2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期高一年級(jí)期末考試考前必刷題數(shù)學(xué)試題試卷滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘；命題人：王嘉成考試范圍：第一章至第五章第三節(jié)誘導(dǎo)公式一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，）1. 已知，則“”是“”的（）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由，當(dāng)時(shí)，不能推出；而當(dāng)時(shí)，可以推出，利用必要不充分條件的定義可得選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，的終邊可能在第三象限，也可能在第四象限，所以，不滿足充分性；當(dāng)時(shí)，的終邊在第四象限，所以成立，滿足必要性.故選：B2. 已知函數(shù)，則為（）A. 奇函數(shù) B. 偶函數(shù)C. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D. 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)定義域后可判斷其奇偶性.【詳解】因，則，得定義域?yàn)椋?/span>.因定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).故選：D3. 下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由同一函數(shù)要求定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系相同逐一判斷即可【詳解】對(duì)于A：兩組函數(shù)的定義域都是，但，故不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，故是同一函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：的定義域是，的定義域是，故不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：的定義域是，的定義域是，且，故不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B4. 奇函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，若為偶函數(shù)，且，則的值為（）A. 2 B. 1 C. －1 D. －2【答案】D【解析】【分析】由已知函數(shù)的奇偶性可先求出函數(shù)的周期，結(jié)合奇偶性及函數(shù)的周期性把所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化可求．【詳解】由為偶函數(shù)，∴，令，則，即，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，有，所以，令，得，∴，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，奇函數(shù)中，已知，，則．故選：D．5. 設(shè)，，函數(shù)，若恒成立，則（）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，則恒成立，因?yàn)?/span>，則有，故，故選：.6. 已知，則（）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷b的范圍，利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求得c,并利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較的大小，即得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以,故選：B.7. 函數(shù)的圖像大致為（）A B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)的定義域和奇偶性，再根據(jù)指定區(qū)間函數(shù)值的符號(hào)即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)有意義，則，即，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.，∴為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A，C；當(dāng)時(shí)，，故排除B；故選：D8. 用二分法判斷方程在區(qū)間內(nèi)的根（精確度0.25）可以是（參考數(shù)據(jù)：，）（　?。?/span>A. 0.825 B. 0.635 C. 0.375 D. 0.25【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由題意可得是上的連續(xù)函數(shù)，由此根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間．【詳解】設(shè)，，，，在內(nèi)有零點(diǎn)，在內(nèi)有零點(diǎn)，方程根可以是0.635.故選：B．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9. 若，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次判斷ABC，取特殊值判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以， A正確．對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以， B錯(cuò)誤．對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，所以， C正確．對(duì)于D，取，故，故D錯(cuò)誤．故選：AC10. 若函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.  B. 在上單調(diào)遞減C. 的最大值為 81 D. 的最小值為【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)經(jīng)過點(diǎn),可求出,再應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)每個(gè)選項(xiàng)分別判斷即可.【詳解】對(duì)于:由題意得，得 ,故正確;對(duì)于:令函數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)?/span>減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤;對(duì)于:因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,所以 ,無最小值．故正確, 錯(cuò)誤;故選:.11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（　?。?/span>A. 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；B. 函數(shù)在定義域上有最小值為0，無最大值；C. 若方程有1個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是D. 設(shè)函數(shù)，若方程有四個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】函數(shù)變形得，即可根據(jù)函數(shù)形式得出函數(shù)的單調(diào)性及值域，即可判斷AB；由數(shù)形結(jié)合即可判斷C；對(duì)D，方程等價(jià)于，結(jié)合①解的個(gè)數(shù)的情況，即可判斷②中解的個(gè)數(shù)及范圍，即可根據(jù)零點(diǎn)存在定理列不等式求解.【詳解】由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的圖象如圖所示， 對(duì)AB，在，單調(diào)遞增，值域；在，當(dāng)時(shí)，有最大值，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，值域?yàn)?/span>，綜上，的值域?yàn)?/span>，故AB對(duì)；對(duì)C，方程有1個(gè)實(shí)根等價(jià)于與有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是，C錯(cuò)；對(duì)D，方程等價(jià)于，由于時(shí)方程①一解；時(shí)方程①兩解；時(shí)方程①三解.故有四個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于有兩根，其中，.∵，，∴只需即可，此時(shí)，，故m的取值范圍為，D對(duì).故選：ABD12. 高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德?牛頓并列為七界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A. ，B. ，C. ，，若，則有D. 方程的解集為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A：取，不成立；對(duì)于B：設(shè)， ,討論與求解；對(duì)于C：，，由得證；對(duì)于D：先確定，將代入不等式得到的范圍，再求得值.【詳解】對(duì)于A：取，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè),，當(dāng)時(shí)，，，則 ，則，,故當(dāng)時(shí)成立.當(dāng)時(shí)，，則 ，則，故當(dāng)時(shí)成立.綜上B正確.