③；
(2)①證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，
∴∠BAE＝2∠ADB，
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴∠E＝∠ADB，
∴∠BAE＝2∠E，
∴△ABE是“倍角三角形”；
②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，
如圖，

若△ABP是等腰三角形，則△BPE是“倍角三角形”，
∴△ABP是等邊三角形，
∴∠APB＝60°，
∴∠BPE＝120°，
∵△BPE是“倍角三角形”，
∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，
∴∠BEP＝20°或40°；
若△BPE是等腰三角形，則△ABP是“倍角三角形”，
∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，
∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，
∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，
∵△BPE是等腰三角形，
∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，
綜上所述：∠BPE的度數(shù)為45°或15°或20°或40°．
2．(2022秋?義烏市校級(jí)月考)【概念認(rèn)識(shí)】如圖①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”，其中，BD是“鄰AB三分線“，BE是“鄰BC三分線”．
【問(wèn)題解決】(1)如圖②所示．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的三分線BD交AC于點(diǎn)D．求∠BDC的度數(shù)．
(2)如圖③所示，在△ABC中．BP，CP分別是∠ABC的鄰BC三分線和∠ACB的鄰BC三分線，且∠BPC＝140°．求∠A的度數(shù)．
【延伸推廣】(3)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P，若∠A＝m°(m＞54)，∠ABC＝54°．求出∠BPC的度數(shù)．(用含m的式子表示)

【分析】(1)分BD是鄰AB的三分線和BD是鄰BC的三分線兩種情況解答即可；
(2)由∠BPC＝140°，得∠PBC+∠PCB＝40°，故∠ABC+∠ACB＝40°，可得∠ABC+∠ACB＝120°，從而∠A＝60°；
(3)分四種情況分別解答即可．
【解答】解：(1)當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時(shí)，∠ABD＝∠ABC＝15°，
則∠BDC＝∠ABD+∠A＝15°+80°＝95°，
當(dāng)BD′是“鄰BC三分線”時(shí)，∠ABD′＝∠ABC＝30°，
則∠BD′C＝∠ABD′+∠A＝30°+80°＝110°，
綜上所述，∠BDC的度數(shù)為95°或110°；
(2)∵∠BPC＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝40°，
∵BP，CP分別是∠ABC的鄰BC三分線和∠ACB的鄰BC三分線，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠A＝60°；
(3)如圖：

∵∠A＝m°，∠ABC＝54°，
∴∠ACD＝(m+54)°，
①當(dāng)BP是鄰AB的三等分線，AP是鄰AC的三等分線時(shí)，
∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝(m+36)°，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；
②當(dāng)BP是鄰AB的三等分線，AP是鄰CD的三等分線時(shí)，
∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝(m+18)°，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝(m﹣18)°；
③當(dāng)BP是鄰BC的三等分線，AP是鄰AC的三等分線時(shí)，
∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝(m+36)°，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝(m+18)°；
④當(dāng)BP是鄰BC的三等分線，AP是鄰CD的三等分線時(shí)，
∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝(m+18)°，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；
綜上所述，∠BPC度數(shù)為m或m﹣18或m+18或m．

3．(2022春?石嘴山校級(jí)期末)[問(wèn)題情境]
我們知道：在平面直角坐標(biāo)系中有不重合的兩點(diǎn)A(x1，y1)和點(diǎn)B(x2，y2)，若x1＝x2，則AB∥y軸，且線段AB的長(zhǎng)度為|y1﹣y2|；若y1＝y(tǒng)2，則AB∥x軸，且線段AB的長(zhǎng)度為|x1﹣x2|．

[拓展]
現(xiàn)在，若規(guī)定：平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)之間的折線距離為d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：圖中，點(diǎn)M(﹣1，1)與點(diǎn)N(1，﹣2)．
之間的折線距離d(M，N)＝|﹣1﹣1|+|1﹣(﹣2)|＝2+3＝5，
[應(yīng)用]
解決下列問(wèn)題：
(1)已知點(diǎn)E(3，2)，點(diǎn)F(1．﹣2)，求d(E，F(xiàn))的值；
(2)已知點(diǎn)E(3，1)，H(﹣1，n)，若d(E，H)＝6，求n的值；
(3)已知點(diǎn)P(3，4)，點(diǎn)Q在y軸上，O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，且△OPQ的面積是4.5，求d(P，Q)的值．

【分析】(1)根據(jù)折線距離為d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|計(jì)算即可；
(2)根據(jù)折線距離為d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，構(gòu)建方程求解即可；
(3)設(shè)Q(0，m)，利用三角形的面積公式求出m的值，再根據(jù)折線距離為d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|計(jì)算即可求解．
【解答】解：(1)∵點(diǎn)E(3，2)，點(diǎn)F(1，﹣2)，
∴d(E，F(xiàn))＝|3﹣1|+|2﹣(﹣2)|＝6；
(2)∵E(3，1)，H(﹣1，n)，d(E，H)＝6，
∴d(E，H)＝|3﹣(﹣1)|+|1﹣n|＝6，
解得：n＝﹣1 或3；
(3)如圖，設(shè)Q(0，m)．

由題意，?|m|?2＝4.5，
解得m＝±3，
∴Q(0，3)或(0，﹣3)，
當(dāng)Q(0，3)時(shí)，d(P，Q)＝|3﹣0|+|4﹣3|＝4，
當(dāng)Q(0，﹣3)時(shí)，d(P，Q)＝|3﹣0|+|4﹣(﹣3)|＝10，
∴d(P，Q)＝4或10．
4．(2022春?鎮(zhèn)江期末)定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們稱這兩個(gè)角互為“開心角”，這個(gè)三角形叫做“開心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，則∠A與∠B互為“開心角”，△ABC為“開心三角形”．
【理解】
(1)若△ABC為開心三角形，∠A＝144°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為　12　°；
(2)若△ABC為開心三角形，∠A＝70°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為　35或　°；
(3)已知∠A是開心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開心角，試確定∠A的取值范圍，并說(shuō)明理由；
【應(yīng)用】
如圖，AD平分△ABC的內(nèi)角∠BAC，交BC于點(diǎn)E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延長(zhǎng)BA和DC交于點(diǎn)P，已知∠P＝30°，若∠BAE是開心△ABE中的一個(gè)開心角，設(shè)∠BAE＝∠α，求∠α的度數(shù)．

