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專題06 半角模型綜合應(yīng)用（能力提升）
1． 如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CD，BC上，且∠EAF＝45°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，連接BD交AF于點(diǎn)M，DE＝2，BF＝3，則GM＝　?。?br />
【答案】2
【解答】解：連接GE交AF于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABF＝∠ADE＝∠C＝90°，AB＝AD＝BC＝DC，AD∥BC，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
由旋轉(zhuǎn)得：
AE＝AG，∠ABF＝∠ADE＝90°，BG＝DE＝2，∠BAG＝∠DAE，
∴∠BAG+∠BAF＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF＝45°，
∵∠ABF＝∠ABG＝90°，
∴∠GBC＝∠ABG+∠ABF＝180°，
∴點(diǎn)G、B、F三點(diǎn)在同一條直線上，
∵BF＝3，
∴FG＝BG+BF＝2+3＝5，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG＝FE＝5，
設(shè)正方形ABCD的邊長為x，
∴CF＝x﹣3，CE＝x﹣2，
在Rt△ECF中，F(xiàn)C2+EC2＝EF2，
∴（x﹣3）2+（x﹣2）2＝52，
∴x＝6或x＝﹣1（舍去），
∴正方形ABCD的邊長為6，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝3，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠MFB，∠ADM＝∠MBF，
∴△ADM∽△FBM，
∴＝＝＝2，
∴AM＝AF＝2，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝2，
∵AG＝AE，F(xiàn)G＝FE，
∴AF是EG的垂直平分線，
∴∠AOE＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴AE＝AO，
∴AO＝2，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，
∴EG＝2GM，
在Rt△ECG中，EC＝DC﹣DE＝6﹣2＝4，GC＝BC+GB＝6+2＝8，
∴EG＝＝＝4，
∴GM＝2，
故答案為：2．
2．如圖：已知正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)M、N分別在DC、BC上，且滿足∠MAN＝45°，△CMN的周長為2，則△CMN面積的最大值是 　 ．

【答案】3﹣2　
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，CD＝CB；
如圖，將△ABN繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，
∴AE＝AN，DE＝BN，∠DAE＝∠BAN；
∴∠MAE＝∠MAD+∠BAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAD+∠BAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAE＝∠MAN；
在△MAE與△MAN中，
，
∴△MAE≌△MAN（SAS），
∴ME＝MN，
∴MD+BN＝MN；
∴△MCN的周長＝CM+CN+MN＝CM+ME+CN＝CM+DM+CN+BN＝CD+CB＝2，而CD＝CB，
∴CD＝CB＝1；設(shè)DM＝x，BN＝y(tǒng)，△CMN的面積為s，
則S＝＝，
整理得：x+y﹣xy＝1﹣2S①；
由勾股定理得：MN2＝CM2+CN2，
即（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，
整理得：x+y+xy＝1②，聯(lián)立①②得：
xy＝s，x+y＝1﹣s，
∴x、y為方程z2﹣（1﹣s）z+s＝0的兩個(gè)根，
∴△≥0，即[﹣（1﹣s）]2﹣4s≥0，
解得：s或s（不合題意，舍去），
故答案為3﹣2．

3．旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法，通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)D、E在邊BC上，且．
（1）如圖a，當(dāng)α＝60°時(shí)，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AFB的位置，連結(jié)DF．
①∠DAF＝　 ??；②求證：DF＝DE；
（2）如圖b，當(dāng)α＝90°時(shí)，猜想BD、DE、CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．


【解答】（1）①解：由旋轉(zhuǎn)知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°，
∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°，
∴∠DAE＝×60°＝30°，
∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，
∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°，
故答案為：30°；

②證明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°，
∵AB＝AC，
∴△DAF≌△DAE（SAS），
∴DF＝DE；

（2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下：
如圖，
將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB的位置，連結(jié)DF，
∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴△BAF≌△CAE（SAS），
∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，
在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝90°，根據(jù)勾股定理得，DF2＝BD2+BF2，
∴DF2＝BD2+CE2，
同（1）②的方法得，DF＝DE，
∴DE2＝BD2+CE2．

