宿州市2023屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題2023.2注意事項(xiàng)：1. 本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3. 回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A.  B.  C.  D. 3.“”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件4. 我國(guó)《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等，便得到一個(gè)3階幻方.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等，這個(gè)正方形叫作n階幻方.記n階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為，如，那么下列說法錯(cuò)誤的是（    ）A. B. 7階幻方第4行第4列的數(shù)字為25C. 8階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為260D. 9階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為3965. 函數(shù)的圖象大致是（    ）A. B. C. D.6. 設(shè)，若，則（    ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 117. 已知A、B，C是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且，直線AC，BC的斜率分別為，（），若的最小值為1，則雙曲線的離心率為（    ）A.  B.  C.  D. 28. 已知，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 已知平面向量，，，則下列說法正確的是（    ）A. 若，則  B. 若，則C. 若，則向量在上的投影向量為 D. 若，則向量與的夾角為銳角10. 已知函數(shù)，其圖象相鄰對(duì)稱軸間的距離為，點(diǎn)是其中一個(gè)對(duì)稱中心，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 函數(shù)的最小正周期為B. 函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程是C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的一半，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到正弦函數(shù)的圖象11. 已知，，且，則下列不等關(guān)系成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 12. 棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F，G分別為棱AD，，的中點(diǎn)，過點(diǎn)E，F，G的平面記為平面，則下列說法正確的是（    ）A. 平面B. 平面全科試題免費(fèi)下載公眾號(hào)《高中僧課堂》C. 平面截正方體外接球所得圓的面積為D. 正方體的表面上與點(diǎn)E的距離為的點(diǎn)形成的曲線的長(zhǎng)度為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實(shí)數(shù)a的值為______.14. 若拋物線C：存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的拋物線方程為_______.15. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和______.16. 已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.四、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.17.（本小題滿分10分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求角A的大??；（2）求的取值范圍.18.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為棱PC靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn).（1）證明：平面PAB；（2）求DE與平面PBC所成的角的正弦值.19.（本小題滿分12分）在數(shù)列中，，且.（1）令，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.20.（本小題滿分12分）宿州號(hào)稱“中國(guó)云都”，擁有華東最大的云計(jì)算數(shù)據(jù)中心、CG動(dòng)畫集群渲染基地，是繼北京、上海、合肥、濟(jì)南之后的全國(guó)第5家量子通信節(jié)點(diǎn)城市.為了統(tǒng)計(jì)智算中心的算力，現(xiàn)從全市n個(gè)大型機(jī)房和6個(gè)小型機(jī)房中隨機(jī)抽取若干機(jī)房進(jìn)行算力分析，若一次抽取2個(gè)機(jī)房，全是小型機(jī)房的概率為.（1）求n的值；（2）若一次抽取3個(gè)機(jī)房，假設(shè)抽取的小型機(jī)房的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.（本小題滿分12分）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)M作圓O：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的取值范圍.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），a，.（1）當(dāng)時(shí)，討論在上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使，求a的取值范圍.     宿州市2023屆高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（單項(xiàng)選擇）題號(hào)12345678答案CBADADAB二、選擇題（多項(xiàng)選擇）題號(hào)9101112答案ABABABCABD三、填空題13. 5    14. （即可）    15.    16. 四、解答題17. 解：（Ⅰ）由正弦定理可得，即，由余弦定理的變形得，又，所以.（Ⅱ），由（Ⅰ）知，所以，從而，所以，從而.即的取值范圍為.18.（Ⅰ）證明：記F為棱PB靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，連接EF，AF.因?yàn)?/span>，且，又且，所以且，即四邊形ADEF為平行四邊形，所以，又因?yàn)?/span>平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.（Ⅱ）解：在BC上取一點(diǎn)G，使得，所以，又，知四邊形AGCD為矩形，從而，又底面ABCD，所以AG，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AG，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，從而，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，可取為平面PBC的一個(gè)法向量，則，設(shè)DE與平面PBC所成的角為，則，即DE與平面PBC所成的角的正弦值為.19. 解：（Ⅰ）由題意，又，所以，數(shù)列為以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以.（Ⅱ）由已知當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，所以.20. 解：（Ⅰ）共有個(gè)機(jī)房，抽取2個(gè)機(jī)房有種方法，其中全是小機(jī)房有種方法，因此全是小機(jī)房的概率為，從而解得.（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3.，，，.則隨機(jī)變量X的分布列為X0123P則X的數(shù)學(xué)期望.21. 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓焦距為2c，由題意可得，解得，，所以，從而橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，則以OM為直徑的圓的方程為，又圓O：，兩式相減得直線AB的方程為，設(shè)，，由，消去y整理后得，，，所以，又點(diǎn)O到直線PQ的距離，設(shè)的面積為S，則，其中，令，則，設(shè)，，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得，于是可得，即的面積的取值范圍為.22. 解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)，即時(shí)，且不恒為0，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程有兩不等正根，結(jié)合定義域由可得，由可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程有一負(fù)根和一正根，結(jié)合定義域由可得，由可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上可知：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，令，，則，即為，而在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.又，①當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知在上是增函數(shù)，恒有，故不存在，使；③當(dāng)時(shí)，由于時(shí)，，所以，令，則，所以在上是增函數(shù)，最大值為，又，所以，此時(shí)恒有，因此不存在，使.綜上可知，.即a的取值范圍為.另解：分離變量可得：，令，，則，易得當(dāng)時(shí)，，且，從而，所以在單調(diào)遞減，于是.

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