【分析】(1)設(shè)最小角為α，由題意可得α+2α＝＝36°，求出α即為所求；
(2)當(dāng)∠A是“開心角”，則最小角為35°；當(dāng)∠A不是“開心角”，設(shè)最小角為α，α+2α＝110°，α＝()°；
(3)三角形另一個(gè)開心角是2∠A，第三個(gè)內(nèi)角是180°﹣3∠A，再由∠A≤180°﹣3∠A，可得∠A≤45°；
【應(yīng)用】由題意可得∠PAC＝180°﹣2∠α，設(shè)∠PCA＝x，則x＝2∠α﹣30°，∠AEB＝240°﹣3∠α，∠ABE＝2∠α﹣60°，分兩種情況討論：①當(dāng)∠BAE與∠ABE互為開心角時(shí)，∠BAE＝∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，求得∠α＝40°；②當(dāng)∠BAE與∠AEB互為開心角，∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB(舍)，求得∠α＝48°．
【解答】解：(1)設(shè)最小角為α，
∵△ABC為開心三角形，∠A＝144°，
∴α+2α＝180°﹣144°＝36°，
∴α＝12°，
故答案為：12；
(2)當(dāng)∠A是“開心角”，則最小角為35°；
當(dāng)∠A不是“開心角”，設(shè)最小角為α，
∴α+2α＝180°﹣70°＝110°，
∴α＝()°，
故答案為：35或；
(3)∠A是開心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開心角，
∴另一個(gè)開心角是2∠A，
∴第三個(gè)內(nèi)角是180°﹣3∠A，
∵∠A是最小內(nèi)角，
∴∠A≤180°﹣3∠A，
∴∠A≤45°；
【應(yīng)用】
∵AD平分△ABC的內(nèi)角∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE＝∠α，
∴∠PAC＝180°﹣2∠α，
設(shè)∠PCA＝x，
∵CD平分△ABC的外角∠DCF，
∴∠BCD＝∠CDF＝x，
∴∠ACB＝180°﹣2x，
∵∠P＝30°，
∴180°﹣2∠α+x＝150°，
∴x＝2∠α﹣30°，
∴∠AEB＝∠α+180°﹣2x＝240°﹣3∠α，
∴∠ABE＝180°﹣∠α﹣(240°﹣3∠α)＝2∠α﹣60°，
①當(dāng)∠BAE與∠ABE互為開心角時(shí)，
∠BAE＝∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，
∴∠α＝(2∠α﹣60°)或∠α＝2(2∠α﹣60°)，
解得∠α＝40°；
②當(dāng)∠BAE與∠AEB互為開心角，
∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE，∠EAC＝∠BAE，
∴∠BAE＝2∠AEB舍去，
∴∠α＝(240°﹣3∠α)，
解得∠α＝48°，
綜上所述：40°或48°．
5．(2022春?崇川區(qū)期末)定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”．
(1)如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．
求證：△ABD為“奇妙三角形”
(2)若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形；
(3)如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫出∠C的度數(shù)．

【分析】(1)根據(jù)“奇妙三角形”的定義，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即證明△ABD為“奇妙三角形”．
(2)由三角形的內(nèi)角和知，A+∠B＝100°，由△ABC為“奇妙三角形”得出∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°兩種情況，計(jì)算得∠B＝90°或∠A＝90°，從而證明△ABC是直角三角形．
(3)由三角形的內(nèi)角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC為“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°兩種情況，求得∠C＝80°或100°．
【解答】(1)證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
在△ABC中，∵∠ACB＝80°，
∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
即∠A+2∠ABD＝100°，
∴△ABD為“奇妙三角形”．
(2)證明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，
∵△ABC為“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，
∴∠B＝10°或∠A＝10°，
當(dāng)∠B＝10°時(shí)，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．
當(dāng)∠A＝10°時(shí)，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．
由此證得，△ABC是直角三角形．
(3)解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵△ABD為“奇妙三角形”，
∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，
①當(dāng)∠A+2∠ABD＝100°時(shí)，∠ABD＝(100°﹣40°)÷2＝30°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，
∴∠C＝80°；
②當(dāng)2∠A+∠ABD＝100°時(shí)，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，
∴∠C＝100°；
綜上得出：∠C的度數(shù)為80°或100°．
6．(2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考)定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)連線的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“好點(diǎn)”．如圖1，△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，若AD2＝BD?CD，則稱點(diǎn)D是△ABC中BC邊上的“好點(diǎn)”．

(1)如圖2，△ABC的頂點(diǎn)是4×3網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用直尺畫出(或在圖中直接描出)AB邊上的所有“好點(diǎn)”點(diǎn)D；
(2)△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”，求線段BD的長(zhǎng)；
(3)如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)H在AB上，連結(jié)CH并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D．若點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”．
①求證：OH⊥AB；
②若OH∥BD，⊙O的半徑為r，且r＝3OH，求的值．

【分析】(1)直角三角形的“好點(diǎn)”是斜邊的中點(diǎn)，作斜邊上的高，垂足也為“好點(diǎn)”，即可得答案；
(2)作AE⊥BC，解斜△ABC，設(shè)BD＝a，根據(jù)AD2＝DE2+AE2＝BD?CD列方程求得；
(3)①由△ACH∽△DBH得，CH?HD＝AH?BH，結(jié)合BH2＝CH?HD，得證；
②先確定AD是直徑，然后求出AH、BH、BD、BH、CH，從而求出比值．
【解答】解：(1)如圖1，

