2022-2023學(xué)年廣東省珠海四中、立才中學(xué)、梅華中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  為響應(yīng)珠海市號召，我校全面推行生活垃圾分類管理，下列校園中常見的垃圾分類圖標中，是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  已知一元二次方程的兩根分別為、，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 4.  將拋物線向左平移個單位長度，再向上平移個單位，則變換后的新拋物線解析式為(    )A.  B.
C.  D. 5.  對于二次函數(shù)，下列說法正確的是(    )A. 圖象開口向下 B. 圖象的對稱軸是直線
C. 當(dāng)時，隨的增大而減小 D. 函數(shù)的最小值為6.  如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至處，使點落在的延長線上的點處，則(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  拋物線過，，三點．則將，，，從小到大順序排列是(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  銅羅中學(xué)組織一次乒乓球賽，比賽采用單循環(huán)制，要求每兩隊之間賽一場．若整個比賽一共賽了場，則有幾個球隊參賽？設(shè)有個球隊參賽，則下列方程中正確的是(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是(    )A.
B.
C.
D. 10.  已知，二次函數(shù)圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(    )
；；；；其中，為任意實數(shù)．A. 個 B. 個 C. 個 D. 個二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.  一元二次方程化為一般形式是______．12.  若是方程的一個實數(shù)根，則的值為______．13.  如圖，在長為，寬的矩形田地中開辟兩條寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為，求道路的寬度．設(shè)道路的寬度為，則可列方程為______．
14.  已知方程的解分別是等腰三角形的腰與底邊的長，則該三角形的面積是______ ．15.  已知拋物線以及平面直角坐標系中的點、，若該拋物線與線段只有一個交點，則的取值范圍是______．三、計算題（本大題共1小題，共8.0分）16.  解方程：．四、解答題（本大題共7小題，共67.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
請將二次函數(shù)化為的形式，并求出它與坐標軸交點的坐標．18.  本小題分
某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是，每個支干長出多少小分支？19.  本小題分
如圖，在直角坐標系內(nèi)，已知點．
圖中點的坐標是______；點關(guān)于原點對稱的點的坐標是______；點關(guān)于軸對稱的點的坐標是______；
在軸上找一點，使求點的坐標．20.  本小題分
有一條拋物線形狀的隧道，隧道的最大高度為，跨度為把它放在如圖所示的平面直角坐標系中個單位表示．
求這條的表拋物線表達式；
若要在隧道壁上點處安裝一蓋照明燈離地面的高度為，求照明燈與點的距離．
21.  本小題分
某公司研發(fā)了一款成本為元的新型玩具，投放市場進行試銷售．按照物價部門規(guī)定，銷售單價不低于成本且不高于元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)在一段時間內(nèi)，每天的銷售量個與銷售單價元滿足一次函數(shù)關(guān)系如圖：
求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？
22.  本小題分
如圖，在矩形中，，，將矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角小于度得到矩形．