對(duì)于C：設(shè)，則，，則，因此，故C正確;    對(duì)于D：由知，一定為整數(shù)且，所以，所以，所以，由得，由解得，只能取，由解得或(舍)，故，所以或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以方程的解集為，故選：BCD.【點(diǎn)睛】高斯函數(shù)常見處理策略:(1)高斯函數(shù)本質(zhì)是分段函數(shù),分段討論是處理此函數(shù)的常用方法.(2)由求時(shí)直接按高斯函數(shù)的定義求即可.由求時(shí)因?yàn)?/span>不是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),可設(shè)，處理.(3)求由構(gòu)成的方程時(shí)先求出的范圍,再求的取值范圍.(4)求由與混合構(gòu)成的方程時(shí),可用放縮為只有構(gòu)成的不等式求解.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，）13. 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>________．【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及根式有意義求解即可.【詳解】由根式有意義及對(duì)數(shù)的真數(shù)部分大于0可得，解得，故答案為：14. 若是第三象限角且，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，且，求得，再根據(jù)是第三象限角，確定的范圍，然后利用平方關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?/span>，且，所以，又因?yàn)?/span>是第三象限角，所以，則第二或第四象限，又，所以在第二象限，所以，故答案為：15. 已知函數(shù)所過的定點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)與基本不等式求解，【詳解】令得，由題意得過的定點(diǎn)為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，故答案為：16. 已知函數(shù)，若，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，證明其為奇函數(shù)，減函數(shù)，不等式化為，再由奇偶性與單調(diào)性變形為，分離參數(shù)為，然后求得最大值，即可得結(jié)論．【詳解】令，則，是奇函數(shù)，設(shè)，則，，，，∴，從而，所以在上是減函數(shù)，又是奇函數(shù)，所以它在上也是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，不等式可化為，即，，所以，，令設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，，，遞減，當(dāng)時(shí)，，，，遞增，所以，，∴在上的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：不等式恒成立與能成立問題：的定義域是，的定義域是，（1）對(duì)任意，任意，總有成立等價(jià)于，（2）對(duì)任意，存在，使得成立等價(jià)于，（3）存在，對(duì)任意，使得成立等價(jià)于．四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟，）17. 求值：（1）（2）【答案】（1）6（2）0【解析】【分析】(1)根據(jù)指數(shù)運(yùn)算公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算公式求解即可；(2)根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】．18. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>A，的值域?yàn)?/span>B.（1）求A和B；（2）若，求的最大值.【答案】（1）A為，B為（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得到滿足，即可求解函數(shù)的定義域A；根據(jù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，即可求出值域B.（2）由（1）可知，根據(jù)集合間的包含關(guān)系可求出參數(shù)a的范圍，則可得出的最大值.【小問1詳解】解：由題意，函數(shù)，滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，而函數(shù)在R上是增函數(shù)，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>，故定義域A為，值域B為.【小問2詳解】解：由（1）可知，若，則，解得，所以的最大值為3，此時(shí)滿足，故最大值為3.19. 已知（1）求函數(shù)的表達(dá)式，并判斷函數(shù)的單調(diào)性（不需要證明）；（2）關(guān)于x的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）令，則，代入條件可得答案，然后任取，通過計(jì)算的正負(fù)可得單調(diào)性；（2）將原式整理得到在上有解，轉(zhuǎn)化為，求出的最大值即可.【小問1詳解】令，則，故，任取，則，，，故在R上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由已知化簡(jiǎn)得，令，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，又，故在上有解，即在上有解，.又.20. （1）是否存在實(shí)數(shù)，使，使，，且是第二象限角？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)；若不存在，情說明理由.（2）若，，求值.【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，根據(jù)是第二象限角，可得、求出參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)平方關(guān)系求出參數(shù)的值，得出矛盾，即可說明；（2）首先求出，再通分計(jì)算可得.【詳解】解：（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，，因?yàn)?/span>是第二象限角，所以，，解得，又，即，解得，與矛盾，故不存在實(shí)數(shù)滿足題意；（2）因?yàn)?/span>，所以，，．．21. 如圖，病人服下一粒某種退燒藥后，每毫升血液中含藥量 (微克) 與時(shí)間 (小時(shí))之間的關(guān)系滿足：前 5 個(gè)小時(shí)按函數(shù)遞增，后 5 個(gè)小時(shí)隨著時(shí)間變化的圖像是一條線段．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知每毫升血液中含藥量不低于 3 微克時(shí)有治療效果，含藥量低于 3 微克時(shí)無治療效果，試問病人服下一粒該退燒藥后有治療效果的時(shí)間為多少小時(shí)？【答案】（1）（2）小時(shí)【解析】【分析】(1)根據(jù)圖像中特殊點(diǎn),求出函數(shù)的解析式即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造不等式,分段求解即可.【小問1詳解】由圖可得,函數(shù)過點(diǎn),可得，得．當(dāng)時(shí)，設(shè)，由圖可得得所以．故【小問2詳解】由題意得或得或，即．故病人服下一粒該退燒藥后有治療效果的時(shí)間為小時(shí)．22. 對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的 “不動(dòng)點(diǎn)”;若存在，使得，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.記函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別為A和B，即（1）設(shè)函數(shù)，求A和B；（2）請(qǐng)?zhí)骄考?/span>A和B的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），；（2），證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)、穩(wěn)定點(diǎn)定義，令、求解，即可得結(jié)果；（2）問題化為與有交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系知，即可證.（3）問題化為有實(shí)根、中無實(shí)根，或與有相同的實(shí)根，求參數(shù)a范圍.【小問1詳解】令，可得，故；令，可得，故.【小問2詳解】，證明如下：由題意，不動(dòng)點(diǎn)為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，穩(wěn)定點(diǎn)為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，若與有交點(diǎn)，則橫縱坐標(biāo)相等，則，所以.【小問3詳解】由，則：令，即有實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，符合題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，可得.令，即有實(shí)根，所以，因?yàn)?/span>，則無實(shí)根，或有與相同的實(shí)根，當(dāng)無實(shí)根，有且，可得且；當(dāng)有實(shí)根，此時(shí)，即，所以，則，代入得：，可得.綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，將問題化為、與的交點(diǎn)理解，注意交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)性質(zhì)；第三問，化為有實(shí)根、中無實(shí)根或與的實(shí)根相同.  
 

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