高中數(shù)學(xué)高考 2020-2021學(xué)年下學(xué)期高三3月月考卷 數(shù)學(xué)（B卷）-教師版

這是一份高中數(shù)學(xué)高考 2020-2021學(xué)年下學(xué)期高三3月月考卷 數(shù)學(xué)（B卷）-教師版，共9頁(yè)。試卷主要包含了選擇題的作答，非選擇題的作答，多項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為等內(nèi)容，歡迎下載使用。
（新高考）2020-2021學(xué)年下學(xué)期高三3月月考卷數(shù)學(xué)（B）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位，)為純虛數(shù)，則的值為（    ）A． B． C．3 D．5【答案】A【解析】，因?yàn)樵搹?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，，所以，故選A．2．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，集合，可得，因?yàn)?/span>，所以，解得，故選B．3．已知直線與，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件  B．必要不充分條件C．充分必要條件  D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則，解得，則可得“”是“”的必要不充分條件，即“”是“”的必要不充分條件，故選B．4．已知正三角形的邊長(zhǎng)為4，是邊上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，且令A在軸正半軸上，建立如圖坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，，所以，由，知，故的取值范圍是，故選B．5．圓上任意一點(diǎn)到直線的距離大于的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓心為，圓心到直線的距離，如圖，取，過作交圓于，可知滿足條件的點(diǎn)在劣弧上（不包括A，B），在中，，，所以，，即，因?yàn)榉蠗l件的點(diǎn)所在弧長(zhǎng)所對(duì)圓心角為，由幾何概型可知，故選C．6．函數(shù)與 (且)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，有圖象如下：當(dāng)時(shí)，有圖象如下：故選A．7．有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒中殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為3個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和110個(gè)這樣的病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死，至少需要（    ）A．4秒鐘 B．5秒鐘 C．6秒鐘 D．7秒鐘【答案】B【解析】1秒時(shí)，新被殺死的病毒為1個(gè)，自身新增長(zhǎng)3個(gè)；2秒時(shí)，新被殺死的病毒為3個(gè)，自身新增長(zhǎng)個(gè)；3秒時(shí)，新被殺死的病毒為個(gè)，自身新增長(zhǎng)個(gè)；…以此類推n秒時(shí)，新被殺死的病毒為個(gè)，自身新增長(zhǎng)個(gè)，故累計(jì)殺死病毒數(shù)為，由，得，，解得正整數(shù)，故選B．8．多項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】原式，所以展開式中含的項(xiàng)包含中項(xiàng)為，和中的項(xiàng)為，這兩項(xiàng)的系數(shù)和為，故選C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知正方體的棱長(zhǎng)為4，是棱上的一條線段，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是（    ）A．與一定不垂直 B．二面角的正弦值是C．的面積是 D．點(diǎn)到平面的距離是常量【答案】BCD【解析】對(duì)A，當(dāng)與重合時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由于是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是棱上的一條線段，故平面也是平面，平面，則，，則即為二面角的平面角，，，，則，則，故B正確；對(duì)C，由于是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是棱上的一條線段，且，則，的距離即為三角形的高，平面，，則即為三角形的高，，故C正確；對(duì)D，由于是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是棱上的一條線段，，則平面，則點(diǎn)到平面的距離為常量，故D正確，故選BCD．10．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，給出以下命題，其中正確的是（    ）A．若，則B．C．若，則可由解得的范圍是D．若，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>【答案】ABD【解析】由題意時(shí)，，．A．設(shè)，則，若，則，∴，即，A正確；B．由的定義，時(shí)，，，同理時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，∴，B正確；C．，，若，則，，，滿足題意，但也滿足題意，C錯(cuò)；D．，定義域是，則，即，是奇函數(shù)；設(shè)，，，則，時(shí)，，，時(shí)，，，∴函數(shù)的值域?yàn)?/span>，D正確，故選ABD．11．曲率半徑是用來描述曲線上某點(diǎn)處曲線彎曲變化程度的量，已知對(duì)于曲線上點(diǎn)處的曲率半徑公式為，則下列說法正確的是（    ）A．對(duì)于半徑為R的圓，其圓上任一點(diǎn)的曲率半徑均為RB．橢圓上一點(diǎn)處的曲率半徑的最大值為aC．橢圓上一點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為D．對(duì)于橢圓上一點(diǎn)處的曲率半徑隨著a的增大而減小【答案】AC【解析】圓：，，曲率半徑為，A正確；在橢圓上，，∴，，B錯(cuò)誤，C正確；，令，，，∴在上隨增大而增大，D錯(cuò)誤，故選AC．12．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則對(duì)任意、，其中，則下列不等式中一定成立的有（    ）A． B．C．  D．【答案】ABC【解析】由，知，令，則，∴在上單調(diào)遞減，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．A：，有，，所以；B：由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且時(shí)，，，，有，，所以無法確定，的大小，即無法確定與的大小，故選ABC． 第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．將5個(gè)不同的小球全部放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中所放的球的個(gè)數(shù)不大于其編號(hào)數(shù)，則共有_________種不同的放法．【答案】535【解析】四個(gè)盒子放球的個(gè)數(shù)如下：1號(hào)盒子：{0，1}2號(hào)盒子：{0，1，2}3號(hào)盒子：{0，1，2，3}4號(hào)盒子：{0，1，2，3，4}結(jié)合由5個(gè)不同的小球全部放入盒子中，不同組合下放法：5=1+4：種5=2+3：種5=1+1+3：種5=1+2+2：種5=1+1+1+2：種∴5個(gè)相同的小球放入四個(gè)盒子方式共有535種，故答案為535．