高中北師大版 (2019)第二章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.3 函數(shù)的最值同步訓(xùn)練題

這是一份高中北師大版 (2019)第二章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.3 函數(shù)的最值同步訓(xùn)練題，共19頁(yè)。
【精品】6.3 函數(shù)的最值練習(xí)一．填空題1．若函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.2．函數(shù)有極值，則的取值范圍是______．3．已知函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且四個(gè)零點(diǎn)全部大于1，則的值為_______．4．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，則正整數(shù)的最小值為_________．5．已知函數(shù),,實(shí)數(shù),若使得對(duì),都有成立,則的最大值為_(kāi)_________.6．若a為實(shí)數(shù)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則a的最大值是_________.7．若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.8．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為__________.9．已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.10．已知函數(shù)f（x）＝lnxa，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若關(guān)于x的方程f′（x）0有兩個(gè)不等的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>D，若滿足條件：存在，使在上的值域?yàn)?/span>，則稱為“倍脹函數(shù)”.若函數(shù)為“倍脹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.12．已知是函數(shù)的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.13．函數(shù)共有________個(gè)極值.14．已知函數(shù)，若函數(shù)f(x)在處取得極大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.15．若函數(shù)與的圖象存在公共切線，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____16．已知函數(shù)f(x)=()|x|,若函數(shù)g(x)=f(x﹣1)+a(ex﹣1+e﹣x+1)存在最大值M,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____17．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__.18．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是______．
參考答案與試題解析1．【答案】【解析】定義域，在上恒成立，即在上恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，則點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變號(hào)或怎樣變號(hào)問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的問(wèn)題（有解，恒成立，無(wú)解等），而不等式有解或恒成立問(wèn)題，又可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞糠蛛x轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題.2．【答案】【解析】三次函數(shù)有極值，則有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，可解得的取值范圍.詳解：由題意可得：.若函數(shù)有極值，則一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，整理可得：，據(jù)此可知的取值范圍是或．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值.函數(shù)的極值點(diǎn)必為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，但在導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)處函數(shù)不一定取得極值，還需驗(yàn)證導(dǎo)函數(shù)驗(yàn)在零點(diǎn)附近的正負(fù).如果三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(二次函數(shù))對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，那么三次函數(shù)是沒(méi)有極值的.3．【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，令，則可得，結(jié)合所求令，則函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于 的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，且此時(shí)直線與的圖象應(yīng)有四個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，由數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，即可求解.詳解：解：由題意令，，令，則所以函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于 的方程，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，且此時(shí)直線與的圖象應(yīng)有四個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，由上，；上，，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以由數(shù)形結(jié)合可知：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性．極值與最值的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．?dāng)?shù)形結(jié)合思想，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.4．【答案】2【解析】分別求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的值域之間的關(guān)系，列出不等式組，即可求解．詳解：由題意，函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又由，所以在上的值域?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>，則，因?yàn)檎麛?shù)，即，所以時(shí)，， 在上單調(diào)遞減，又由，所以在上的值域?yàn)?/span>，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，則，解得，又因?yàn)?/span>，所以的最小值為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．極值與最值中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及運(yùn)算能力，屬于中檔試題．5．【答案】6【解析】根據(jù)已知條件，函數(shù)在的值域是函數(shù)在上值域的子集，用求導(dǎo)的方法求出單調(diào)區(qū)間，極值，最值，值域；結(jié)合的圖像特征，即可求解.【詳解】,,又,故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增又因?yàn)閷?duì)任意,存在,使得則只需要,令,得,或由,可得,且所以.故答案為:6.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域間的關(guān)系，考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難題.6．【答案】7【解析】將原不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，即可得到a的最大值.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立所以對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立即所以當(dāng)時(shí)，不等式恒成立令則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增因?yàn)?/span>所以所以，的最大值為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題，屬于難題.7．【答案】或【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得在定義域上單調(diào)遞減，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得在上存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性及最小值為，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的值；詳解：解：因?yàn)?/span>，定義域?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即在定義域上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，令，解得即函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，解得即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在取值極小值即最小值，，令，，則恒成立，即在定義域上單調(diào)遞增，且，所以要使函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得，綜上可得或；故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，屬于中檔題.8．【答案】【解析】首先根據(jù)奇函數(shù)的定義，求得當(dāng)時(shí)的解析式，由此利用導(dǎo)數(shù)求得的圖象在點(diǎn)處的切線斜率.詳解：當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.9．