NEIRONGSUOYIN
基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)
題型分類(lèi) 深度剖析
1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a， 一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝ .其中，不共線(xiàn)的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組 .
ZHISHISHULI
2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝，|a|＝ .(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ＝， ＝ .3.平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線(xiàn)? .
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
1.若兩個(gè)向量存在夾角，則向量的夾角與直線(xiàn)的夾角一樣嗎？為什么？
提示　不一樣.因?yàn)橄蛄坑蟹较颍本€(xiàn)不考慮方向.當(dāng)向量的夾角為直角或銳角時(shí)，與直線(xiàn)的夾角相同.當(dāng)向量的夾角為鈍角或平角時(shí)，與直線(xiàn)的夾角不一樣.
2.平面內(nèi)的任一向量可以用任意兩個(gè)非零向量表示嗎？
提示　不一定.當(dāng)兩個(gè)向量共線(xiàn)時(shí)，這兩個(gè)向量就不能表示，即兩向量只有不共線(xiàn)時(shí)，才能作為一組基底表示平面內(nèi)的任一向量.
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底.(　　)(2)若a，b不共線(xiàn)，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)(3)在等邊三角形ABC中，向量 的夾角為60°.(　　)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成(　　)(5)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.(　　)(6)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).(　　)
2.[P97例5]已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
3.[P119A組T9]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線(xiàn)，則＝______.
解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1).由ma＋nb與a－2b共線(xiàn)，
4.設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＋λ2＝___.
6.已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝______.
解析　因?yàn)閍∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.
題型一　平面向量基本定理的應(yīng)用
解　由題意知，A是BC的中點(diǎn)，
應(yīng)用平面向量基本定理的注意事項(xiàng)(1)選定基底后，通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來(lái).(2)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等.(3)強(qiáng)化共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用.
即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，如圖所示.∵A，M，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，
例2　(1)已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若 ＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為A.(2,0) B.(－3,6)C.(6,2) D.(－2,0)
題型二　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
解析　設(shè)N(x，y)，則(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.
解析　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解，若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進(jìn)行求解.
綜上可知，x＋y＝－2或6.
題型三　向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示
命題點(diǎn)1　利用向量共線(xiàn)求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)
例3　已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
解析　方法一　由O，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).
命題點(diǎn)2　利用向量共線(xiàn)求參數(shù)
例4　(2018·洛陽(yáng)模擬)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，則實(shí)數(shù)k的值為
解析　因?yàn)閍＝(2，－1)，b＝(1,1)，所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，又c＝(－5,1)，由(a＋kb)∥c
平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略(1)如果已知兩向量共線(xiàn)，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”.(2)在求與一個(gè)已知向量a共線(xiàn)的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R).
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，則m的值是A.－4 B.1 C.0 D.－2
解析　a＋2b＝(4，m－4)，由a∥(a＋2b)，得2(m－4)＝4m，m＝－4，故選A.
A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3)
3.(2018·三明質(zhì)檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，t)，且a∥b，則|a＋b|等于
解析　根據(jù)題意可得1×t＝2×(－2)，可得t＝－4，所以a＋b＝(－1，－2)，
4.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ為實(shí)數(shù))，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(－∞，2) B.(2，＋∞)C.(－∞，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析　由題意知向量a，b不共線(xiàn)，故2m≠3m－2，即m≠2.
7.若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)____.
8.設(shè)向量a，b滿(mǎn)足|a|＝ b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_(kāi)_________.
解析　∵b＝(2,1)，且a與b的方向相反，∴設(shè)a＝(2λ，λ)(λ

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