2023湖南省寧鄉(xiāng)市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題（本大題共8小腿，共40分，在每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）
三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步）
17.（本大題滿分10分）
解：(1)由已知可得，直線l的斜率k＝eq \f(3－1,6－2)＝eq \f(1,2)，
所以直線l的方程為x－2y＝0. 4分
(2)因?yàn)閳AC的圓心在直線l上，
所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(2a，a)． 5分
因?yàn)閳AC與x軸相切于(2,0)點(diǎn)，
所以圓心在直線x＝2上，所以a＝1， 7分
所以圓心坐標(biāo)為(2,1)，半徑為1， 8分
所以圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1. 10分
18. （本大題滿分12分）
解：（1）由題意，， 2分
得， 4分
解得或
當(dāng)或時(shí)，直線和平行. 6分
（2）由題意，， 8分
得， 11分
解得，
當(dāng)時(shí)，直線和重合. 12分
19. （本大題滿分12分）
解：（1）依題意，棱DA，DC，DP兩兩互相垂直.
以點(diǎn)D為原點(diǎn)，依次以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，. 3分
可得，.
所以，
所以 6分
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由
得
令，解得. 9分
同理，可求平面PDC的一個(gè)法向量. 10分
所以，平面PAM與平面PDC所成的銳二面角滿足：
.
即平面PAM與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為. 12分
20. （本大題滿分12分）
解：(1)因?yàn)?，?br>所以，解得． 2分
所以．
因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，且
，，成等差數(shù)列．
所以． 4分
設(shè)公比為q，則，所以，
所以，
所以，． 6分
(2)證明：由（1）得，
所以①， 8分
②， 9分
①-②得： 10分
，
所以． 12分
21. （本大題滿分12分）
解：(1)由題意可得F1(0，c)，
則eq \f(c2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1，解得x＝±eq \f(b2,a)， 2分
∴△MNF2的面積S＝eq \f(1,2)×eq \f(2b2,a)×2c＝eq \f(2b2c,a)＝eq \r(3).① 3分
∵橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，∴a＝2b.② 4分
又∵a2＝b2＋c2，③
聯(lián)立①②③解得a＝2，b＝1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程x2＋eq \f(y2,4)＝1. 6分
(2)當(dāng)m＝0時(shí)，則P(0,0)，
由橢圓的對(duì)稱性得eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \(PB,\s\up7(―→))，即eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＝0，
∴m＝0時(shí)，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(λ,4)eq \(OB,\s\up7(―→)). 7分
當(dāng)m≠0時(shí)，得eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(λ,4)eq \(OB,\s\up7(―→))，
∵A，B，P三點(diǎn)共線，∴1＋λ＝4?λ＝3?eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→)). 8分
設(shè)A(x1，y1), B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,4x2＋y2－4＝0，))
得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，
即k2－m2＋4>0，且x1＋x2＝eq \f(－2km,k2＋4)，x1x2＝eq \f(m2－4,k2＋4).
由eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))，得x1＝－3x2，
即3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，
∴eq \f(12k2m2,?k2＋4?2)＋eq \f(4?m2－4?,k2＋4)＝0?m2k2＋m2－k2－4＝0,
顯然m2＝1不成立，∴k2＝eq \f(4－m2,m2－1).
∵k2－m2＋4>0，∴eq \f(4－m2,m2－1)－m2＋4>0，
即eq \f(?4－m2?m2,m2－1)>0.
解得－2

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