2022-2023高一年級上學(xué)期桐城中學(xué)第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題）1．下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（    ）A．與        B．與C．與        D．與 2．集合的真子集個數(shù)為（    ）A．3     B．4     C．7     D．83．已知，，，則（    ）A．     B．   C．   D．4．不等式的解集為（    ）A．    B．    C．    D． 5．使函數(shù)滿足：對任意的，都有的充分不必要條件為（    ）A．         B．C．         D．6．《九章算術(shù)》中有“勾股客方”問題：“今有勾五步，股十二步．問：勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長d．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3，設(shè)D為斜邊的中點，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點A作于點F，則下列推理正確的是（    ） A．由圖1和圖2面積相等得B．由可得C．由可得D．由可得7．已知是關(guān)于x的方程的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（    ）A．    B．   C．    D．，8．對任意，存在，使得不等式成立，則實數(shù)a的最大值為（    ）A．2     B．5     C．4     D．3二．多選題（共4小題）9．設(shè)集合，，則（    ）A．    B．   C．    D．10．已知不等式恒成立，，不等式，則下列說法正確的是（    ）A．p的否定是：，不等式B．q的否定是：，不等式C．p為真命題時，D．q為假命題時，11．已知，，且，則（    ）A．的最大值為        B．的最小值為9C．的最小值為       D．的最大值為212．下列敘述中正確的是（    ）A．若，則“”的充要條件是“”B．“”是“方程有一個正根和一個負(fù)根”的必要不充分條件C．若，則“對恒成立”的充要條件是“”D．“”是“”的充分不必要條件三．填空題（共4小題）13．已知，則的解析式為__________．14．設(shè)，則的最小值為__________．15．已知命題“，使”是假命題，其實數(shù)m的取值為集合A，設(shè)不等式的解集為集合B，若是的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍為__________．16．設(shè)a、b、c是三個正實數(shù)，且，則的最大值為__________．四．解答題（共6小題）17．已知；；若q是p的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．18．已知，，（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）試用函數(shù)單調(diào)性定義證明：在上單調(diào)遞增．19．已知函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若時，恒成立，求a的取值范圍．20．已知正實數(shù)a、b滿足．（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值．21．某展覽館用同種規(guī)格的木條制作如圖所示的展示框，其內(nèi)框與外框均為矩形，并用木條相互連結(jié)，連結(jié)木條與所連框邊均垂直．水平方向的連結(jié)木條長均為，豎直方向的連結(jié)木條長均為，內(nèi)框矩形的面積為．（不計木料的粗細(xì)與接頭處損耗）（1）如何設(shè)計外框的長與寬，才能使外框矩形面積最小？（2）如何設(shè)計外框的長與寬，才能使制作整個展示框所用木條最少？22．已知函數(shù)．（1）若值域為，且關(guān)于對稱，求的解析式；（2）若的值域為，①當(dāng)時，求b的值；②求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系．  2022-2023高一年級上學(xué)期桐城中學(xué)第一次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題）1．【解答】解：對于A，的定義域是，的定義域是R，∴與不是同一函數(shù)，故A錯誤；對于B，與對應(yīng)關(guān)系相同，定義域都是R，∴與是同一函數(shù)，故B正確；對于C，的定義域是，的定義域是R，∴與不是同一函數(shù)，故C錯誤；對于D， ，當(dāng)時，與對應(yīng)關(guān)系不同，∴與不是同一函數(shù)，故D錯誤．故選：B．2．【解答】解：∵集合，∴真子集的個數(shù)是：個，故選：C．3．【解答】解：∵，，，∴，∴，∴，故選：D．4．【解答】解：，整理得，即，即，故，由于，所以故選：A．5．【解答】解：∵當(dāng)時，在上遞減，在遞減，且，∴在上遞減，若，在上遞減，在上遞增，，，∴任意，都有，即對任意的，都有的等價條件是或，則對應(yīng)的充分不必要條件是或，故選：B．6．