【答案】【解析】由題意可知，函數(shù)在區(qū)間上存在極小值，分和兩種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，在時(shí)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，可得出，解出即可.【詳解】，.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有最小值；當(dāng)時(shí)，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，由題意可得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的最值點(diǎn)求參數(shù)，解題時(shí)要熟悉函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10．【答案】（﹣∞，ln2）【解析】根據(jù)題意可得f′（x），代入關(guān)于x的方程f′（x）0，方程有2個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y＝1lnx與y＝a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則令g（x）＝1lnx，求導(dǎo)研究g（x）的圖象從而可得a的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可得，f′（x），x＞0∵關(guān)于x的方程關(guān)于x的方程f′（x）0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴lnxa有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴y＝1lnx與y＝a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；令g（x）＝1lnx，∴g′（x），令g′（x）＝0，x＝2或﹣1（舍負(fù)）；令g′（x）＞0，0＜x＜2；令g′（x）＜0，x＞2；∴g（x）的最大值為g（2）＝1ln2ln2；∴aln2；∴a的取值范圍為（﹣∞，ln2）.故答案為：（﹣∞，ln2）.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用．函數(shù)零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了轉(zhuǎn)化能力．運(yùn)算求解能力，考查了函數(shù)與方程．化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，屬于較難題．11．【答案】【解析】根據(jù)定義及函數(shù)的單調(diào)性，可得方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)求得極值點(diǎn)，代入，求得的最大值，進(jìn)而可求解.詳解：解：因?yàn)楹瘮?shù)為“倍脹函數(shù)”，且定義域?yàn)?/span>，所以存在，使在上的值域?yàn)?/span>.因?yàn)?/span>為增函數(shù)，所以，所以方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.令，則，令，解得.易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以要使方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，只需，得，所以t的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，方程的根等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查考生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于較難題.試題以新定義函數(shù)為切入點(diǎn)，圍繞函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系設(shè)題，引導(dǎo)考生將已知條件轉(zhuǎn)化為方程的根進(jìn)行求解，思維層次較高，考查邏輯推理．直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).12．【答案】2【解析】對(duì)求導(dǎo)，得到，根據(jù)是函數(shù)極值點(diǎn)，從而得到，得到的值.【詳解】函數(shù)，所以，因?yàn)?/span>是的極值點(diǎn)，所以，即所以.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)的值，屬于簡(jiǎn)單題.13．【答案】0【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的極值的個(gè)數(shù)．【詳解】解：由題知的導(dǎo)函數(shù)，，恒成立．函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)沒(méi)有極值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題．14．【答案】.【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的最大值，可得a的取值范圍.【詳解】解：由，可得，設(shè)，，當(dāng)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，，函數(shù)單調(diào)遞增；，，函數(shù)單調(diào)遞減；由f(x)在處取得極大值，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以f(x)在處取得極小值，與題意不符；當(dāng)時(shí)，即，可得：在單調(diào)遞增，所以當(dāng)，，當(dāng)，，即f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以f(x)在處取得極小值，與題意不符；當(dāng)時(shí)，即，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，與題意不符；當(dāng)，即可，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以f(x)在處取得極大值，符合題意，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的參數(shù)及含參函數(shù)的極值問(wèn)題，綜合性大，屬于難題.15．【答案】e【解析】設(shè)公切線與f（x）．g（x）的切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義．斜率公式列出方程化簡(jiǎn)，分離出a后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．最值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：設(shè)公切線與f（x）＝x2+1的圖象切于點(diǎn)（，），與曲線C：g（x）＝切于點(diǎn)（，），∴2，化簡(jiǎn)可得，2，∴∵2，a，設(shè)h（x）（x＞0），則h′（x），∴h（x）在（0，）上遞增，在（，+∞）上遞減，∴h（x）max＝h（），∴實(shí)數(shù)a的的最大值為e，故答案為e．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義．斜率公式，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性．最值問(wèn)題的應(yīng)用，及方程思想和構(gòu)造函數(shù)法，屬于中檔題．16．【答案】a≤0【解析】由函數(shù)f(x)=()|x|對(duì)稱性和單調(diào)性可得f(x﹣1)的對(duì)稱性和單調(diào)性，由h(x)=ex﹣1+e﹣x+1的對(duì)稱性和單調(diào)性，通過(guò)討論得g(x)=f(x﹣1)+a(ex﹣1+e﹣x+1)得對(duì)稱性和單調(diào)性，利用對(duì)稱性和單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】顯然f(x)=()|x|是偶函數(shù),且f(x)在上單調(diào)遞減,故y=f(x﹣1)的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,且y=f(x﹣1)在(﹣∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.令h(x)=ex﹣1+e﹣x+1,則h(1+x)=ex+e﹣x,h(1﹣x)=e﹣x+ex,故h(1﹣x)=h(1+x),∴h(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故g(x)=f(x)+ah(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.∵g(x)由最大值M,∴g(x)在[1,+∞)上有最大值M.h′(x)=ex﹣1,∴x>1時(shí),h′(x)>0,∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,(1)若a≤0,則g(x)=f(x﹣1)+ah(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,故g(x)存在最大值,符合題意.(2)若a>0,當(dāng)x≥1時(shí),g′(x)=﹣()x﹣1？ln2+a(ex﹣1),顯然g′(x)是增函數(shù),故g′(x)≥g′(1)=﹣1,又x→+∞時(shí),g′(x)→+∞,故存在x0∈(1,+∞),使得當(dāng)x>x0時(shí),g′(x)>0,∴g(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,故g(x)不存在最大值,不符合題意.綜上,a≤0.故答案為：a≤0【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.17．【答案】[﹣1，+∞）；【解析】把函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，分離參數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求出結(jié)果．詳解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立；所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，分離參數(shù)法，是中檔題．18．【答案】【解析】分析：先求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出的范圍，寫(xiě)成區(qū)間形式，可得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡(jiǎn)單題.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟為：求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間.