斜邊AB的中點(diǎn)D與斜邊AB上的高CD'的垂足D'均為AB邊長(zhǎng)的“好點(diǎn)”．
(2)如圖2，

作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，tanB＝，
∴設(shè)AE＝3a，BE＝4a，
tanC＝，
∴CE＝AE＝3a，
∴3a+4a＝7，
∴a＝1，
∴AE＝CE＝3，BE＝4，
∴AB＝5，
設(shè)BD＝x，
∴DE＝|4﹣x|，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
AD2＝DE2+AE2＝(4﹣x)2+32，
∵點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”，
∴AD2＝BD?CD＝x?(7﹣x)，
∴x?(7﹣x)＝(4﹣x)2+32，
∴x1＝5，x2＝，
即BD＝5或．
(3)如圖3，

①證明：∵點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”，
∴BH2＝CH?HD，
∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，
∴△ACH∽△DBH，
∴，
∴CH?HD＝AH?BH，
∴BH2＝AH?BH，
∴AH＝BH，
∴OH⊥AB；
②連接AD，
設(shè)OH＝a，則OA＝3a，
由①知，OH⊥AB，
又∵OH∥BD，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直徑，
∴OA＝OD＝3a，
在Rt△AOH 中，由勾股定理得，
AH＝，
∵AH＝BH＝，OA＝OD，
∴BD＝2a，
在Rt△BDH中，由勾股定理得，
DH＝＝，
由BH2＝CH?DH得：，
∴CH＝，
∴．
7．(2021秋?如皋市期末)【了解概念】
定義：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這個(gè)三角形其中一邊的一半，則稱這個(gè)三角形為半線三角形，這條中線叫這條邊的半線．
【理解運(yùn)用】
(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，試判斷△ABC是否為半線三角形，并說(shuō)明理由；
【拓展提升】
(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，M為△ABC外一點(diǎn)，連接MB，MC，若△ABC和△MBC均為半線三角形，且AD和MD分別為這兩個(gè)三角形BC邊的半線，求∠AMC的度數(shù)；
(3)在(2)的條件下，若MD＝，AM＝1，直接寫出BM的長(zhǎng)．

【分析】(1)根據(jù)半線三角形的定義進(jìn)行判斷即可；
(2)過(guò)點(diǎn)A作AN⊥AM交MC于點(diǎn)N，可證明△MAB≌△NAC，則AM＝AN，所以三角形MAN是等腰直角三角形，由此可解答；
(3)在(2)的基礎(chǔ)上可知，MB＝NC，AM＝AN＝1，在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，由此可得MB的長(zhǎng)．
【解答】解：(1)△ABC是半線三角形，理由如下：
取BC得中點(diǎn)D，連接AD，

∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AD＝AB，
∴△ABC是半線三角形．
(2)過(guò)點(diǎn)A作AN⊥AM交MC于點(diǎn)N，如圖，

∵M(jìn)D為△MBC的BC邊的半線，
∴MD＝BC＝BD＝CD，
∴∠DBM＝∠DMB，∠DMC＝∠DCM，
∴∠BMC＝90°，
同理∠BAC＝90°，
又∵∠MOB＝∠AOC，
∴∠MBA＝∠MCA，
∵∠MAN＝∠BAC＝90°，
∴∠MAB＝∠NAC．
∵AB＝AC，
∴△MAB≌△NAC(ASA)，
∴AM＝AN，
又∵∠MAN＝90°，
∴∠AMC＝∠ANM＝45°．
(3)由題意可知，BC＝2MD＝3，
由(2)知△MAB≌△NAC(ASA)，
∴MB＝NC，AM＝AN＝1，
∴MN＝，
在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，
∴MB2+(+MB)2＝32，
解得，MB＝2﹣(負(fù)值舍去)．
故MB的值為2﹣．
8．(2021秋?順義區(qū)期末)我們定義：在等腰三角形中，腰與底的比值叫做等腰三角形的正度．
如圖1，在△ABC中，AB＝AC，的值為△ABC的正度．
已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC邊上的動(dòng)點(diǎn)(D與A，B，C不重合)．
(1)若∠A＝90°，則△ABC的正度為　??；
(2)在圖1，當(dāng)點(diǎn)D在腰AB上(D與A、B不重合)時(shí)，請(qǐng)用尺規(guī)作出等腰△ACD，保留作圖痕跡；若△ACD的正度是，求∠A的度數(shù)．
(3)若∠A是鈍角，如圖2，△ABC的正度為，△ABC的周長(zhǎng)為22，是否存在點(diǎn)D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，說(shuō)明理由．

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案；
(2)作AC的中垂線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．設(shè)AD＝x，AE＝x，求出AD＝x，則可得出△ADE是等腰直角三角形，則可得出答案；
(3)設(shè)AB＝3x，BC＝5x，則AC＝3x．由三角形的周長(zhǎng)求出x＝2，得出AB＝6，AC＝6，BC＝10，作AH⊥BC于H，則BH＝CH＝5，由勾股定理求出AH，分兩種情況：當(dāng)AD＝DC時(shí)，當(dāng)AC＝DC＝6時(shí)，可求出答案．
【解答】解：(1)若∠A＝90°，，則△ABC的正度為，
故答案為：；
(2)用尺規(guī)作出等腰△ACD，如圖1，

作AC的中垂線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．
∴AD＝CD，DE⊥AC，AC＝2AE．
∵△ACD的正度是，
∴，
∴，
∴．
在Rt△ADE中，設(shè)AD＝x，AE＝x，
∴．
∴DE＝AE．
∴△ADE是等腰直角三角形．
∴∠A＝45°．
(3)存在點(diǎn)D，使△ACD具有正度．
∵△ABC的正度為，△ABC的周長(zhǎng)為22，
∴．
設(shè)AB＝3x，BC＝5x，則AC＝3x．
∵△ABC的周長(zhǎng)為22，
∴3x+5x+3x＝22．
∴x＝2．
∴AB＝6，AC＝6，BC＝10，
作AH⊥BC于H，則BH＝CH＝5，
∴AH＝．
①當(dāng)AD＝DC時(shí)，如圖2所示，

