2022年哈三中高三學(xué)年第三次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理工類）一、選擇題1.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（   ）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可判斷其虛部；【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為；故選：C.2.已知集合，，則（   ）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】求出集合，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，則或，因此，.故選：C.3.下列命題中正確的是（   ）A.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)大于中位數(shù)B.對(duì)一組數(shù)據(jù)，如果將它們變?yōu)?/span>，其中，則平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生改變C.有甲?乙?丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為D.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則答案：D解析：【分析】A：根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)比較即可；B：根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)即可判斷；C：根據(jù)比例即可求出樣本容量；D：根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求出．【詳解】對(duì)于A，數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，中位數(shù)是，眾數(shù)等于中位數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)據(jù)，如果將它們變?yōu)?/span>，其中，則平均數(shù)增加C，標(biāo)準(zhǔn)差不變，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，有甲?乙?丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則，故D正確．故選：D．4.已知，，，則與的夾角為（   ）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】根據(jù)題意得，再求出，代入公式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，，所以，設(shè)與的夾角為，所以，所以.故選：B.5.某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則該幾何體的表面積（單位：）是（   ）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】由三視圖可還原幾何體，分別計(jì)算幾何體各個(gè)面的面積，加和即可得到結(jié)果.【詳解】由三視圖可知幾何體為如下圖所示的四棱柱，其中四邊形，為矩形；四邊形為平行四邊形，棱柱的高為，，，側(cè)棱長(zhǎng)為；幾何體表面積.故選：B.6.已知命題：若平面平面，直線平面，則平面，命題：若平面平面，直線，直線，則是的充要條件，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為（   ）①；②；③；④.A. B. C. D.答案：D解析：【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷命題真假，根據(jù)面面垂直和線面垂直的判定與性質(zhì)判斷q命題真假，從而可判斷各個(gè)命題真假，從而得到答案．【詳解】若平面平面，直線平面，則或，故是假命題；若平面平面，直線，直線，，若，則可以是內(nèi)任意直線，此時(shí)無法得到，故是假命題；故是假命題，是真命題，是真命題，是真命題．故真命題的個(gè)數(shù)是．故選：D．7.定義在上的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有成立；②函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；③對(duì)任意的，，，都有成立.則，，的大小關(guān)系為（   ）A. B.C. D.答案：B解析：【分析】由①②可得函數(shù)是周期為4的函數(shù)，且是奇函數(shù)，由③可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而利用周期性和單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又，所以，即，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，所以，，，因?yàn)?/span>，且，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又因?yàn)閷?duì)任意的，，，都有成立，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以，故選：B.8.舉世矚目的第屆冬奧會(huì)于年月日至月日在北京舉辦，某高校甲、乙、丙、丁、戊位大學(xué)生志愿者前往、、、四個(gè)場(chǎng)館服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一位志愿者.由于工作需要甲同學(xué)不能去場(chǎng)館，則所有不同的安排方法種數(shù)為（   ）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】分兩種情況討論：①場(chǎng)館安排人；②場(chǎng)館安排人.再安排其余三個(gè)場(chǎng)館的志愿者，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論：①若場(chǎng)館安排人，則其余人分為三組，每組人數(shù)分別為、、，分為三組后再分配給、、三個(gè)場(chǎng)館，此時(shí)，安排方法種數(shù)為；②若場(chǎng)館安排人，則其余三個(gè)場(chǎng)館各安排人，此時(shí)，安排方法種數(shù)為.綜上所述，不同的安排方法種數(shù)為種.故選：C.9.如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線米的點(diǎn)處接球，此時(shí)，假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時(shí)甲離上方端線的距離為（   ）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】先根據(jù)題意解出長(zhǎng)度，設(shè)，得到，再分析求值域，判斷取等條件即可求解.【詳解】設(shè)，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：，，所以，且，所以，又，所以，解得，即，設(shè)，，則，，所以在中，有，令，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，則要使最大，即要取得最小值，即取得最大值，即在取得最大值，令，，所以的對(duì)稱軸為：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即最大，此時(shí)，即，所以，所以，即為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時(shí)甲離上方端線的距離為：.故選：B.10.