4．已知∠MBN＝60°，等邊△BEF與∠MBN頂點(diǎn)B重合，將等邊△BEF繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊EF所在直線與∠MBN的BN邊相交于點(diǎn)C，并在BM邊上截取AB＝BC，連接AE．
（1）將等邊△BEF旋轉(zhuǎn)至如圖①所示位置時(shí)，求證：CE＝BE+AE；
（2）將等邊△BEF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖②、圖③位置時(shí)，請(qǐng)分別直接寫出AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；
（3）在（1）和（2）的條件下，若BF＝4，AE＝1，則CE＝　 　．

【解答】（1）證明：∵△BEF為等邊三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE與△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝EF+CF，
∴CE＝BE+AE；
（2）解：圖②結(jié)論為CE＝BE﹣AE，圖③結(jié)論為CE＝AE﹣BE，
圖②的理由如下：
∵△BEF為等邊三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE與△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝EF﹣CF，
∴CE＝BE﹣AE，
圖③的利用如下：
∵△BEF為等邊三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE與△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝CF﹣EF，
∴CE＝AE﹣BE；
（3）解：在（1）條件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5；
在（2）條件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3，
綜上所述，CE＝3或5，
故答案為：3或5．
5．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．
（1）如圖①，當(dāng)∠MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：　 ；
（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；
（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長．

【解答】解：（1）如圖①AH＝AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在△ABM與△ADN中，，
∴△ABM≌△ADN，
∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，
∵AH⊥MN，
∴∠MAH＝MAN＝22.5°，
∵∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，
在△ABM與△AHM中，，
∴△ABM≌△AHM，
∴AB＝AH；
故答案為：AH＝AB；

（2）數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長CB至E，使BE＝DN．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM，
∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，
∴AB＝AH；

（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
分別延長BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD，
設(shè)AH＝x，則MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，
∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，
解得x1＝6，x2＝﹣1（不符合題意，舍去）
∴AH＝6．


6．問題提出：
如圖1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，點(diǎn)O為△ABC的外心，則△ABC的外接圓半徑是 　 ?。?br /> 問題探究：
如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD兩邊上點(diǎn)且∠EAF＝45°，請(qǐng)問線段BE、DF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
問題解決：
如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，點(diǎn)E、F分別是射線CB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，并且∠EAF＝∠C＝60°，試問△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值．若不存在，請(qǐng)說明理由．

【解答】解：（1）如圖1，作出△ABC的外接圓⊙O，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝10，
∴OB＝sin45°×BC＝，

故答案為：5．
（2）EF＝BE+DF，理由如下：
如圖2，延長EB，使BG＝DF，連接AG，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠GAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝GE＝DF+BE，
（3）存在最小值，如圖3，延長CB，使BG＝DF，

∵∠ABC＝45°，
∴∠ABG＝135°，
∴∠ABG＝∠ADF，
又∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，
∵∠ABC＝45°，∠D＝135°，∠C＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝60°，
∴∠GAE＝60°，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
在△AEF中，∵∠EAF＝60°，AH＝4，
∴EF邊上的高AK＝4，
畫△AEF的外接圓⊙O，作OM⊥EF于M，

∵∠EAF＝60°，
∴∠EOM＝60°，
設(shè)OM＝x，EM＝，OE＝2x，EF＝2，
∵OM+OA≥AK，
∴x+2x≥4，
∴x≥，
∴EF的最小值為2×，
∴S△AEF的最小值為．
7．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45度．則有結(jié)論EF＝BE+FD成立；
（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結(jié)論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說明理由．
（2）若將（1）中的條件改為：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延長BC到點(diǎn)E，延長CD到點(diǎn)F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結(jié)論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．

【解答】解：（1）延長CB到G，使BG＝FD，連接AG，
∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．

（2）結(jié)論不成立，應(yīng)為EF＝BE﹣DF，
證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．


8．已知，四邊形ABCD是正方形，∠MAN＝45°，它的兩邊AM、AN分別交CB、DC與點(diǎn)M、N，連接MN，作AH⊥MN，垂足為點(diǎn)H
（1）如圖1，猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；
（2）如圖2，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD＝2，CD＝3，求AD的長；
小萍同學(xué)通過觀察圖①發(fā)現(xiàn)，△ABM和△AHM關(guān)于AM對(duì)稱，△AHN和△ADN關(guān)于AN對(duì)稱，于是她巧妙運(yùn)用這個(gè)發(fā)現(xiàn)，將圖形如圖③進(jìn)行翻折變換，解答了此題．你能根據(jù)小萍同學(xué)的思路解決這個(gè)問題嗎？