設(shè)AD＝DC＝y(tǒng)，則HD＝5﹣y，
由AH2+HD2＝AD2，得11+(5﹣y)2＝y(tǒng)2．
解得y＝，
即AD＝．
∴△ACD的正度為．
②當(dāng)AC＝DC＝6時(shí)，
如圖3所示，DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，

∴DA＝．
∴△ACD的正度為．
綜上所述，△ACD的正度為或．
9．(2021秋?丹陽(yáng)市期末)梅涅勞斯(Menelaus)是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖(1)，如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長(zhǎng)線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有＝1．
下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過(guò)程：
證明：如圖(2)，過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則有，，∴＝1．
請(qǐng)用上述定理的證明方法解決以下問(wèn)題：
(1)如圖(3)，△ABC三邊CB，AB，AC的延長(zhǎng)線分別交直線l于X，Y，Z三點(diǎn)，證明：＝1．
請(qǐng)用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問(wèn)題：
(2)如圖(4)，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF＝2AF，CF與AD交于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為　?。?br /> (3)如圖(5)，△ABC的面積為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為　?。?br />

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)C作CN∥XZ交AY于點(diǎn)N，根據(jù)平行線截線段成比例的知識(shí)解答即可；
(2)根據(jù)梅涅勞斯定理進(jìn)行推理；
(3)根據(jù)梅涅勞斯定理得，＝1，則＝，由面積公式得SBCEF＝S△BCF+S△CEF，即可得出答案．
【解答】(1)證明：如答圖1，過(guò)點(diǎn)C作CN∥XZ交AY于點(diǎn)N，

則＝，＝．
故：??＝??＝1．
(2)解：如答圖2，

根據(jù)梅涅勞斯定理得：＝1．
又∵BF＝2AF，
∴＝，＝2，
∴DE＝AE．
在等邊△ABC中，∵AB＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝1．
∴由勾股定理知：AD＝＝＝．
∴AE＝．
故答案是：；
(3)解：∵DEF是△ABC的梅氏線，
∴由梅涅勞斯定理得，＝1，
即××＝1，則＝．
如答圖3，連接FC，

S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，
于是S四邊形BCEF＝S△BCF+S△CEF
＝S△ABC
＝×2
＝．
故答案是：．
10．(2021秋?洪江市期末)從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．
(1)如圖1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割線，且AD＝CD，求∠ACB的度數(shù)；
(2)如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線；
(3)如圖3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長(zhǎng)．

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ACD＝44°，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BCD＝∠A，計(jì)算即可；
(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ACB＝80°，進(jìn)而判斷出△ABC不是等腰三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠ACD＝∠BCD＝44°，得到△ACD為等腰三角形和△BCD∽△BAC，根據(jù)三角形的完美分割線證明結(jié)論；
(3)根據(jù)題意求出AD，再根據(jù)△BCD∽△BAC，求出BD，再根據(jù)△BCD∽△BAC，求出CD．
【解答】(1)解：∵AD＝CD，∠A＝44°，
∴∠ACD＝∠A＝44°，
∵CD是△ABC的完美分割線，且AD＝CD，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A＝44°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝88°；
(2)證明：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣(∠A+∠B)＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD為等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割線；
(3)解：∵△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，
∴AC＝AD，
∵AC＝2，
∴AD＝2，
∵CD是△ABC的完美分割線，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴BC2＝BA?BD，
設(shè)BD＝x，則AB＝AD+BD＝2+x，
∴()2＝x(x+2)，
∴x＝±﹣1，
∵x＞0，
∴x＝﹣1，
∴BD＝﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴CD＝﹣．
11．(2021秋?石景山區(qū)期末)在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，點(diǎn)P是線段CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥CB交AB于點(diǎn)Q．給出如下定義：
若在AC邊上存在一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)N恰好在△ACB的邊上，則稱點(diǎn)M是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點(diǎn)”．
例如，圖1中的點(diǎn)M是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點(diǎn)”．
(1)如圖2，若CP＝1，點(diǎn)M1，M2，M3，M4在AC邊上且AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6．在點(diǎn)M1，M2，M3，M4中，是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點(diǎn)”為　M2、M4??；
(2)若點(diǎn)M是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點(diǎn)”，恰好使得△ACN是等腰三角形，求AM的長(zhǎng)；
(3)存在直線l及點(diǎn)M，使得點(diǎn)M是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點(diǎn)”，直接寫出線段CP的取值范圍．

