2022-2023學(xué)年天津市寶坻區(qū)第四中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末測(cè)試高二數(shù)學(xué) 考試時(shí)間：100分鐘；注意事項(xiàng)： 1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息 2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題：本大題共12小題，每小題4分，共48分 1. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（） A(－2，1，2) B. (－1，1，0) C. (－2，0，1) D. (－1，1，2) 【答案】B 【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接求解．【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，1，，，1，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，，，1，．故選：B. 2. 已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（） A. 相離 B. 相交 C. 外切 D. 內(nèi)切【答案】C 【解析】【分析】計(jì)算圓心距，和比較大小，即可判斷兩圓位置關(guān)系. 【詳解】圓的圓心坐標(biāo)是，半徑，圓的圓心坐標(biāo)是，半徑， ,所以圓心距，所以兩圓相外切. 故選：C 3. 已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案. 【詳解】因?yàn)殡x心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為. 故選：A 4. 如圖所示,在正方體中,點(diǎn)F是側(cè)面的中心,設(shè),則（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理將轉(zhuǎn)化為即可選出答案. 【詳解】解:由題知, 點(diǎn)F是側(cè)面的中心, 為中點(diǎn), 則 , 故選:A 5. 兩條平行直線與之間的距離（） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】【分析】首先根據(jù)兩條直線平行求出參數(shù)的值，然后利用平行線間的距離公式求解即可. 詳解】由已知兩條直線平行，得，所以，所以直線可化為，則兩平行線間的距離. 故選：C 6. 基站建設(shè)是眾多 “新基建” 的工程之一，截至2021年8月底，地區(qū)已經(jīng)累計(jì)開通基站300個(gè)，未來(lái)將進(jìn)一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系，加快推進(jìn)網(wǎng)絡(luò)建設(shè)．已知2021年9月該地區(qū)計(jì)劃新建50個(gè)基站，以后每個(gè)月比上一個(gè)月多建40個(gè)，預(yù)計(jì)地區(qū)累計(jì)開通4640個(gè)基站要到（） A. 2022 年 11 月底 B. 2022 年 10 月底 C. 2022 年 9 月底 D. 2022 年 8 月底【答案】B 【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求得結(jié)果. 【詳解】假設(shè)要經(jīng)過個(gè)月，地區(qū)累計(jì)開通4640個(gè)基站，則由題意得，化簡(jiǎn)得，，解得或（舍去）所以預(yù)計(jì)地區(qū)累計(jì)開通4640個(gè)基站要到2022 年 10 月底，故選：B 7. 如圖，在長(zhǎng)方體中，，，則直線和夾角的余弦值為（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解. 【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D. 8. 設(shè)，則“”是“直線與直線垂直”的（） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 重要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A 【解析】【分析】先根據(jù)直線垂直求出的值，再根據(jù)充分性和必要性的概念得答案. 【詳解】直線與直線垂直則，解得或，則“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件. 故選：A. 9. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根據(jù)公式，即可求解. 【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，，所以. 故選：A 10. 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（） A. 7 B. 9 C. 81 D. 3 【答案】D 【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出結(jié)果. 【詳解】依題意可得，又，所以，所以. 故選：D 11. 設(shè)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與直線相交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則橢圓的離心率的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)求得離心率. 【詳解】由于為等腰三角形，所以，. 故選：A 12. 圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號(hào)處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，若是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】【分析】由已知點(diǎn)在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結(jié)合拋物線定義求的最小值. 【詳解】設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)?，，所以點(diǎn)在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，在方程中取可得，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)，過點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，故選：B. 第II卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13. 已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列，，則__________．【答案】4 【解析】【分析】由題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可得，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解. 【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題得, 所以，所以，所以. 故答案為：4. 【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題. 14. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，則___________. 【答案】【解析】【分析】先求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出. 【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，所以，解得：. 所以焦點(diǎn). 所以. 故答案為： 15. 已知是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為_________. 【答案】## 【解析】【分析】利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離即可. 【詳解】由題可得，又是平面的一個(gè)法向量， ∴則點(diǎn)P到平面的距離為. 故答案為：. 16. 圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】由題意，整理圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，明確圓心與半徑，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，可得答案. 【詳解】由，則，即，半徑為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，可得，解得，即，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 故答案為：三、解答題：本大題共4小題，共52分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟. 17. 在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）求BC邊上的中線AD的所在直線方程；（2）求△ABC的外接圓O被直線l：截得的弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，再得AD的斜率即可求解；（2）先求△ABC的外接圓O，再求圓心到直線.直線l的距離，再由勾股定理可求解. 【小問1詳解】 ∵， ∴BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為， ∴中線AD的斜率為， ∴中線AD的直線方程為：，即【小問2詳解】設(shè)△ABC的外接圓O的方程為， ∵A、B、C三點(diǎn)在圓上， ∴ 解得： ∴外接圓O的方程為，即，其中圓心O為，半徑, 又圓心O到直線l的距離為, ∴被截得的弦長(zhǎng)的一半為, ∴被截得的弦長(zhǎng)為. 18. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面（2）求直線和平面所成的角的正弦值．（3）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．用向量法判定線面平行以及求空間角【小問1詳解】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．依題意，得，，設(shè)面的法向量，，所以，取，得因?yàn)椋?所以．所以．又面．所以面．【小問2詳解】，設(shè)面的法向量，，所以，取，得．因?yàn)椋?所以．所以直線和平面所成的角的正弦值為．【小問3詳解】由（1）?（2）可得，所以平面與平面夾角的余弦值為． 19. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，. （1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；（3）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：. 【答案】（1），（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于公差與公比的方程組，解方程組可得再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果；（2）根據(jù)錯(cuò)誤相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和為，注意作差時(shí)項(xiàng)符號(hào)的變化以及求和時(shí)項(xiàng)數(shù)的確定；（3）將裂項(xiàng)得，然后求和即可. 【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則由得，解得，所以，. 小問2詳解】由（1）可知， ∴① ② ①—②得：， ∴. 【小問3詳解】 20. 已知橢圓：：的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為.，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn). （1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，求直線的方程；（3）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，點(diǎn)滿足：軸且，求證：是定值. 【答案】（1）（2）（3）14 【解析】【分析】（1）由離心率公式以及橢圓的性質(zhì)列出方程組得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理得出點(diǎn)坐標(biāo)，最后由距離公式得出直線的方程．（3）設(shè)，，，計(jì)算，求出直線，將其與橢圓聯(lián)立求得，則，最后計(jì)算兩者之和即可得到定值. 【小問1詳解】由題意可得，得，，橢圓；【小問2詳解】設(shè)，，直線為．由，得顯然，由韋達(dá)定理有：，則；所以，且，若，即解得，所以．【小問3詳解】由題意可得，，設(shè)，，，則，由，可得，；直線的方程為，得，與橢圓方程聯(lián)立，可得，所以，即有，所以．所以，是定值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問主要是由弦長(zhǎng)求直線方程，通常采用弦長(zhǎng)公式，本題已知其中一交點(diǎn)坐標(biāo)則可以利用韋達(dá)定理求出另一交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式得到關(guān)于的弦長(zhǎng)方程，則可得到值，第三問的關(guān)鍵在于首先利用面積關(guān)系及在橢圓上得到，再寫出直線的方程，將其與橢圓聯(lián)立，利用兩根之和式得到，從計(jì)算出，最后即可證明定值.

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