備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練專題01 角平分線四大模型在三角形中的應(yīng)用(解析版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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專題01 角平分線四大模型在三角形中的應(yīng)用（專項訓(xùn)練）

1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BD＝4cm，CD＝2cm，
（1）求D點到直線AB的距離．
（2）求AC．

【解答】解：（1）作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2cm；
（2）在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，
∵BD＝4cm，CD＝2cm，
∴BE＝2cm，
則AC2+62＝（AC+2）2，
解得，AC＝2cm．

2．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，∠BPC＝40°．
（1）求∠BAC；
（2）證明：點P到△ABC三邊所在直線的距離相等；
（3）求∠CAP．

【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACD的平分線，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠APC+∠PCB＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠PCB，
∴∠PCD＝∠BAC，
∴∠BPC＝40°，
∴∠BAC＝2×40°＝80°，
即∠BAC＝80°；
（2）作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∵CP是∠ACD的平分線，PF⊥AC，PG⊥BC，
∴PF＝PG，
同理，PE＝PF，
∴PE＝PF＝PG，即點P到△ABC三邊所在直線的距離相等；
（3）∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，
∴∠CAP＝∠CAE＝50°．

3．（1）如圖①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么點D到AB的距離是　　cm
（2）如圖②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC．

【解答】解：（1）如圖①，作DE⊥AB于E，
∵BC＝6cm，BD＝4cm，
∴CD＝2cm，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2cm，即點D到AB的距離是2cm，
故答案為：2；
（2）證明：如圖②，作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD＝PE，
同理，PF＝PE，
∴PD＝PF，又PD⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC．

4．四邊形ABCD中，DA＝DC，連接BD，∠ABD＝∠DBC．
（1）如圖1，求證：∠BAD+∠BCD＝180°；
（2）如圖2，連接AC，當(dāng)∠DAC＝45°時，BC＝3AB，S△DBC＝27，求AB的長；
（3）如圖3，在（2）的條件下，把△ADC沿AC翻折，點D的對應(yīng)點是點E，AE交BC于點K，F(xiàn)是線段BC上一點，連接EF，∠BFE＝45°，求△EFC的面積．

【解答】（1）證明：如圖1，過點D作DM⊥BA交BA的延長線于M，DN⊥BC于N，
則∠DMA＝∠DNC＝90°，
∵∠ABD＝∠DBC，DM⊥BA，DN⊥BC，
∴DM＝DN，
在Rt△DMA和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMA≌Rt△DNC（HL），
∴∠DAM＝∠BCD，
∵∠DAM+∠DAB＝180°，
∴∠DAB+∠BCD＝180°；
（2）如圖2，過點D作DM⊥BA交BA的延長線于M，DN⊥BC于N，
由（1）得，△DNC≌△DMA，CN＝MA，
∵DA＝DC，∠DAC＝45°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，即∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBM＝∠DBN＝45°，
∵∠M＝∠DNB＝90°，
∴∠MDB＝∠BDN＝∠DBM＝∠DBN＝45°，
∴DN＝BN，DM＝BM，
∵DM＝DN，
∴MB＝BN＝DN，
設(shè)AB＝a，則BC＝3AB＝3a，設(shè)CN＝b，則MA＝CN＝b，
∴MB＝a+b，BN＝3a﹣b，
∴a+b＝3a﹣b，
∴b＝a，
∴BN＝DN＝3a﹣b＝2a，
∴S△BCD＝BC?DN＝?3a?2a＝27，
解得，a＝b＝3，
∴AB＝3；
（3）如圖3，過點E作EG⊥AB交AB的延長線于G，EH⊥BC于H，
由翻折可知，AE＝AD＝CD＝CE，∠AEC＝∠ADC＝90°．
∵∠AKB＝∠CKE，
∴∠BAE＝∠BCE，
在△AGE和△CHE中，
，
∴△AGE≌△CHE（AAS），
∴AG＝CH，EG＝EH，
∴BE平分∠CBG，即∠GBE＝∠CBE＝45°＝∠HEB＝∠BEG，
∴BH＝EH＝BG＝EG，
設(shè)BH＝k，則AG＝3+k，CH＝9﹣k，
∵AG＝CH，
∴3+k＝9﹣k，
解得，k＝3，
∴EH＝BH＝3，
∵∠BFE＝45°，∠EHF＝90°，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴HE＝FH＝3，
∴CF＝CB﹣BF＝9﹣3﹣3＝3，
∴△EFC的面積＝×CF×EH＝×3×3＝．

5．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得DA＝CD，這個性質(zhì)
是　
（2）問題解決：如圖2，求證AD＝CD；
（3）問題拓展：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．

【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），
故答案為：角平分線上的點到角的兩邊距離相等；
（2）如圖2，作DE⊥BA交BA延長線于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，

∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）如圖，在BC時截取BK＝BD，連接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK＝∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的結(jié)論得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．

6．如圖，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC＝16，BC＝9，則BD的長為（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：如圖，在AC上截取CE＝CB，連接DE，
∵∠ACB的平分線CD交AB于點D，
∴∠BCD＝∠ECD．
在△CBD與△CED中，
．
∴△CBD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED，∠B＝∠CED，
∵∠B＝2∠C，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠CED＝2∠A，
∴∠A＝∠EDA，
∴AE＝ED，
∴AE＝BD，
∴BD＝AC﹣CE＝AC﹣BC＝16﹣9＝7．
故選：B．

7．如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點P．
（1）求∠APC的度數(shù)；
（2）若AE＝3，CD＝4，求線段AC的長．

【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，
∴∠PAC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，
∴∠APC＝120°．
（2）如圖，在AC上截取AF＝AE，連接PF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP，
在△CPF和△CPD中，
，
∴△CPF≌△CPD（ASA），
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．