【分析】(1)由軸對(duì)稱的性質(zhì)得MN⊥l，MN⊥AC，得MN直線截△ABC得到的含∠A的三角形是等腰直角三角形，則點(diǎn)N1在△ABC的外部，同理點(diǎn)M2關(guān)于直線l對(duì)稱N2，再證M1、M3不是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點(diǎn)”，M2、M4是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點(diǎn)”即可；
(2)分三種情況，①若AC為底邊，△ACN是等腰直角三角形；②若AC為腰且∠A為頂角；③若AC為腰且∠ACN為頂角，分別求出AM的長(zhǎng)即可；
(3)由(1)知，0＜AM＜6時(shí)，AM等于2倍的M到l的距離時(shí)，N點(diǎn)在AB邊上，AM＝6時(shí)，M到l的距離小于等于3時(shí)，N點(diǎn)在BC邊上，當(dāng)M到l的距離大于3時(shí)，N點(diǎn)在△ABC的外部，即可得出結(jié)論．
【解答】解：(1)∵Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，
∴∠A＝45°，
∵點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線l對(duì)稱，直線l⊥CB，∠ACB＝90°，
∴MN⊥l，MN⊥AC，
∴MN直線截△ABC得到的含∠A的三角形是等腰直角三角形，
∴MN直線與AB邊的交點(diǎn)到點(diǎn)M的距離等于AM，
∵AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6，CP＝1，
∴點(diǎn)M1關(guān)于直線l對(duì)稱N1，M1N1＝2＞AM1，
∴點(diǎn)N1在△ABC的外部，
同理，點(diǎn)M2關(guān)于直線l對(duì)稱N2，M2N2＝2＝AM2，點(diǎn)N2在△ABC的AB邊上，
點(diǎn)M3關(guān)于直線l對(duì)稱N3，M3N3＝2＜AM3，點(diǎn)N3在△ABC的內(nèi)部，
AM4＝6，則點(diǎn)M4與點(diǎn)C重合，M4N4＝2＜BC，點(diǎn)N4在△ABC的BC邊上，
∴M1、M3不是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點(diǎn)”，M2、M4是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點(diǎn)”，
故答案為：M2、M4；
(2)∵Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線l對(duì)稱，直線l⊥CB，∠ACB＝90°，
∴MN⊥l，MN⊥AC，
∴MN∥BC，
若△ACN是等腰三角形，
①若AC為底邊，△ACN是等腰直角三角形，如圖1所示：
則CN＝AN，
∴∠A＝∠NCA＝45°，
∴∠NCB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠NCB＝∠B，
∴CN＝BN，
∴AN＝BN，
∴N是AB的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，
∴M是AC的中點(diǎn)，
∴AM＝3；
②若AC為腰且∠A為頂角，如圖2所示：
則AN＝AC＝6，
在Rt△AMN中，∠AMN＝90°，∠A＝45°，
∴AM＝AN＝3；
③若AC為腰且∠ACN為頂角，則點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，如圖3所示：
∴AM＝6；
綜上所述，AM的長(zhǎng)為3或或6；
(3)由(1)知，0＜AM＜6時(shí)，AM等于2倍的M到l的距離時(shí)，N點(diǎn)在AB邊上，
AM＝6時(shí)，M到l的距離小于等于3時(shí)，N點(diǎn)在BC邊上，
當(dāng)M到l的距離大于3時(shí)，N點(diǎn)在△ABC的外部，
∵CP等于M到l的距離，
∴0＜CP≤3．

12．(2021秋?鄞州區(qū)期末)【問(wèn)題提出】
如圖1，△ABC中，線段DE的端點(diǎn)D，E分別在邊AB和AC上，若位于DE上方的兩條線段AD和AE之積等于DE下方的兩條線段BD和CE之積，即AD×AE＝BD×CE，則稱DE是△ABC的“友好分割”線段．
(1)如圖1，若DE是△ABC的“友好分割”線段，AD＝2CE，AB＝8，求AC的長(zhǎng)；
【發(fā)現(xiàn)證明】
(2)如圖2，△ABC中，點(diǎn)F在BC邊上，F(xiàn)D∥AC交AB于D，F(xiàn)E∥AB交AC于E，連結(jié)DE，求證：DE是△ABC的“友好分割”線段；
【綜合運(yùn)用】
(3)如圖3，DE是△ABC的“友好分割”線段，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于F，過(guò)點(diǎn)A畫AG∥DE交△ADE的外接圓于點(diǎn)G，連結(jié)GE，設(shè)＝x，＝y(tǒng)．
①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
②連結(jié)BG，CG，當(dāng)y＝時(shí)，求的值．

【分析】(1)設(shè)AE＝x，利用“友好分割”線段的定義得到等積式，將已知條件代入等積式中化簡(jiǎn)求得AE，則AC＝AE+EC，結(jié)論可得；
(2)利用平行線分線段成比例定理，通過(guò)等量代換即可得出結(jié)論；
(3)①過(guò)點(diǎn)C作CH∥BD交DF于點(diǎn)H，利用平行線分線段成比例定理，得到比例式，，將兩個(gè)等式左右分別相乘，整理后將＝x，＝y(tǒng)代入即可得出結(jié)論；
②利用①的結(jié)論可以得到；通過(guò)證明△BDG∽△GEC，利用相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．
【解答】(1)解：設(shè)AE＝x，
∵DE是△ABC的“友好分割”線段，
∴AD?AE＝BD?EC．
∵AD＝2CE，AB＝8，
∴2EC?AE＝(8﹣AD)?EC．
∴2x＝8﹣2EC．
∴x＝4﹣EC，
∴AE＝4﹣EC．
∴AC＝AE+EC＝4．
(2)證明：∵FD∥AC，
∴．
∵FE∥AB，
．
∴．
∴AD?AE＝BD?EC．
∴DE是△ABC的“友好分割”線段；
(3)解：①∵DE是△ABC的“友好分割”線段，
∴AD?AE＝BD?EC．
∴．
∵＝x，
∴＝x．
過(guò)點(diǎn)C作CH∥BD交DF于點(diǎn)H，如圖，

∵CH∥BD，
∴，．
∴．
∴．
∵＝x，＝y(tǒng)，
∴y×＝x．
∴y＝x2．
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2；
②連接DG，如圖，

∵y＝，y＝x2，
∴．
∵x＞0，
∴x＝．
即．
∵AG∥DE，
∴．
∴AD＝EG．
∴．
∴．
∴AE＝DG，∠ADE＝∠GED．
∴∠BDF＝∠GEF．
∵，
∴∠GDE＝∠AED．
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠GDE＝∠CEF．
∴∠BDF+∠GDE＝∠GEF+∠CEF．
即∠BDG＝∠GEC．
∵DE是△ABC的“友好分割”線段，
∴AD?AE＝BD?EC．
∴．
∴．
∴△BDG∽△GEC．
∴．
∵EG＝AD，
∴＝．
13．(2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末)定義1：如圖1，若點(diǎn)H在直線l上，在l的同側(cè)有兩條以H為端點(diǎn)的線段MH、NH，滿足∠1＝∠2，則稱MH和NH關(guān)于直線l滿足“光學(xué)性質(zhì)”；
定義2：如圖2，在△ABC中，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)P、Q、R分別在BC，AC、AB上，若RP和QP關(guān)于BC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR關(guān)于AB滿足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱△PQR為△ABC的光線三角形．
閱讀以上定義，并探究問(wèn)題：
在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三個(gè)頂點(diǎn)D、E、F分別在BC、AC，AB上．
(1)如圖3，若FE∥BC，DE和FE關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，求∠EDC的度數(shù)；
(2)如圖4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點(diǎn)E，D．
①證明：△DEF為△ABC的光線三角形；
②證明：△ABC的光線三角形是唯一的．