如圖，若在旋轉(zhuǎn)過程中，點落在對角線上，，分別交于點，，
求證：；
求的長；
如圖，在旋轉(zhuǎn)過程中，若直線經(jīng)過線段的中點，連接，，求的面積．23.  本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點．
求拋物線的解析式；
點在拋物線上，過作軸，交直線于點，若以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的橫坐標；
拋物線上是否存在點，使？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形的定義，逐項判斷即可求解．
本題主要考查了中心對稱圖形的定義，熟練掌握在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；
B、此函數(shù)不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；
C、是二次函數(shù)，故此選項符合題意；
D、當(dāng)時，此函數(shù)不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意．
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個判斷即可．
本題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一般地，形如、、是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．
 3.【答案】 【解析】解：一元二次方程的兩根分別為，，
．
故選：．
利用兩根之和等于，可求出的值．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：將拋物線向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度后，
得到函數(shù)的表達式為：，
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行求解即可．
本題考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．
 5.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)，
該函數(shù)的圖象開口向上，故選項A的說法錯誤，
對稱軸是直線，故選項B中的說法錯誤；
當(dāng)時，隨的增大而增大，故選項C中的說法錯誤；
函數(shù)圖象的頂點坐標為，則函數(shù)的最小值為，故選項D中的說法正確；
故選：．
根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個選項中的說法是否正確．
本題考查拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標，增減性，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
 6.【答案】 【解析】解：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至處，
，，
，
，
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，即可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：，
圖象的開口向下，對稱軸是直線，
當(dāng)時，隨的增大而減小，
關(guān)于直線的對稱點是，且，
，即．
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向下，對稱軸是直線，根據(jù)函數(shù)的對稱性和增減性，即可得出答案．
本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練地運用二次函數(shù)的性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：依題意得，
即．
故選：．
設(shè)有個球隊參賽，那么第一個球隊和其他球隊打場球，第二個球隊和其他球隊打場，以此類推可以知道共打場球，然后根據(jù)計劃安排場比賽即可列出方程求解．
此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，和實際生活結(jié)合比較緊密，準確找到關(guān)鍵描述語，從而根據(jù)等量關(guān)系準確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，關(guān)鍵在于熟練掌握圖象與系數(shù)的關(guān)系．
由題意分情況進行分析：當(dāng)時，拋物線開口向上，直線與軸的負半軸相交，經(jīng)過第一、三、四象限，當(dāng)時，拋物線開口向下，直線與軸的負半軸相交，經(jīng)過第二、三、四象限，因此選擇．
【解答】
解：在，，
一次函數(shù)圖象與軸的負半軸相交，
當(dāng)時，
二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點，開口向上，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限，
當(dāng)時，
二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點，開口向下，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限，
故選：．  10.【答案】 【解析】解：拋物線開口向下，
，
拋物線對稱軸為直線，
，
，即，錯誤；
拋物線與軸交點在軸上方，
，
，正確；
，錯誤；
時，，拋物線對稱軸為直線，
時，，正確；
時取最大值，
，
，正確．
故選：．
由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與軸交點位置可判斷，由時及拋物線的對稱性可判斷，由時及時可判斷．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
 11.【答案】 【解析】解：方程化為一般形式是．
故答案為：
根據(jù)一元二次方程的一般形式為．
本題主要考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式為是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：依題意得，
所以，
故．
故答案為：．
把代入已知方程可以求得，然后將其整體代入所求的代數(shù)式進行求值．
本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是注意“整體代入”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．
 13.【答案】 【解析】解：道路的寬度為，
剩余田地部分可合成長為，寬為的矩形，
剩余田地的面積為，
可列方程為：．
故答案為：．
由道路的寬度為，可得出剩余田地部分可合成長為，寬為的矩形，根據(jù)剩余田地的面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：，
，
，，
由三角形的三邊關(guān)系可得：腰長是，底邊是，
底邊上的高為，
該三角形的面積是，
故答案為：．
用因式分解法可以求出方程的兩個根分別是和，根據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系即可得出腰應(yīng)該是，底是，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理可得高，即可得到該三角形的面積．
本題主要考查解一元二次方程的能力，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】或或 【解析】解：，
當(dāng)時，，
拋物線開口向上，經(jīng)過定點，
設(shè)所在直線為，
將、代入得，
解得，
，
將代入得，
在直線上，
如圖，當(dāng)時，拋物線在點下方滿足題意，

把代入得，
，
解得，
如圖，當(dāng)時，拋物線在點下方滿足題意，

把代入得，
，
解得，
令，整理得，
當(dāng)時，滿足題意，
解得，
或或時，滿足題意，
故答案為：或或．
由拋物線解析式可得拋物線開口方向及經(jīng)過定點，求出所在直線解析式，結(jié)合圖象求解．
本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
 16.【答案】解：這里，，，
，
，
則，． 【解析】此題考查了解一元二次方程公式法，利用公式法解方程時，首先將方程整理為一般形式，找出，及的值，計算出根的判別式的值，當(dāng)根的判別式的值大于等于時，代入求根公式即可求出解．
找出，及的值，計算出根的判別式的值大于，代入求根公式即可求出解．
 17.【答案】解：