設(shè)圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線為，對(duì)于切線上的點(diǎn)和圓上的點(diǎn)，下列命題中正確的是（   ）A.若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為B.若，則C.若，則D.若，則答案：B解析：【分析】對(duì)于A，通過計(jì)算可知，A不正確；對(duì)于B，當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最大值為，可判斷B正確；對(duì)于C，當(dāng)與重合時(shí)，可判斷C不正確；對(duì)于D，根據(jù)，可判斷D不正確.【詳解】對(duì)于A，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故A不正確；對(duì)于B，若，則，當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最大值為，所以，故B正確；對(duì)于C，若，當(dāng)與重合時(shí)，，故C不正確；對(duì)于D，若，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，故D不正確.故選：B.11.已知菱形中，，將其沿對(duì)角線折成四面體，使得二面角的大小為，若該四面體的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（   ）A.B.C.D.答案：A解析：【分析】取線段的中點(diǎn)為，連接、，分析可知二面角的平面角為，然后過的外心作，過的外心作，設(shè)，可知為四面體的外接球球心，計(jì)算出的長(zhǎng)，即為球的半徑，再利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在菱形中，，則為等邊三角形，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接、，則，因?yàn)?/span>，則，同理可知，所以，二面角的平面角為，即，因?yàn)?/span>，則為等邊三角形，所以，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得為的中點(diǎn)，連接、，易知，，則為等邊三角形，可得，同理，所以，為的外心，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得為的中點(diǎn)，同理可知點(diǎn)為的外心，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，設(shè)，因?yàn)?/span>，，，平面，平面，，，，平面，同理可證平面，所以，為三棱錐的外接球球心，如下圖所示：因?yàn)?/span>，，，所以，，所以，，則，因?yàn)?/span>，由勾股定理可得，因此，三棱錐的外接球半徑為，因此，三棱錐的表面積為.故選：A.12.已知函數(shù)，，曲線的圖象上不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)在曲線下方，則符合條件的實(shí)數(shù)的取值的集合為（   ）A.B.C.D.答案：A解析：【分析】由題可得恒成立，分類討論，可得，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，即得.【詳解】由題可得恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)的值域?yàn)?/span>R，不合題意，當(dāng)時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，存在，使，即，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，設(shè)，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即所以，即.故選：A.二、填空題13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，則的最大值為________.答案：解析：【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列與下標(biāo)和有關(guān)的性質(zhì)可得為定值，根據(jù)基本不等式即可求的最大值．【詳解】∵，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最大值為．故答案為：．14.若變量，滿足約束條件則的最小值為________.答案：解析：【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)取得最小值，代入求得最小值為.15.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線的漸近線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若???四點(diǎn)共圓，則雙曲線的漸近線方程為________.答案：解析：【分析】由幾何性質(zhì)可得四邊形為等腰梯形，則，由點(diǎn)，，，可知，即可求得漸近線方程.【詳解】由已知得，，，∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴,∵、、、四點(diǎn)共圓,∴,∴,又∵,∴,∴,∴四邊形為等腰梯形，∴,∴，解得，則雙曲線的漸近線方程為，故答案為：.16.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為________，函數(shù)的值域?yàn)?/span>________.答案：解析：【分析】根據(jù)最低點(diǎn)求，利用求，利用周期求，即可得到解析式；把函數(shù)化簡(jiǎn)后作出圖象，即可求出值域.【詳解】由圖象可知：.又有，解得：，所以.所以作出圖象如下圖所示：所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>.故答案為：；.三、解答題17.等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：見解析解析：【分析】（1）設(shè)數(shù)列公比為，根據(jù)通項(xiàng)公式列式求出，即可得解；（2）根據(jù)進(jìn)行裂項(xiàng)求和可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列公比為，由，，可得，化簡(jiǎn)得，即，所以.（2），則.19.如圖，四棱錐中，，四邊形為直角梯形，，，且，．（1）求證：直線平面；（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的平面角的余弦值.答案：見解析解析：【分析】(1)證明平面，得到，再結(jié)合，即可證明平面；(2)由平面知即為直線與平面所成的角，從而可求長(zhǎng)度；以為原點(diǎn)為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出、、、的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用向量法即可求二面角的平面角的余弦值．【詳解】（1）∵，，∴，∴，又∵，，∴平面，∴，∵，，∴平面；（2）∵平面，∴即為直線與平面所成的角，∴，∴．以為原點(diǎn)為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系：則，，，，則，，，設(shè)平面法向量，則，即，則可取，設(shè)平面法向量為，則，即，取，則，則，∴，由圖可知二面角的平面角為鈍角，故其余弦值為．21.年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵(lì)市民接種第三針新冠疫苗.某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的疫苗接種人數(shù)與第三針接種人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的線性回歸方程（若，則線性相關(guān)程度很高，可用直線擬合）.（2）若區(qū)市民甲?