【分析】(1)證明∠AEF＝∠DEC＝75°，可得結(jié)論；
(2)①連接AD，證明AD⊥CB，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明BD＝DC，∠BAD＝∠CAD，推出BD＝DE＝DF，再分別證明∠FDB＝∠EDC＝30°，∠AEF＝∠DEC＝75°，∠AFE＝∠DFB＝75°，可得結(jié)論；
②證明△DFE是頂角為120°，腰長(zhǎng)為BC的一半的等腰三角形，即可解決問(wèn)題．
【解答】(1)解：如圖3中，∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠B＝∠C＝75°，
∵EF∥CB，
∴∠AEF＝75°，
∵DE和FE關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，
∴∠AEF＝∠DEC＝75°，
∴∠EDC＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°；

(2)①證明：如圖4中，

∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°，
∵AB是直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴BD＝DE，
∵CF⊥AB，
∴∠CFB＝90°，
∵DB＝DC，
∴DF＝DB＝DC，
∴DF＝DB＝DE＝DC，
∴∠B＝∠DFB＝75°，∠DCE＝∠DEC＝75°，
∴∠FDB＝∠EDC＝30°，
∴DF，DE關(guān)于BC滿足光學(xué)性質(zhì)，
∵∠DEF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE＝30°，
∴∠DEF＝∠EDC，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ACB＝75°，∠AFE＝∠B＝75°，
∴∠AFE＝∠DFB＝75°，∠AEF＝∠DEC＝75°，
∴FE，DE關(guān)于AC滿足光學(xué)性質(zhì)，EF，DF關(guān)于AB滿足光學(xué)性質(zhì)，
∴△DEF是為△ABC的光線三角形；

②證明：由①可知，DE＝DF＝DB＝DC，∠EDF＝120°，
∴△DFE是頂角為120°，腰長(zhǎng)為BC的一半的等腰三角形，
∴△DEF是唯一確定的，
∴△ABC的光線三角形是唯一的．
14．(2021秋?豐臺(tái)區(qū)期末)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段AB及點(diǎn)P，給出如下定義：
若點(diǎn)P滿足PA＝PB，則稱P為線段AB的“軸點(diǎn)”，其中，當(dāng)0°＜∠APB＜60°時(shí)，稱P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”；當(dāng)60°≤∠APB＜180°時(shí)，稱P為線段AB的“近軸點(diǎn)”．
(1)如圖1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(﹣2，0)，(2，0)，則在P1(﹣1，3)，P2(0，2)，P3(0，﹣1)，P4(0，4)中，線段AB的“軸點(diǎn)”是　P2，P3，P4??；線段AB的“近軸點(diǎn)”是　P3，P2?。?br /> (2)如圖2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)B在y軸正半軸上，∠OAB＝30°．若P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的取值范圍　t＜0或t＞3?。?br />
【分析】(1)由題意可知A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，則線段的“軸點(diǎn)”在y軸上；
(2)分兩種情況：①當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上方時(shí)，②當(dāng)P點(diǎn)在線段AB下方時(shí)，分別求△PAB為等邊三角形時(shí)t的值，即可確定t的取值范圍．
【解答】解：(1)∵A(﹣2，0)，B(2，0)，
∴A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，
∵PA＝PB，
∴P點(diǎn)在y軸上，
∴線段AB的“軸點(diǎn)”是P2，P4，P3，
當(dāng)P2(0，2)時(shí)，AP＝BP＝2，
∴∠APO＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴P2是線段AB的“近軸點(diǎn)”，
當(dāng)P3(0，﹣1)時(shí)，AP＝BP＝，
∴∠APB＞60°，
∴P3是線段AB的“近軸點(diǎn)”，
故答案為：P2，P3，P4；P3，P2；
(2)如圖1，∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵AP＝BP，
∵A(3，0)，
∴OB＝，
當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，P(0，﹣)，
∴當(dāng)t＜0時(shí)，P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”；
如圖2，當(dāng)AP⊥x軸時(shí)，
∵∠BAO＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∵PA＝PB，
∴∠APB＝60°，
∴此時(shí)P點(diǎn)是線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”，
∵A(3，0)，
∴OA＝3，
∴AB＝2，
∴AP＝2，
∴t＞3時(shí)P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”；
綜上所述：t＜0或t＞3時(shí)P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”，
故答案為：t＜0或t＞3．

15．(2022秋?長(zhǎng)沙期中)概念學(xué)習(xí)
規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．
從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角開中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來(lái)三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”．

理解概念：
(1)如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)“等角三角形”．
概念應(yīng)用：
(2)如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°．求證：CD為△ABC的等角分割線．
動(dòng)手操作：
(3)在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割線，請(qǐng)求出所有可能的∠ACB的度數(shù)．
【分析】(1)根據(jù)“等角三角形”的定義解答；
(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，根據(jù)“等角三角形”的定義證明；
(3)分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算．
【解答】解：(1)△ABC與△ACD，△ABC與△BCD，△ACD與△BCD是“等角三角形”；
(2)在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°
∵CD為角平分線，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝DA，
在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴CD為△ABC的等角分割線；
(3)當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖2，DA＝DC時(shí)，∠ACD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠BDC＝50°+50°＝100°，
當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖3，DA＝AC時(shí)，∠ACD＝∠ADC＝65°，∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝50°+65°＝115°，
當(dāng)△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情況不存在，
當(dāng)△BCD是等腰三角形，如圖4，DC＝BD時(shí)，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝＝，
∴∠ACB＝，
當(dāng)△BCD是等腰三角形，如圖5，DB＝BC時(shí)，∠BDC＝∠BCD，
設(shè)∠BDC＝∠BCD＝x，
則∠B＝180°﹣2x，
則∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由題意得，180°﹣2x+50°＝x，
解得，x＝，
∴∠ACD＝180°﹣2x＝，
∴∠ACB＝，
綜上所述：∠ACB的度數(shù)為100°或115°或或．

