高一期末數(shù)學卷一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 記，那么A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【詳解】,,從而，，那么，故選B． 2. 盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解.例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.年月日，日本東北部海域發(fā)生里氏級地震，它所釋放出來的能量是2013年4月20日在四川省雅安市蘆山縣發(fā)生7.0級地震級地震的（）倍.A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)運算性質(zhì)計算作答.【詳解】令日本東北部海域發(fā)生里氏級地震釋放出來的能量為，蘆山縣發(fā)生7.0級地震釋放出來的能量為，則有，即，所以所求結果倍.故選：A3. 已知，，則（）A.  B. 1 C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】利用換底公式，對數(shù)運算性質(zhì)用以6為底的對數(shù)表示，可得答案.【詳解】由換底公式，，則.因，則則.故選：B4. 函數(shù)在以下哪個區(qū)間內(nèi)一定存在零點（）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)零點的存在性定理判斷即可.【詳解】函數(shù)定義域為，排除A；又，，，根據(jù)零點存在性定理可得函數(shù)在內(nèi)一定存在零點故選：D5. 如果2弧度的圓心角所對的弦長為4，那么這個圓心角所對的弧長為（）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先確定圓的半徑，再利用弧長公式，即可得到結論.【詳解】解：設半徑為，所以．所以，所以弧長．故選：A．6. 若，，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用切化弦化簡技巧結合可得出，再由可得出，，再由可計算出的值.【詳解】因為，所以，，則，，.所以，所以，故選：A.【點睛】本題考查了切化弦思想以及同角三角函數(shù)平方關系的應用，利用計算是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.7. 已知函數(shù)，若函數(shù)只有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求解為0時的值，可得只有兩個零點，再根據(jù)分析可得無解，進而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意，即或.因，易得無解.故只有兩個零點.當時，或，解得或有兩個零點.故無解. 因為，，故，解得故選：D8. 已知定義在上奇函數(shù)滿足，當時，，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由奇函數(shù)滿足，推導出，得到函數(shù)的周期為4，由，結合函數(shù)的周期性和奇偶性，得到.【詳解】因為為奇函數(shù)所以，又，∴，將替換為得：，即，故，所以的周期，因為，所以，則，則故選：B．二．多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 已知直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則（）A. 是偶函數(shù) B. 是圖象的一條對稱軸C. 在上單調(diào)遞減 D. 當時，函數(shù)取得最小值【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)為圖象的對稱軸，求出，從而得到，得到A正確；整體法求解函數(shù)的對稱軸方程，判斷B選項；代入檢驗函數(shù)是否在上單調(diào)遞減；代入求出，D錯誤.【詳解】因為直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，，又，所以，所以．，是偶函數(shù)，故A正確；令，解得:，所以圖象的對稱軸方程為，而不能滿足上式，故B錯誤；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故C正確；顯然函數(shù)的最小值為，當時，，故D錯誤．故選：AC．10. 已知0<b<a<1，c>1，則下列各式中不成立的是（）A. ab<ba B. cb>caC. logac>logbc D. blogca>alogcb【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】由于0<b<a<1，c>1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性有ab>aa>ba，故選項A錯誤，符合題意；根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性有cb<ca，故選項B錯誤，符合題意；，，，則，由于反比例函數(shù)在上為減函數(shù)，則，，則，所以，，即，故選項C錯誤，符合題意；因為ab>ba，c>1，則logcab>logcba，即blogca>alogcb，故選項D正確，不符合題意．故選：ABC.11. 已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列說法正確的是（）A. 方程至多有2個不同的實數(shù)根B. 方程可能沒有實數(shù)根C. 當時，對，總有成立D. 當，方程有4個不同的實數(shù)根【答案】ACD【解析】【分析】對進行分類討論，結合方程的根，函數(shù)單調(diào)性等知識得出答案．【詳解】由，得；由，得．當時，方程沒有實數(shù)根；方程有1個實數(shù)根，所以方程有1個實數(shù)根；當時，方程有1個實數(shù)根；方程有1個實數(shù)根，所以方程有2個不同的實數(shù)根；當時，方程有1個實數(shù)根；方程沒有實數(shù)根，所以方程有1個實數(shù)根，所以方程至多有2個不同的實數(shù)根，至少有1個實數(shù)根，故A正確，B錯誤；當時，是增函數(shù)，是增函數(shù)，且，，所以在上單調(diào)遞增，即，總有成立，故C正確；當時，，此時由得或，所以由得或，由，解得；由，因，所以，解得，，所以當時，方程有4個不同的實數(shù)根，故D正確，故選：ACD．12. 如圖，A，B是單位圓上的兩個質(zhì)點，點B的坐標為，質(zhì)點A以的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質(zhì)點B以的角速度按順時針方向在單位圓上運動，則（）A. 時，的弧度數(shù)為 B. 時，扇形的弧長為C. 時，扇形的面積為 D. 時，A，B在單位圓上第一次相遇【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知條件，弧長公式及扇形面積公式，逐項分析即得答案.