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題型一：坐標(biāo)系中（函數(shù)圖象上）動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生三角形問題
思路導(dǎo)航
坐標(biāo)系中（函數(shù)圖象上）動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生三角形的問題我們主要講解3類：①因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題②因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題③因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題.
一、方法與技巧：已知線段和直線，在直線上找點(diǎn)，使為等腰三角形．

幾何法：①分別以點(diǎn)、為圓心，為半徑作圓，找點(diǎn)，，，．（檢驗(yàn)）
②作線段的垂直平分線，找點(diǎn)．（檢驗(yàn)）
代數(shù)法：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出、、的長度，分類討論：
①；②；③．求出點(diǎn)．（檢驗(yàn)）
二、方法與技巧：已知線段和直線，在直線上找點(diǎn)，使為直角三角形．
幾何法：①分別過點(diǎn)、作線段的垂線，找點(diǎn)，．（檢驗(yàn)）
②以線段為直徑作圓，利用直徑所對的圓周角為，找點(diǎn)，．（檢驗(yàn)）
代數(shù)法：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出、、的長度，分類討論：
①；②；③.
求出點(diǎn)．（檢驗(yàn)）
三、方法與技巧：以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形和相似．
根據(jù)“兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似．”進(jìn)行分類討論：
①，②，
③，④，
⑤，⑥.（檢驗(yàn)）
典題精練
已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)．
= 1 \* GB2 ⑴ 求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)的坐標(biāo)；
= 2 \* GB2 ⑵ 在軸的正半軸上是否存在點(diǎn)．使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解析】⑴ 把點(diǎn)代入二次函數(shù)有：
得：
所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：．
當(dāng)時(shí)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
⑵ 如圖：
作的垂直平分線交軸于點(diǎn)，連接，
則：
設(shè)，則，
在直角中，
即：
解得：
∴
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為：
可以把“是以為底邊的等腰三角形”拓展為“是等腰三角形”.
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)．
⑴當(dāng)時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；
⑵要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是隨著的增大而增大，求應(yīng)滿足的條件以及的取值范圍；
⑶設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，當(dāng)是以為斜邊的直角三角形時(shí)，求的值．
【解析】⑴當(dāng)時(shí)，，
∵在反比例函數(shù)圖象上，
∴設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：，
代入得：，
解得：，
∴反比例函數(shù)的解析式為：，
⑵∵要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是隨著的增大而增大，
∴，
∵二次函數(shù)，的對稱軸為：直線，
要使二次函數(shù)滿足上述條件，在的情況，必須在對稱軸左邊，
即時(shí)，才能使得隨著的增大而增大，
∴綜上所述，且；
⑶由⑵可得：，
∵是以為斜邊的直角三角形，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，（如圖是其中的一種情況）
∴原點(diǎn)平分，∴，作，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
如圖，在矩形中，，，沿直線折疊矩形的一邊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處．分別以，所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線經(jīng)過O，D，C三點(diǎn)．
⑴求的長及拋物線的解析式；
⑵一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與相似？
【解析】⑴∵四邊形為矩形，
∴，
，．
由題意得，．
∴，，．
由勾股定理易得．∴．
設(shè)，則，
由勾股定理，得．
解之得，，∴．
∵拋物線過點(diǎn)，∴．
∵拋物線過點(diǎn)，，
∴．解之得．
∴拋物線的解析式為：．
⑵∵，，
∴．
由⑴可得，，．
而，，∴．
當(dāng)時(shí)，，
∴，即，解得．
當(dāng)時(shí)，，
∴，即，解得．
∴當(dāng)或時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．
題型二：坐標(biāo)系中（函數(shù)圖象上）動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生四邊形問題
思路導(dǎo)航
坐標(biāo)系中（函數(shù)圖象上）動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生四邊形問題：主要講解兩類問題：⑴因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題 ⑵因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的梯形問題.