，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，
或，
該拋物線和坐標軸的交點坐標是：，，． 【解析】利用完全平方公式即可化為頂點式，再分別設(shè)和即可求出交點坐標．
本題考查二次函數(shù)與圖象的性質(zhì)，把一般式化成頂點式，牢記拋物線與坐標軸的交點公式是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：設(shè)每個支干長出小分支，則，
解得：，，
答：每個支干長出小分支． 【解析】等量關(guān)系為：主干支干數(shù)目支干數(shù)目支干數(shù)目，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．
考查一元二次方程的應(yīng)用，得到總數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
 19.【答案】     【解析】解：過點作軸的垂線，垂足所對應(yīng)的數(shù)為，因此點的橫坐標為，
過點作軸的垂線，垂足所對應(yīng)的數(shù)為，因此點的縱坐標為，
所以點；
由于關(guān)于原點對稱的兩個點坐標縱橫坐標均為互為相反數(shù)，
所以點關(guān)于原點對稱點，
由于關(guān)于軸對稱的兩個點，其橫坐標互為相反數(shù)，其縱坐標不變，
所以點關(guān)于軸對稱點，
故答案為：，，；
設(shè)點的坐標為，

因為，，
所以，
，
解得或，
的坐標為或．
根據(jù)坐標的意義即可得出點的坐標；根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩個點坐標之間的關(guān)系可得出點關(guān)于原點對稱的點的坐標，同理根據(jù)關(guān)于軸對稱的兩個點坐標之間的關(guān)系得出點關(guān)于對稱點的坐標；
根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求解即可．
本題考查點的坐標，關(guān)于軸、軸、原點對稱的點坐標的關(guān)系，以及利用坐標求相應(yīng)圖形的面積，將坐標轉(zhuǎn)化為線段的長是解決問題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：由圖象可知拋物線的頂點是，設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系為，
點或在拋物線上，
，
解得，
拋物線的函數(shù)關(guān)系式為；
要在隧道壁上點處安裝一蓋照明燈離地面的高度為，
的縱坐標是，
在中，令得：
，
解得或，
，
，
照明燈與點的距離是． 【解析】根據(jù)拋物線在坐標系的位置可設(shè)解析式：，把點代入即可求得答案；
燈離地面高，即時，可求的值，從而得到點坐標，再利用兩點間距離公式即可求的值．
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握待定系數(shù)法，求出二次函數(shù)解析式．
 21.【答案】解：設(shè)，
將點，代入得：，
解得：，
與的函數(shù)關(guān)系式為：；
設(shè)每天獲得的利潤為元，由題意得，
按照物價部門規(guī)定，銷售單價不低于成本且不高于元，
，
，拋物線開口向下，
當(dāng)時，隨著的增大而增大，
有最大值，當(dāng)時，，
銷售單價為元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是元． 【解析】由待定系數(shù)法可得函數(shù)的解析式；
設(shè)每天獲得的利潤為元，由題意得二次函數(shù)，寫成頂點式，可求得答案．
本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
 22.【答案】證明：四邊形是矩形，
，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，
；
解：設(shè)，則，
在中，，
解得：，
在中，，
，
解：分情況討論：
如圖所示：過點作于，則，
在和中，，
≌，
，，
在中，，
，
，
的面積的面積；
在和中，
，
≌，
，，
在中，，
，
，
的面積的面積；
綜上所述，的面積為或． 【解析】由矩形的性質(zhì)得出，得出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，證出，即可得出；
設(shè)，則，在中，由勾股定理得出方程，解得：，在中，由勾股定理得出，得出；
分情況討論：過點作于，證明≌，得出，，在中，由勾股定理得出，得出，得出，得出的面積的面積；
同得：，，得出，得出的面積的面積即可．
本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形面積、分類討論等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：將點，代入到中得：
，解得：，
拋物線的解析式為；

設(shè)點，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，解得，
直線的解析式為，
，
，
軸，軸，
，
當(dāng)時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，
，解得或或或，
點的橫坐標為或或或；

當(dāng)在下方時，如圖，過作于，過作軸，交軸于，過作于，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
≌，
，，
，
，，
，解得，
，
設(shè)直線的解析式為，
，解得，
直線的解析式為，
聯(lián)立直線與拋物線解析式得，
解得或，
；
當(dāng)在上方時，如圖，過作于，過作軸，交軸于，過作于，

同理得
綜上，存在，點的坐標為或 【解析】根據(jù)待定系數(shù)法，將點，點代入拋物線解析式，解關(guān)于，的二元一次方程組，即可求得拋物線的解析式；
設(shè)出點的坐標，確定出，由，列出方程求解即可；
過點作交的延長線于點，過點作軸的平行線，過點作于點，過點作于點，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，，求出點的坐標，由待定系數(shù)法求出直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線解析式即可得出點的坐標．
此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法確定出解析式是解本題的關(guān)鍵．
 

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