【解答】（1）答：AB＝AH，
證明：延長CB至E使BE＝DN，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°
又∵AB＝AD，
∵在△ABE和△ADN中，
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠1＝∠2，AE＝AN，
∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠2+∠3＝90°﹣∠MAN＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
即∠EAM＝45°，
∵在△EAM和△NAM中，
，
∴△EAM≌△NAM（SAS），
又∵EM和NM是對(duì)應(yīng)邊，
∴AB＝AH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等）；

（2）作△ABD關(guān)于直線AB的對(duì)稱△ABE，作△ACD關(guān)于直線AC的對(duì)稱△ACF，

∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
∴∠E＝∠F＝90°，
又∵∠BAC＝45°
∴∠EAF＝90°
延長EB、FC交于點(diǎn)G，則四邊形AEGF是矩形，
又∵AE＝AD＝AF
∴四邊形AEGF是正方形，
由（1）、（2）知：EB＝DB＝2，F(xiàn)C＝DC＝3，
設(shè)AD＝x，則EG＝AE＝AD＝FG＝x，
∴BG＝x﹣2；CG＝x﹣3；BC＝2+3＝5，
在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52
解得x1＝6，x2＝﹣1，
故AD的長為6．

9.已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．
（1）如圖1，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，有BM+DN＝MN．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，如圖2，請(qǐng)問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并證明．

【解答】解：（1）圖1中的結(jié)論仍然成立，即BM+DN＝MN，理由為：
如圖2，在MB的延長線上截取BE＝DN，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，
即DN+BM＝MN；

（2）猜想：線段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系為：DN﹣BM＝MN．
證明：如圖3，在DN上截取DE＝MB，連接AE，
∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．
10．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線BC、CD于M、N．
（1）當(dāng)M、N分別在邊BC、CD上時(shí)（如圖1），求證：BM+DN＝MN；
（2）當(dāng)M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時(shí)（如圖2，圖3），線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；
（3）在圖3中，作直線BD交直線AM、AN于P、Q兩點(diǎn)，若MN＝10，CM＝8，求AP的長．

【解答】解：（1）證明：作AE⊥AN交CB的延長線于E，
∵∠EAB+∠BAN＝90°，∠NAD+∠BAN＝90°，∴∠EAB＝∠NAD．
又∵∠ABE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABE≌△AND（ASA），
∴AE＝AN，BE＝DN．
∵∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，
∴△AME≌△AMN．
∴MN＝ME＝MB+BE＝MB+DN．


（2）圖2的結(jié)論：MN+DN＝BM；
圖3的結(jié)論：MN+BM＝DN．

（3）連接AC．
∵M(jìn)N＝10，CM＝8，
在Rt△MNC中，根勾股定理得：MN2＝CM2+CN2，即102＝82+CN2，
∴CN＝6，
如圖3在ND上截取DG＝BM，

∵AD＝AB，∠ABM＝∠ADN＝90°，
∴△ADG≌△ABM，
∴AG＝AM，∠MAB＝∠DAG，
∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠MAG＝90°，△AMG為等腰直角三角形，
∴AN垂直MG，
∴AN為MG垂直平分線，
所以NM＝NG．
∴DN﹣BM＝MN，即MN+BM＝DN，
∴MN+CM﹣BC＝DC+CN，
∴CM﹣CN+MN＝2BC，
∴8﹣6+10＝2BC，
∴BC＝6．
∴AC＝6．
∵∠BAP+∠BAQ＝45°，∠NAC+∠BAQ＝45°，
∴∠BAP＝∠NAC．
又∠ABP＝∠ACN＝135°，
∴△ABP∽△CAN，
∴＝＝．
∵在Rt△AND中，根據(jù)勾股定理得：AN2＝AD2+DN2＝36+144，
解得AN＝6．
∴＝，
∴AP＝3．


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專題06 半角模型綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國通用）

專題06 半角模型綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國通用）
專題06 半角模型綜合應(yīng)用（能力提升）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國通用）

專題06 半角模型綜合應(yīng)用（能力提升）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國通用）
備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 能力提升 專題05 對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用(解析版)

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 能力提升 專題05 對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用(解析版)
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