一、選擇題1.已知復數(shù)滿足,則在復平面內(nèi)對應的點位于（   ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：因為,所以,即,所以,故在復平面內(nèi)對應的點為,位于第四象限.故選D.2.已知集合，,則（   ）A.B.C.D.答案：C解析：由,得或,所以；由,得或,所以,或,從而.故選C.3.榫卯是一種中國傳統(tǒng)建筑、家具及其他器械的主要結構方式,是在兩個構件上采用凹凸部位相結合的一種連接方式.凸出的部分叫做榫(或叫榫頭),凹進部分叫卯(或叫榫眼、榫槽).現(xiàn)要在一個木頭部件制作一個榫眼,最終完成一個直角轉彎結構的部件,那么制作成的榫眼的俯視圖可以是（   ）A.B.C.D.答案：B解析：法一：榫眼的形狀和榫頭一致,故榫眼的俯視圖的輪廓線為虛線且從結果圖可知榫眼應為通透的,排除AD；又C選項的結構左下方部分缺了一塊,這與榫眼的結構不符,符合條件的只有B.故選B.法二：因榫眼的制作部件為長方體,所以C,D不正確；又榫眼應為通透的,所以A不正確.故選B.4.若,,則是的（   ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：B解析：由,得,所以,即；由,得,因為,故是的必要不充分條件.故選B.5.已知某圓錐的側面展開圖為半圓,該圓錐的體積為,則該圓錐的表面積為（   ）A.B.C.D.答案：A解析：設圓錐底面半徑為,母線長為,則,所以,所以圓錐的高為,所以,解得,故其表面積.故選A.6.已知,,則（   ）A.B.C.D.答案：C解析：因為,,所以,所以.故A錯誤,C正確；對于B,取,,,,雖滿足條件,但,故B錯誤；對于D,取,,,,雖滿足條件,但,故D錯誤.故選C.7.若函數(shù)的圖象與直線的兩相鄰公共點的距離為,要得到的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移（   ）A.個單位長度B.個單位長度C.個單位長度D.個單位長度答案：D解析：由題意,得,解得,所以,其圖象向左平移個單位長度,可得的圖象,即為的圖象,所以,解得,又,則.故選D.8.如圖,在正三棱柱中,,,則異面直線與所成角的余弦值為（   ）A.B.C.D.答案：B解析：取的中點,連接交于點,連接,則,且,則為異面直線與所成的角或其補角.易求,,則,所以.故選B.9.已知,若是與的等比中項,則的最小值為（   ）A.B.C.D.答案：A解析：由題意得,即,所以,又,所以,,所以,當且僅當,即，時等號成立.故的最小值為.故選A.10.如圖,在體積為的斜三棱柱中,為棱上一點,三棱錐的體積為，則三棱錐的體積為（   ）A.B.C.D.答案：A解析：設三棱柱的底面積為,其高為,三棱錐的高為,三棱錐的高為,則,,所以,即,又,即,所以,所以.故選A.11.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù),為奇函數(shù),當時,,若,則（   ）A.B.C.D.答案：C解析：因為為奇函數(shù),所以,又為偶函數(shù),所以,所以,即,所以,故是以為周期的周期函數(shù).由,易得,,所以,所以,,解得,,所以,故選C.12.已知函數(shù),是其導函數(shù),,恒成立,則（   ）A.B.C.D.答案：D解析：設,則,當時,,當時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,,所以,即,所以,故A錯誤；因為,所以,又,所以,故B錯誤；因為,所以,,即,因為,所以,故C錯誤,D正確.故選D.二、填空題13.已知,滿足約束條件，則的最小值為        .答案：解析：畫出可行域(如圖陰影部分),由圖知當直線過點時,取得最小值,易求,代入得.故.14.已知向量,,且,則        .答案：解析：,由,得,解得.則,故.15.已知函數(shù)，將的圖象繞原點逆時針旋轉角后得到曲線,若曲線仍是某個函數(shù)的圖象,則的最大值為        .答案：解析：,所以,故函數(shù)的圖象在處的切線為,其向上部分與軸正向的夾角為,函數(shù)的圖象繞原點旋轉不超過時,仍為某函數(shù)圖象,若超過,軸與圖象有兩個公共點,與函數(shù)定義不符,故的最大值為.16.如圖,在幾何體中,四邊形為正方形,平面,,,則該幾何體的外接球的表面積為        .答案：解析：取,中點,,正方形中心,中點,連接,,,,如圖,依題意,平面,,點是的中點,,等腰中,,,同理,所以等腰梯形的高,由幾何體的結構特征知,幾何體的外接球的球心在直線上,連接,,,正方形的外接圓半徑,則有，而,,當點在線段的延長線（含點）時,視為非負數(shù),若點在線段（不含點）上,視為負數(shù),即有,即,解得,所以該幾何體的外接球的球心為,半徑為,所以該幾何體的外接球的表面積.