【詳解】時，質(zhì)點A按逆時針運動方向運動，質(zhì)點B按順時針方向運動，此時∠BOA的弧度數(shù)為，故A正確；時，∠BOA的弧度數(shù)為，故扇形AOB的弧長為，故B正確；時，∠BOA的弧度數(shù)為，故扇形AOB的面積為，故C錯誤；設時，A，B在單位圓上第一次相遇，則，解得，故D錯誤.故選：AB.三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知函數(shù)的圖像恒過定點，若點也在函數(shù)的圖像上，則__________．【答案】1【解析】【分析】首先確定點A的坐標，然后求解函數(shù)的解析式，最后求解的值即可.【詳解】令可得，此時，據(jù)此可知點A的坐標為，點在函數(shù)的圖像上，故，解得：，函數(shù)的解析式為，則.【點睛】本題主要考查函數(shù)恒過定點問題，指數(shù)運算法則，對數(shù)運算法則等知識，意在考學生的轉化能力和計算求解能力.14. 已知，則x＝___．【答案】100【解析】【分析】直接根據(jù)對數(shù)的運算即可得結果.【詳解】因為，所以，即，所以，故答案為：100.15. 已知鈍角終邊上一點的坐標為，則________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)任意角三角函數(shù)定義得到，再結合誘導公式及角的范圍得到的值.【詳解】因為，又因為角為鈍角，所以.故答案為：16. 已知函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，則的最大值是____.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得 ，求得，故的最大值為，故答案為：4四．解答題：本題共6小題，共70分．解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 計算：（1）（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】結合指數(shù)與對數(shù)的運算法則和換底公式即可.【詳解】(1)原式，(2)原式．18. 在平面直角坐標系中，角的頂點坐標原點，始邊為的非負半軸，終邊經(jīng)過點．（1）求的值;（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義運算求解；（2）根據(jù)誘導公式化簡求值.【小問1詳解】由題知角終邊經(jīng)過點，則，∴，，故.【小問2詳解】由(1)知，則，故.19. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，以及對稱軸方程；（2）若，當時，的最大值為5，最小值為，求實數(shù)a，b的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）結合正弦函數(shù)性質(zhì)，由整體法列式即可；（2）先求出的值域，討論一次函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】的單調(diào)遞減區(qū)間滿足，解得，即單調(diào)遞減區(qū)間是；的對稱軸方程滿足，解得，即函數(shù)對稱軸方程為.【小問2詳解】當時，，則，即，又的最大值為5，最小值為，則或，解得或.20. 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的對稱中心；（2）函數(shù)在內(nèi)是否存在單調(diào)增區(qū)間？若存在請說明原因并寫出遞增區(qū)間．若不存在，說明理由；（3）若，都有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；【答案】（1），（2）存在，，理由見解析（3）．【解析】【分析】（1）直接令，解出即可得到對稱中心；（2）利用整體法得到，則，解出即可；（3），求出函數(shù)的值域，則根據(jù).【小問1詳解】對于函數(shù)，令，，解得，可得函數(shù)的對稱中心為，．【小問2詳解】當，有，當2x∈時，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在內(nèi)，存在單調(diào)增區(qū)間．由，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為．【小問3詳解】若，都有恒成立，當，有，故當，即時，函數(shù)的最大值為2，當，即時，函數(shù)的最小值為，∴，故實數(shù)m的取值范圍為．21. 某產(chǎn)品近日開始上市，通過市場調(diào)查，得到該產(chǎn)品每1件的市場價單位：元與上市時間單位：天的數(shù)據(jù)如下：上市時間x天41036市場價y元905190 （1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)描述該產(chǎn)品的市場價y與上市時間x的變化關系，并簡要說明你選取的理由；①②③（2）利用你選取的函數(shù)，求該產(chǎn)品市場價最低時的上市天數(shù)以及最低的價格；（3）設你所選取的函數(shù)為，若對任意實數(shù)k，關于x的方程恒有兩個相異實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）該產(chǎn)品上市20天時市場價最低，最低的價格為26元；（3）.【解析】【分析】（1）隨著時間的增加，的值先減后增，結合函數(shù)的單調(diào)性即可得出結論；（2）把點代入中，求出函數(shù)的解析式，利用配方法，即可求出該產(chǎn)品市場價最低時的上市天數(shù)以及最低的價格；（3）由（2）結合題意可得有兩個相異的實根，然后由可求出實數(shù)m的取值范圍.【小問1詳解】因為隨著時間的增加，的值先減后增，而所給的函數(shù)中和都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，所以選擇【小問2詳解】把點代入中，得，解得，所以，所以當時，有最小值26，所以當該產(chǎn)品上市20天時市場價最低，最低的價格為26元；【小問3詳解】由（2）可知，所以由，得，即，因為方程有兩個相異實數(shù)根，所以，所以，因為對任意實數(shù)k，上式恒成立，所以，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.22. 設函數(shù)（且）是定義域為的奇函數(shù)．（1）求實數(shù)k的值；（2）若，，且當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)得；（2）由若得出，確定表達式，參變量分離即可.【小問1詳解】函數(shù)（且）是定義域為的奇函數(shù),則，所以，又時，，對任意的，都有成立，滿足題意，所以；【小問2詳解】由（1）知，，且，所以，，所以，或（舍），令，則，由當時，恒成立，得在時恒成立，則在時恒成立，又在上單調(diào)遞增，所以，，所以，.
 

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