16．(2022春?華州區(qū)期末)閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：
我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．
(1)理解并填空：
①根據(jù)奇異三角形的定義，請(qǐng)你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？　是　(填“是”或“不是”)
②若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、、2，則該三角形　是　(填“是”或“不是”)奇異三角形．
(2)探究：在Rt△ABC，兩邊長(zhǎng)分別是a、c，且a2＝50，c2＝100，則這個(gè)三角形是否是奇異三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】(1)①根據(jù)等邊三角形的三邊相等、奇異三角形的定義判斷；
②根據(jù)奇異三角形的定義判斷；
(2)分c為斜邊、b為斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理、奇異三角形的定義判斷．
【解答】解：(1)①設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則a2+a2＝2a2，
∴等邊三角形一定是奇異三角形，
故答案為：是；
②∵12+()2＝8，2×22＝8，
∴12+()2＝2×22，
∴該三角形是奇異三角形，
故答案為：是；
(2)當(dāng)c為斜邊時(shí)，則b2＝c2﹣a2＝100﹣50＝50，
則a2+b2≠2c2，a2+c2≠2b2，
∴Rt△ABC不是奇異三角形；
當(dāng)b為斜邊時(shí)，b2＝a2+c2＝150，
則有a2+b2＝50+150＝200＝2c2，
∴Rt△ABC是奇異三角形，
答：當(dāng)c為斜邊時(shí)，Rt△ABC不是奇異三角形；當(dāng)b為斜邊時(shí)，Rt△ABC是奇異三角形．
17．(2022?任城區(qū)三模)我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad)．如圖①在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：
(1)sad60°＝　1?。?br /> (2)sad90°＝　?。?br /> (3)如圖②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．

【分析】(1)頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形，從而可得sad60°；
(2)頂角為90°的等腰三角形是等腰直角三角形，從而可得sad90°＝；
(3)在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于點(diǎn)E，分別表示出DE、AE，CE、CD，繼而可求出sadA的值．
【解答】解：(1)sad60°＝1；

(2)sad90°＝；

(3)設(shè)AB＝5a，BC＝3a，則AC＝4a，
在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：
則DE＝AD?sinA＝4a?＝，AE＝AD?cosA＝4a?＝，
CE＝4a﹣＝，，
∴sadA＝．

18．(2021?柯城區(qū)模擬)定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這個(gè)三角形為“等底高三角形”，這條邊叫做等底線，這條邊上的高叫做等高線．如圖：在△ABC，CD⊥AB于點(diǎn)D，且AB＝CD，則△ABC為等底高三角形，AB叫等底線，CD叫等高線．
【概念感知】
判斷：對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．
(1)等邊三角形不可能是等底高三角形．　√　
(2)等底高三角形不可能是鈍角三角形．　×　
【概念理解】
若一個(gè)等腰三角形為等底高三角形，則此三角形的三邊長(zhǎng)之比為　?。?br /> 【概念應(yīng)用】
(1)若△ABC為等底高三角形，等底線長(zhǎng)為2，求三角形的周長(zhǎng)的最小值．
(2)若一個(gè)等底高三角形的其中一邊是另一邊的倍，求最小角的正弦值．

【分析】拿到這種閱讀理解題，一定要先理解給出的新定義的含義，這是做題的根本．根據(jù)題意，多畫圖，才能找到題目的本意．
【解答】解：【概念感知】
(1)√，邊與高構(gòu)成直角三角形，斜邊不可能等于直角邊；
(2)×，如圖1，高在一邊的延長(zhǎng)線上即可．
【概念理解】分兩種情況：第一種情況如圖2﹣1，底邊上的高等于底邊時(shí)，
設(shè)BD＝a，則BD＝CD＝a，
∴BC＝AD＝2a，
在Rt△ABD中，AB＝AC＝＝＝，
∴AB：AC：BC＝．
第二種情況，如圖2﹣2，等腰直角三角形中，兩個(gè)腰分別為底和高時(shí)，
設(shè)BC＝a，則AC＝a，
在RtRt△ABC中，AB＝a，
∴AC：BC：AB＝1：1：．
【概念應(yīng)用】
(1)如圖3，BC＝AD＝2，設(shè)BD＝x(0＜x＜2)，則CD＝2﹣x，
∴在Rt△ABD中，AB＝，
在Rt△ACD中，AC＝，
∴l(xiāng)△ABC＝++2．
∵是點(diǎn)(2，0)到(0，x)的距離，
是點(diǎn)(2，2)到(0，x)的距離，
如圖4，作(2，2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(﹣2，2)，
則(﹣2，2)到(2，0)距離即為所求．
∴(l△ABC)min＝2+2．
(2)如圖1，設(shè)AB＝．
∵BC＝AD，
∴AB＝，
設(shè)BC＝AD＝a，
∴，
∴，
∴CD＝a．
∴，
，
又A、B均為銳角，C為鈍角，且sinB＜singA．
∴∠B最小，．
故答案為．

19．(2021?寧波模擬)在三角形的三邊中，若其中兩條邊的積恰好等于第三邊的平方，我們把這樣的三角形叫做有趣三角形，這兩條邊的商叫正度，記為k(0＜k≤1)．
(1)求證：正度為1的有趣三角形必是等邊三角形．
(2)如圖①，四邊形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠ACD＝∠ABC，求證：△ABC是有趣三角形．
(3)如圖②，菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線BD的三等分點(diǎn)，DE＝DC．延長(zhǎng)BD到P，使DP＝BE．
求證：△BCE，△FCP，△BCP是具有相同正度的有趣三角形．