三、解答題17.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,為其前項和,,,,成等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若,數(shù)列的前項和為,證明：.答案：見解析解析：（1）設數(shù)列的公比為,由題意知,即,因為,,所以,所以,所以.（2）由（1）得,所以,所以,所以.顯然單調(diào)遞增,所以,因為,所以,所以.18.產(chǎn)品宣傳在企業(yè)的生產(chǎn)銷售中占據(jù)著比較重要的地位,好的宣傳對產(chǎn)品打開市場,提高銷售額有著重要的作用.某生產(chǎn)企業(yè)通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),年銷售量(萬件)與宣傳費用(萬元)的關系為.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件除宣傳費用外還要投入萬元,產(chǎn)品的銷售單價定為元,假設生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售出.（1）求產(chǎn)品的年利潤的解析式；（2）當宣傳費用為多少萬元時,生產(chǎn)該產(chǎn)品獲得的年利潤最大？答案：見解析解析：（1）.（2）由（1）知,所以,當且僅當,即時等號成立.所以當宣傳費用為萬元時,生產(chǎn)該產(chǎn)品獲得的年利潤最大.19.在中,角,,的對邊分別為,,,,且.（1）求；（2）若的周長為,求邊上中線的長.答案：見解析解析：（1）因為,又,所以,由余弦定理,得.又,所以,由及正弦定理,得,所以,由,得,所以,解得.（2）由（1）可知,,所以,所以,由,得.因為的周長為,所以,解得.設的中點為,則.由余弦定理,得,所以邊上中線的長為.20.如圖,,分別為正方形的邊,的中點,平面,平面,與交于點,,,.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的大小.答案：見解析解析：（1）連接,因為,分別為,的中點,所以.因為平面,平面,所以,所以.因為四邊形為正方形,所以,又,所以,又,平面,,所以平面.（2）由（1）知,又平面,平面,所以平面.設與的交點為,則點到平面的距離等于點到平面的距離,由（1）知平面,又平面,所以平面平面,作,為垂足,因為平面平面,平面,所以平面.因為,,,為,的中點,所以,,,由得,得,即點到平面的距離為.（3）由平面可得,同理可證,所以為二面角的一個平面角,因為平面,平面,所以,同理,又,,所以,所以,即二面角的大小為.21.如圖所示的幾何體是由等高的個圓柱和半個圓柱組合而成,點為的中點,為圓柱上底面的圓心,為半個圓柱上底面的直徑,,分別為,的中點,點,,,四點共面,,為母線.（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成的較小的二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.答案：見解析解析：（1）取的中點,連接,,又為的中點,所以,又平面,平面,所以平面,因為,,,分別為,的中點,所以,且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面,又,平面,,所以平面平面,因為平面,所以平面.（2）由題意知,,兩兩垂直,故以點為原點,直線,,分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設圓柱的底面半徑為,高為,則,,,,,,,所以,,,,.設平面的一個法向量,則即，令,解得,,所以；設平面的一個法向量，則即，令，解得，，所以，所以,化簡,得,所以,所以,.設與平面所成的角為,所以.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設,若,且,使得,證明：.答案：見解析解析：（1）的定義域為,,當時,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增；當時,令,得；令,得；所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.（2）,由題意知,,,不妨設,使得.所以,整理為,令,,則,所以在上單調(diào)遞增,又,所以,所以,所以,因為,所以,即,所以.下面證明,即證明,設,即證明,只要證明.設,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以,所以,所以.

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