【解答】解：對于A，由圖1和圖2面積相等得，所以，故A錯，對于B，因為，所以，所以，，因為，所以，整理得，故B錯，對于C，因為D是斜邊的中點，所以，因為，所以，整理得，故C正確，對于D，因為，所以，整理得，故D錯誤，故選：C．7．【解答】解：由，是關(guān)于x的方程的兩根，可得，，所以，與異號，又恒成立，即a取任意值，且與不等，故選：A．8．【解答】解：由，得，當(dāng)時，取得最小值，所以．因為，所以．因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，所以實數(shù)a的最大值為3．故選：D．二．多選題（共4小題）（多選）9．【解答】解：∵集合，，∴．故選：BD．（多選）10．【解答】解：因為不等式恒成立為全稱命題，所以p的否定是：，不等式，A正確；，不等式為特稱命題，q的否定是：，不等式，B錯誤；若p為真命題，則，解得，C正確；q為假時，則，不等式恒成立為真，則在時恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，D正確．故選：ACD．（多選）11．【解答】解：∵a，b均為正數(shù)，且，∴由基本不等式可得，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故A選項錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故B選項正確；∵，∴，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，故C選項正確；，故D錯誤．故選：BC．（多選）12． 【解答】解：對于A：若，則“”是“”的充分不必要條件，故A錯誤；對于B：“方程有一個正根和一個負(fù)根”則，整理得，則“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對于C：若，則對于一元二次不等式，當(dāng)時，“對恒成立”的充要條件是“”故C錯誤；對于D：當(dāng)“”時“”成立，當(dāng)“”時，“或”，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確．故選：BD．三．填空題（共4小題）13．．【解答】解：因為，所以，聯(lián)立可得，．故答案為：．14．【解答】解：由，可得，可令，即，則當(dāng)且僅當(dāng)，即，取得最小值．故答案為：．15．【解答】解：由命題“，使”是假命題，知命題“，使”是真命題，所以，解得，所以，因為是的充分不必要條件，所以AB，設(shè)，則，即，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：．16．【解答】解：∵，∴，∴，∵，∴，解法一：設(shè)，則，；∴，當(dāng)且僅當(dāng)時成立；∴的最大值為3．解法二：由，得，∴；設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，即的最大值為3．故答案為：3．四．解答題（共6小題）17．【解答】解：由，得．∴，又，∵q是p的必要不充分條件，且，∴AB．∴，即，∴m的取值范圍是．18．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，解得，∴；（Ⅱ）證明：設(shè)，則，由，得，，，∴，即，即有，故在上單調(diào)遞增．19．【解答】解：（1）若，，即即所以…（6分）（2）解：，即在時恒成立，…（8分）令，等價于在時恒成立，…（10分）所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號；所以．…（12分）故所求a的取值范圍是．…（13分）20．【解答】解：，即，，，，，（1）因為a、b是正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為4；（2）因為，，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故的最小值為25；（3）因為，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故的最小值為．21．【解答】解：（1）設(shè)展示框外框的長為，寬為，則內(nèi)框長為，寬為，由題意，，因為內(nèi)框的面積為，所以（，所以，外框面積為，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以外框的長與寬分別是，時，才能使外框矩形面積最?。?/span>（2）由（1）可知，所用木條的總長度為，當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立；所以外框的長與寬分別是，時，才能使制作整個展示框所用木條最少22． 【解答】解：函數(shù)的對稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（1）因為恒成立，所以的對稱軸是，故，因為值域為，可得，解得，所以．（2）①，設(shè)，則，，當(dāng)，即時，的最小值，舍去；當(dāng)時，的最小值，解得（舍）或，綜上所述，．②，記，設(shè)，，若，，所以；反之，若，只能，否則若，則與最小值為0矛盾．若，則與最小值為0矛盾．故時，，即．若，由上述解答過程知（否則由），在上單調(diào)遞增，，所以，，所以（若，則與矛盾），所以，即．綜上所述， ．  

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