【分析】(1)不妨假設(shè)BC2＝AB?AC．證明AB＝BC＝AC，可得結(jié)論；
(2)證明△DAC∽△ACB，推出＝，可得AC2＝AB?CB，可得結(jié)論；
(3)利用相似三角形的性質(zhì)證明EC2＝BE?CB，推出△ECB是有趣三角形，證明PF2＝CP?CF，推出△PCF是有趣三角形，證明PC2＝PB?CB，推出△PCB是有趣三角形，再證明它們的正度都是可得結(jié)論．
【解答】證明：(1)不妨假設(shè)BC2＝AB?AC．

∵正度為1，
∴＝1，
∴AB＝AC，
∵BC2＝AB?AC＝AB2，
∵BC＝AB＝AC，
∴△ABC是等邊三角形；

(2)如圖①中，∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DAC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴△DAC∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AC2＝AB?CB，
∴△ABC是有趣三角形；

(3)如圖②中，∵點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線BD的三等分點(diǎn)，DP＝BE，
∴BE＝EF＝FD＝DP，
∴BF＝DE＝FP，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，
∵CD＝DE，
∴CB＝CD＝BF＝DE＝FP，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCF+∠ECF＝∠CBE+∠ECB，
∴∠ECF＝∠CBE，
∵∠CFE＝∠CFB，
∴△FCE∽△FBC，
∴＝，
∴CF2＝EF?FB，
∴EC2＝BE?CB，
∴△ECB是有趣三角形，
∵CF2＝FD?FP，
∴＝，
∵∠CFD＝∠CFP，
∴△CFD∽△PFC，
∴＝，
∴PF2＝CP?CF，
∴△PCF是有趣三角形，
∵△CFD∽△PFC，
∴∠CDF＝∠PCF＝∠PBC，
∵∠P＝∠P，
∴△PCF∽△PBC，
∴＝，
∴PC2＝PB?CB，
∴△PCB是有趣三角形，
∵△ECB的正度＝＝，△PCF的正度＝＝＝＝，△PCB的正度＝＝，
∴△BCE，△FCP，△BCP是具有相同正度的有趣三角形．

20．(2021?臨海市一模)在三角形中，一個(gè)角兩夾邊的平方和減去它對(duì)邊的平方所得的差，叫做這個(gè)角的勾股差．

(1)概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差為　兩直角邊的平方和與斜邊的平方的差　；在底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形中，底角的勾股差為　4?。?br /> (2)性質(zhì)探究：如圖1，CD是△ABC的中線，AC＝b，BC＝a，AB＝2c，CD＝d，記△ACD中∠ADC的勾股差為m，△BCD中∠BDC的勾股差為n；
①求m，n的值(用含a，b，c，d的代數(shù)式表示)；
②試說(shuō)明m與n互為相反數(shù)；
(3)性質(zhì)應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E與F分別是AB與BC的中點(diǎn)，連接BD，DE，DF，若＝，且CD⊥BD，CD＝AD，求的值．
【分析】(1)依據(jù)勾股差的定義即可得到直角的勾股差等于兩直角邊的平方和與斜邊的平方的差；依據(jù)定義即可得出結(jié)論；
(2)①依據(jù)勾股差的定義可得：m＝c2+d2﹣b2，n＝c2+d2﹣a2；
②證明m+n＝0即可；
(3)依據(jù)勾股差的定義，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及(2)中得出的結(jié)論計(jì)算即可．
【解答】解：(1)∵一個(gè)角兩夾邊的平方和減去它對(duì)邊的平方所得的差，叫做這個(gè)角的勾股差，
∴直角的勾股差為兩直角邊的平方和與斜邊的平方的差．
∴等腰三角形的底角的勾股差為腰的平方+底邊的平方+另一腰的平方．
∵等腰三角形的兩個(gè)腰相等，
∴等腰三角形的底角的勾股差為底邊的平方＝22＝4．
故答案為：兩直角邊的平方和與斜邊的平方的差；4；
(2)①∵CD是△ABC的中線，AB＝2c，
∴AD＝BD＝c．
依據(jù)勾股差的定義可得：m＝c2+d2﹣b2，n＝c2+d2﹣a2；
②過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，如圖，

在Rt△ACM中，由勾股定理得：
b2＝CM2+AM2，
同理可得：
a2＝CM2+BM2，
CM2＝d2﹣MD2．
∴a2+b2＝2CM2+AM2+BM2．
∵AD＝BD＝c，
∴AM＝AD﹣MD＝c﹣MD，
BM＝BD+MD＝c+MD．
∴a2+b2＝2(d2﹣MD2)+(c﹣MD)2+(c+MD)2
＝2d2﹣2MD2+c2﹣2cMD+MD2+c2+2cMD+MD2
＝2d2+2c2．
由(1)知：m＝c2+d2﹣b2，n＝c2+d2﹣a2，
∴m+n＝c2+d2﹣b2+c2+d2﹣a2
＝2c2+2d2﹣(a2+b2)
＝0．
∴m與n互為相反數(shù)．
(3)∵＝，
∴設(shè)DF＝3m，AB＝4m．
∵F是BC的中點(diǎn)，CD⊥BD，
∴DF＝BC．
∴BC＝2DF＝6m．
∵點(diǎn)E與F分別是AB與BC的中點(diǎn)，
∴CF＝DF＝BF＝3m，BE＝AE＝2m．
∵點(diǎn)E與F分別是AB與BC的中點(diǎn)，
∴利用(2)中的結(jié)論可得：
BF2+DF2﹣BD2+CF2+DF2﹣CD2＝0，
BE2+DE2﹣BD2+AE2+DE2﹣AD2＝0．
∴4DF2＝BD2+CD2，
2AE2+2DE2＝BD2+AD2．
∵CD＝AD，
∴BD2+CD2＝BD2+AD2．
∴4DF2＝2AE2+2DE2．
∴2×(3m)2＝(2m)2+DE2．
解得：DE＝m．
∴＝．

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