8．閱讀下面材料：
小聰遇到這樣一個有關(guān)角平分線的問題：如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的長．
小聰思考：因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到△DEC≌△DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．
請完成：（1）求證：△BDE是等腰三角形；
（2）求BC的長為多少？

【解答】（1）證明：如圖2，在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE，
在△ACD與△ECD中，
∵，
∴△ACD≌△ECD，
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∵∠DEC＝∠B+∠EDB
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；

（2）解：∵AD＝DE＝BE＝2，EC＝AC＝3，
∴BC＝BE+CE＝2+3＝5．
9．閱讀材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．

小明的想法：因為CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”來解決該問題．即在BC邊上取點E，使EC＝AC，并連接DE（如圖2）．
（1）如圖2，根據(jù)小明的想法，回答下面問題：
①△DEC和△DAC的關(guān)系是　　，判斷的依據(jù)是　 ?。?br /> ②△BDE是　　三角形；
③BC的長為　 ?。?br /> （2）參考小明的想法，解決下面問題：
已知：如圖3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的長．
【解答】解：（1）如答圖1，
①在△ACD與△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS）；
②由①知，△ACD≌△ECD，
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
③由①知，△ACD≌△ECD，則EC＝AC＝3.6，DE＝AD＝2.2．
又∵BE＝DE，
∴BE＝AD＝2.2．
∴BC＝BE+EC＝2.2+3.6＝5.8．
故答案是：①△ACD≌△ECD；SAS；
②等腰；
③5.8；

（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°∠BDC＝60°，
如答圖2，在BA邊上取點E，使BE＝BC＝2，連接DE，
則△DEB≌△DBC，∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA邊上取點F，使DF＝DB，連接FE，
則△BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝2，
∵BD＝DF＝2.3，
∴AD＝BD+BC＝4.3．

10．如圖1，在△ABC中，∠A的外角平分線交BC的延長線于點D．

（1）線段BC的垂直平分線交DA的延長線于點P，連接PB，PC．
①利用尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形1，不寫作法，保留痕跡；
②求證：∠BPC＝∠BAC；
（2）如圖2，若Q是線段AD上異于A，D的任意一點，判斷QB+QC與AB+AC的大小，并予以證明．
【解答】（1）①解：如圖1所示，

②證明：在AE上截取AF＝AC．設(shè)PC交AB于G．
∵AD平分∠CAF，
∴∠DAC＝∠DAF，
∴∠CAP＝∠FAP，
∵AP＝AP，AC＝AF，
∴△APC≌△APF，
∴∠PCA＝∠PFA，PC＝PF，
∵點P在線段BC的垂直平分線上，
∴PB＝PC＝PF，
∴∠PBF＝∠PFA，
∴∠PBG＝∠ACG，
∵∠PGB＝∠AGC，
∴∠BPC＝∠BAC；
（2）如圖2中，在AE上截取AF＝AC．

同法可證△QAF≌△QAC，
∴QC＝QF，
∵QB+QC＝QB+QF＞BF，BF＝AB+AF＝AB+AC，
∴QB+QC＞AB+AC．

11．如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求證：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延長BE交AC于點F）．

【解答】證明：如圖：延長BE交AC于點F，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA）
∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．
∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，
∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，
∴∠C+2∠CBF＝3∠C，
∴∠CBF＝∠C．
∴BF＝CF，
∴BE＝BF＝CF．
∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，
∴BE＝（AC﹣AB）．

12．如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，BP⊥AD，垂足為P．已知AB＝5，BP＝2，AC＝9．試說明∠ABC＝3∠ACB．

【解答】證明：延長BP，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，
∴∠BAP＝∠EAP，∠APB＝∠APE，
又∵AP＝AP，
∴△ABP≌△AEP，
∴BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，
∴BE＝BP+PE＝4，AE＝AB＝5，
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，
∴CE＝BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠C，
又∵∠ABE＝∠AEB＝∠C+∠EBC，
∴∠ABE＝2∠C，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝3∠C．

13．如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F(xiàn)為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．
（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）判斷△BEG的形狀，并說明理由．

【解答】解：（1）如圖，BE＝AD，
理由如下：延長BE、AC交于點H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，
理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．

14．如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分線BD、CD交于點D．過點D作EF∥BC，分別交AB、AC于點E、F，則△AEF的周長為（　?。?br />
A．12 B．13 C．14 D．15
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AEF的周長＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+EB+AF+FC
＝AB+AC
＝14，
∴△AEF的周長為：14，
故選：C．
15．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點E，過點E作EF∥BC，交AB于點M，交AC于點N．求證：MN＝MB+NC．

【解答】證明：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∵M(jìn)N＝ME+EN，
∴MN＝BM+CN．

16．如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，求證：AB＝AC+BD．

【解答】證明：在AB上取一點F，使AF＝AC，連接EF．
∵EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，
∴∠CAE＝∠FAE，∠EBF＝∠EBD．
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D＝180°．
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴∠C＝∠AFE．
∵∠AFE+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠D．
在△BEF和△BED中，
，
∴△BEF≌△BED（AAS），
∴BF＝BD．
∵AB＝AF+BF，
∴AB＝AC+BD．

17．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E是邊CD上一點，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．
求證：
（1）AE⊥BE；
（2）E是線段CD的中點．

【解答】證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAD，
∵∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝90°，
∴AE⊥BE；
（2）過點E作EF∥AD，如圖所示：

∴∠DAE＝∠AEF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∵AD∥BC，
∴EF∥BC，
同理可證得：BF＝EF，
∴AF＝BF，
∴點F是AB的中點，
∴點E是CD的中點.

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