2023年普通高等學校全國統(tǒng)一模擬招生考試新未來12月聯(lián)考理科數(shù)學一、選擇題1.設復數(shù)，是的共軛復數(shù)，則（    ）A.B.C.D.答案：D解析：∵，故選：D.2.已知集合,則（    ）A.B.C.D.答案：B解析：依題意，.故選：B.3.年月，居民消費價格走勢為點，同比增長率為,增速高于平均值,增速樂觀.下表統(tǒng)計了近年的消費價格走勢,令年月時,年月時,,依次類推,得到與居民消費價格(點)的線性回歸方程為,由此可估計,年月份的消費價格約為（    ）A.點B.點C.點D.點答案：B解析：把代入，得點.故選：B.4.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（    ）A. B.C.D.答案：A解析：由，可知，函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項C，又，排除選項B，D.故選：A.5.若曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為,則（    ）A.B.C.D.答案：B解析：∵，∵，∴切線方程為，可化為.令，得；令，得，解得.故選：B.6.已知數(shù)列中.,則數(shù)列的前項和（    ）A.B.C.D.答案：C解析：∵，∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，∴.∴，∴數(shù)列的前項和.故選：C.7.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖,網(wǎng)格小正方形的邊長為,則該多面體的體積為（    ）A.B.C.D.答案：D解析：由三視圖還原該幾何體，得幾何體如圖所示.則該幾何體的體積為.故選：D.8.已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有個零點，則的取值范圍是（    ）A.B.C.D.答案：D解析：，當時，.∵在內(nèi)有且僅有個零點，∴.故選：D.9.在正方體中,已知,點在棱上,且,則正方體表面上到點距離為的點的軌跡的總長度為（    ）A.B.C.D.答案：C解析：依題意,∵,∴，且.在平面內(nèi)滿足條件的點的軌跡為,長度為；同理,在平面內(nèi)滿足條件的點的軌跡長度為；在平面內(nèi)滿足條件的點的軌跡為以為圓心,為半徑的圓弧，長度為；同理,在平面內(nèi)滿足條件的點的軌跡為以為圓心,為半徑的圓弧,長度為.故軌跡的總長度為.故選：C.10.如圖,某水果店門前用根繩子掛了串香蕉，從左往右的串數(shù)依次為.到了晚上,水果店老板要收攤了,假設每次只取串(掛在一列的只能先取下面的),則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)是（    ）A.B.C.D.答案：D解析：將串香蕉編號為.把“”取完,方法為，,共種,再把插入其中,每個有種插法.共有種方法.故選：D.11.已知動點分別在拋物線和圓上，則的最小值為（    ）A.B.C.D.答案：A解析：設，依題意，，把代入，得.令，則，單調(diào)遞增，且.∴，即.故選：A.12.已知,則（    ）A.B.C.D.答案：C解析：由，同理得，又由，可得，又由，令，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又由，可知，故有.故選：C.二、填空題13.設向量的夾角的余弦值為,且,則         .答案：解析：由題意可得，則.14.已知雙曲線,其右焦點到漸近線的距離為,則該雙曲線的離心率為         .答案：解析：∵右焦點到漸近線的距離為，∴，又.15.柏拉圖多面體并不是由柏拉圖所發(fā)明,但卻是由柏拉圖及其追隨者對它們所作的研究而得名，由于它們具有高度的對稱性及次序感,因而通常被稱為正多面體.柏拉圖視“四古典元素”中的火元素為正四面體,空氣為正八面體,水為正二十面體,土為正六面體.如圖,在一個棱長為的正八面體(正八面體是每個面都是正三角形的八面體)內(nèi)有一個內(nèi)切圓柱(圓柱的底面與構成正八面體的兩個正四棱錐的底面平行),則這個圓柱的體積的最大值為         .答案：解析：如圖,設該圓柱的底面半徑為,高.由題可知,.則.又.∴圓柱的體積.可知,當時,；當時,.∴當時,.16.如圖,在中,,點為的中點,則當取最大值時,         .答案：解析：設，令.∴∴，解得.∴的最大值為，此時取得最大值，.三、解答題17.已知數(shù)列的前項和為,滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.答案：見解析解析：（1）∵，兩式相減，得，∴，又當時，，即，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，即.（2）∵，∴數(shù)列的前項和.18.如圖,在長方體中,已知為中點,連接,為線段上的一點,且.(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.答案：見解析解析：(1)證明：連接.依題意,可知,∴.即,∵平面平面,∴.又.∴平面平面平面.∵平面.∴.同理,可知,則. ∴.即.∵平面平面,且,∴平面.(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,則.∴，設平面的法向量為,則即令,則，設平面的法向量為.則即令,則.有，∴，即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.19.在高考結束后，程浩同學回初中母?？赐麛?shù)學老師,順便幫老師整理初三年級學生期中考試的數(shù)學成績,并進行統(tǒng)計分析.在整個年級中隨機抽取了名學生的數(shù)學成績,將成績分為,共組,得到如圖所示的頻率分布直方圖,記分數(shù)不低于分為優(yōu)秀.(1)從樣本中隨機選取一名學生,已知這名學生的分數(shù)不低于分,問這名學生數(shù)學成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；(2)在樣本中,采取分層抽樣的方法從成績在內(nèi)的學生中抽取名,再從這名學生中隨機抽取名,記這名學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.答案：見解析解析：(1)依題意,得.解得， 則不低于分的人數(shù)為,優(yōu)秀的人數(shù)為 故這名學生成績是優(yōu)秀的概率為；(2)成績在內(nèi)的有(人)；成績在內(nèi)的有(人)；成績在內(nèi)的有(人).故采用分層抽樣抽取的名學生中,成績在內(nèi)的有人,在內(nèi)的有人，在內(nèi)的有人,由題可知,的可能取值為.，，.∴的分布列為∴. 20.已知函數(shù).其中.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設,如果對任意的,求實數(shù)的取值范圍.答案：見解析解析：(1)當時,，在上單調(diào)遞增，當時，,在上單調(diào)遞減；(2)假設,而,由(1)知,在上單調(diào)遞減，∴，∴化簡為.令,則在上單調(diào)遞減，∴，即.∴.故實數(shù)的取值范圍是.21.已知曲線經(jīng)過點.(1)求曲線的方程；(2)已知定點,過的直線與曲線交于兩點,過的直線與曲線交于兩點.若三點共線,證明：三點共線. 答案：見解析解析：(1)因為曲線經(jīng)過點.所以解得.即曲線的方程為；(2)證明：易知直線的斜率存在,設,設,令直線與曲線聯(lián)立，消去,整理得，∴,同理可得因為三點共線.則可設直線,且所以,整理得令直線與曲線聯(lián)立，消去.整理得，所以，所以又，且所以,即三點共線.四、選做題（二選一）22.在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線的極坐標方程為.(1)求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；(2)若直線與軸交于點,與曲線分別交于兩點,求的值.答案：見解析解析：（1）∵，∵∴直線的直角坐標方程為，∵曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),消去參數(shù),得.∴曲線的普通方程為；(2)在直線中,令,得，可設直線的參數(shù)方程為代入中，化簡,整理可得,則.令方程的兩個根為，∴.∴.23.已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若函數(shù)的最小值為,正實數(shù)滿足,求的最小值.答案：見解析解析：（1）當時，或或解得，則解集為.（2），∴，∵為正實數(shù)，∴，當且僅當即時等號成立. 

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