乙均在某日接種疫苗，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，上午和下午接種疫苗分別需等待分鐘和分鐘，已知甲?乙在上午接種疫苗的概率分別為、，且甲?乙兩人需要等待時(shí)間的總和的期望不超過分鐘，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考公式和數(shù)據(jù)：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，，.答案：見解析解析：【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)公式及最小二乘法即得；（2）設(shè)甲?乙兩人排隊(duì)總時(shí)間為，進(jìn)而可得，然后結(jié)合條件即得.【詳解】（1）由題：，，，，，所以相關(guān)系數(shù)，說明與之間的線性相關(guān)程度很高，所以可用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系.，故關(guān)于的線性回歸方程為.（2）設(shè)甲?乙兩人排隊(duì)總時(shí)間為，則的所有可能取值為，，，，，.所以，由，得，又，所以，故的取值范圍為.23.已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)、為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，其中.“以直代曲”是微積分的基本思想和重要方法.請(qǐng)你在①、②兩種方法中選擇一種（也可以同時(shí)選擇①②）來證明：.①用直線代替曲線在之間的部分；②用曲線在處的切線代替其在之間的部分.答案：見解析解析：【分析】（1）求得，分別解不等式、可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）分析可知，，選①，證明出，，令與的交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則，可得出，構(gòu)造函數(shù)，，可得出，即可得出；選②，求出在處的切線為，證明出，，令與的交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得出，構(gòu)造函數(shù)，，可得出，即可證得結(jié)論成立；選①②，證明出則，，，，令與的交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則，令與的交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則，可得，數(shù)形結(jié)合可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.由可得，由可得.所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）證明：由（1）可知，，由可得，因?yàn)楹瘮?shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，由可知，，若選①，當(dāng)時(shí)，，則，則，，令與的交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則，由可得，，令，，即，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，；選②，，，所以，在處的切線為.令，其中，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，，，令與的交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則，可得，所以，，，，，即，，由知，，所以；若選①②，當(dāng)時(shí)，，則，則，，，，所以，在處的切線為.令，其中，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，，，令與的交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則，令與的交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則，可得，則，由可得.25.已知梯形的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且，直線過拋物線的焦點(diǎn).（1）若四邊形為等腰梯形，求；（2）若直線與直線的交點(diǎn)為，求實(shí)數(shù)的值.答案：見解析解析：【分析】(1)設(shè)方程為，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)坐標(biāo)，同理設(shè)為()，求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系結(jié)合可得的位置關(guān)系，從而求得的值，從而可求．(2)根據(jù)可得，可得，結(jié)合的坐標(biāo)可得，故求出點(diǎn)橫坐標(biāo)和點(diǎn)橫坐標(biāo)即可.易知、、三點(diǎn)共線可求的值，故可求的坐標(biāo)，聯(lián)立與拋物線方程即可求的橫坐標(biāo)，由此即可求得．【詳解】（1）由題可知直線斜率若存在，則斜率不為零，故可設(shè)直線為，與聯(lián)立得，設(shè)，則，則，則中點(diǎn)為．∵，則設(shè)為()，與聯(lián)立得，設(shè)，則，則，則中點(diǎn)﹒∴和縱坐標(biāo)相同，則軸，又∵為等腰梯形，∴，∴軸，即軸，∴，；（2）∵，∴，又由圖可知，故，∵，∴，設(shè)是中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∵，易知、、三點(diǎn)共線，則結(jié)合(1)中和的坐標(biāo)可知，，∴，則為，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，易得，∴可求直線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，∵，∴解得．四、選做題（2選1）27.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)、，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求.答案：見解析解析：【分析】(1)將、、代入圓的極坐標(biāo)方程即可求其直角坐標(biāo)方程；(2)將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入圓的直角坐標(biāo)方程得到關(guān)于參數(shù)的二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理和直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義即可求出．【詳解】（1）∵，∴，即；（2）直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(為參數(shù))，代入圓直角坐標(biāo)方程整理得，設(shè)方程的兩根為、，則、對(duì)應(yīng)參數(shù)、，則，∴．29.函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且實(shí)數(shù)滿足.求證：.答案：見解析解析：【分析】（1）利用零點(diǎn)分段討論法即可求解；（2）由絕對(duì)值三角不等式可得的最小值，進(jìn)而有，又，從而利用柯西不等式即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以原不等式即為，解得；當(dāng)時(shí)，，原不等式即為，解得；當(dāng)時(shí)，，原不等式即為，解得.綜上，原不等式的解集為.（2）因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，由柯西不等式可知，所以（當(dāng)，，時(shí)等號(hào)）.

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