14．下列說法：①線性回歸方程必過；②命題“，”的否定是“，”；③相關(guān)系數(shù)越小，表明兩個(gè)變量相關(guān)性越弱；④在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得，則有的把握認(rèn)為這兩個(gè)變量間有關(guān)系．其中正確的說法是__________．(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都寫在橫線上）本題可參考獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：【答案】①④【解析】線性回歸方程必過，故①正確；命題“，”的否定是“，”，故②錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)r絕對(duì)值越小，表明兩個(gè)變量相關(guān)性越弱，故③錯(cuò)誤；在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得，則有的把握認(rèn)為這兩個(gè)變量間有關(guān)系，故④正確，故答案為①④．15．設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為__________．【答案】【解析】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖陰影部分所示，表示的幾何意義為可行域中的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，由，可得，同理，到直線的距離為，到直線的距離為，故，故答案為．16．在中，，則__________；點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，記，則當(dāng)取最大值時(shí)，__________．【答案】，【解析】因?yàn)?/span>，所以，即，又因?yàn)?/span>，所以．設(shè)，，，則，，由正弦定理可得，，又，由，得．因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以，，答案為，． 四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求；（2）設(shè)，求使得成立的最小正整數(shù)．【答案】（1）；（2）100．【解析】（1）由，得，則有，即，又因?yàn)?/span>，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．（2）由，得，所以，由，解得，故使得不等式成立的最小正整數(shù)．18．（12分）已知中角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足．（1）求；（2）若點(diǎn)為上一點(diǎn)，，，平分交于點(diǎn)，，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴．（2）∵，，，∴．在中，設(shè)，由余弦定理得，即，解得(舍負(fù))．在中，．由正弦定理得，∴．19．（12分）如圖．在三棱錐中，為正三角形，為的重心，，，．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在．說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．【解析】（1）設(shè)，則，在中，由余弦定理，得．因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，，所以平面．因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．（2）如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，，則點(diǎn)在上，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)．因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面．因?yàn)?/span>為的重心，所以，又，所以，所以在棱上存在點(diǎn)，使得直線平面，此時(shí)．20．（12分）某醫(yī)藥公司研發(fā)生產(chǎn)一種新的保健產(chǎn)品，從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取盒作為樣本，測(cè)量產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，該指標(biāo)值越高越好．由測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：（1）求a，并試估計(jì)這盒產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)值的平均值；（2）①由樣本估計(jì)總體，結(jié)合頻率分布直方圖認(rèn)為該產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，計(jì)算該批產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)值落在上的概率；②國(guó)家有關(guān)部門規(guī)定每盒產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)值不低于均為合格，且按該項(xiàng)指標(biāo)值從低到高依次分為：合格、優(yōu)良、優(yōu)秀三個(gè)等級(jí)，其中為優(yōu)良，不高于為合格，高于為優(yōu)秀，在①的條件下，設(shè)該公司生產(chǎn)該產(chǎn)品萬盒的成本為萬元，市場(chǎng)上各等級(jí)每盒該產(chǎn)品的售價(jià)(單位：元)如表，求該公司每萬盒的平均利潤(rùn)．等級(jí)合格優(yōu)良優(yōu)秀售價(jià)附：若，則，．【答案】（1），；（2）①；② (萬元)．【解析】（1）由，解得，則平均值，即這200盒產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)值的平均值約為200．（2）①由題意可得，，則，則該批產(chǎn)品指標(biāo)值落在上的概率為．②設(shè)每盒該產(chǎn)品的售價(jià)為X元，由①可得X的分布列為X102030P則每盒該產(chǎn)品的平均售價(jià)為，故每萬盒的平均利潤(rùn)為 (萬元)．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線，相交于點(diǎn)且它們的斜率之積是，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)位于軸上方，記直線，的斜率分別為．①證明：為定值；②設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）①證明見解析；②．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率分別為，依題意知，化簡(jiǎn)得．（2）①設(shè)直線的方程為，，則，又，消得，得，因此，故為定值．②坐標(biāo)為，則直線方程為，令，解得，即直線恒過點(diǎn)，故，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)面積最大值為．22．（12分）已知函數(shù)，．（1）若恒成立，求a的取值集合；（2）若，且方程有兩個(gè)不同的根x1，x2，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）令，，當(dāng)，恒成立，在R上單調(diào)遞增，，當(dāng)，不合題意，故舍去；當(dāng)，，則，故當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，；單調(diào)遞增，故，令，，，故在遞增，在遞減，故，即，即，故，即，故a的取值集合為．（2）方程有兩個(gè)不同的根x1，x2，不妨令，，，若證，即證，令，即證，令，，