⑴因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題的方法與技巧：
已知以點(diǎn)、點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，尋找平行四邊形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)．
①為邊：平移型，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形．
②為對角線：旋轉(zhuǎn)型，利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形．
⑵因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的梯形問題的方法與技巧：
如圖，已知和直線，在直線上找點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．
①分別過點(diǎn)、、作、、的平行線與直線相交．
②檢驗(yàn)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是否為平行四邊形．
典題精練
在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心、半徑為的圓與軸相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的下方）．
⑴求以直線為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)、的拋物線的解析式；
⑵若為這條拋物線對稱軸上的點(diǎn)，則在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
⑴如圖，∵圓以點(diǎn)為圓心，半徑為5，
∴此圓與軸交于點(diǎn)，．
連接OD在中，，
∵，，∴．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線的解析式為，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
且對稱軸為，∴
解得，，．
∴拋物線的解析式為 ．
⑵存在符合條件的點(diǎn)F，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
情況1：當(dāng)為平行四邊形的一邊時(shí)，∵，
∴．
設(shè)點(diǎn)，，，將點(diǎn)、分別代入拋物線的解析式，
得，．
情況2：當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，，
又∵點(diǎn)在拋物線上，
∴點(diǎn)必為拋物線的頂點(diǎn)．
∴．
綜上所述，，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
拋物線經(jīng)過直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為．
⑴求此拋物線的解析式；
⑵試判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；
⑶在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
⑴∵直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
又拋物線經(jīng)過這兩個(gè)點(diǎn)，
則可得，解得，
∴此拋物線的解析式為．
⑵由⑴可知：點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
過點(diǎn)作軸于，
可知，∴，
∵，∴，
∴，
∴是直角三角形．
⑶分以下三種情況討論：
①若為底，則與軸交于點(diǎn)，
由易知，直線的解析式為，
∴直線的解析式為，∴．
②若為底，則與軸交于點(diǎn)，
由易知，直線的解析式為，
∴直線的解析式為，∴．
③若為底，則與軸、軸分別交于，
已知直線的解析式為，
∴直線的解析式為，∴．
綜上所述，滿足以為頂點(diǎn)的四邊形是梯形的點(diǎn)坐標(biāo)為，，，．
如圖，已知拋物線：的頂點(diǎn)為，與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．
y
x
A
O
B
P
M
圖1
C1
C2
C3
圖⑴
y
x
A
O
P
P
N
圖2
C1
C4
Q
E
F
圖⑵
⑴求點(diǎn)坐標(biāo)及的值；
⑵如圖⑴，拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，將拋物線向右平移，平移后的拋物線記為，的頂點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱時(shí)，求的解析式；
⑶如圖⑵，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到拋物線．拋物線的頂點(diǎn)為，與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
y
x
A
O
B
P
M
圖⑴
C1
C2
C3
H
G
⑴由拋物線：得頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
∵點(diǎn)在拋物線上，∴，解得．
⑵連接，作軸于，作軸于
∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，
∴過點(diǎn)，且
∴，∴，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
y
x
A
O
B
P
N
圖⑵
Q
E
F
H
G
K
拋物線關(guān)于軸對稱得到，再平移得到
∴拋物線的解析式為
⑶∵拋物線由繞著軸上的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到
∴頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱
由⑵得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為
作軸于，作軸于，作于
∵旋轉(zhuǎn)中心在軸上，∴，
∴，點(diǎn)坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，
根據(jù)勾股定理得，，
，
①當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為
②當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為
③∵，∴
綜上，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為或時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．
復(fù)習(xí)鞏固
題型一 坐標(biāo)系中（函數(shù)圖象上）動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生三角形問題 鞏固練習(xí)
如圖，拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），過點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
⑴求的值及直線的函數(shù)關(guān)系式；
⑵是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，
交軸于點(diǎn)．
①求線段長度的最大值；
②在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得與相似？如
果存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)（不必寫解答過程）；如果不存在，請說明理由．
⑴由題意得，∴
∴拋物線的函數(shù)解析式為，與軸交于、
設(shè)直線的解析式為，則有，解得，
∴直線的解析式為
⑵ ①設(shè)的橫坐標(biāo)為，則，
∴
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．
②；
提示：通過觀察容易得到，需要計(jì)算過點(diǎn)且與垂直的直線與拋物線的交點(diǎn)，比較復(fù)雜；亦或過作的垂線，垂足為，則，得到，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，通過點(diǎn)坐標(biāo)與線段的轉(zhuǎn)化，利用比例關(guān)系求出，進(jìn)一步求出點(diǎn)坐標(biāo)．
題型二 坐標(biāo)系中（函數(shù)圖象上）動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生四邊形問題 鞏固練習(xí)
已知：如圖所示，關(guān)于的拋物線與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
⑴求出此拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
⑵在拋物線上有一點(diǎn)，使四邊形為等腰梯形，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線的
解析式；
⑶在⑵的條件下直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，軸上有一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
⑴根據(jù)題意，得，解得
∴拋物線的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
⑵
設(shè)直線的解析式為
∵直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)
∴，解得，∴．
⑶存在．，，，．
在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心、半徑為的圓與軸相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的下方）．
⑴求以直線為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)、的拋物線的解析式；
⑵若點(diǎn)是該拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
⑶若為這個(gè)拋物線對稱軸上的點(diǎn)，則在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
⑴由的圓心為，半徑為，及各點(diǎn)的位置可知
，
∵拋物線的對稱軸是，且經(jīng)過點(diǎn)，∴該拋物線一定經(jīng)過點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線解析式為，代入，可得
，解得，∴拋物線解析式為．
⑵由兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，則連結(jié)與對稱軸交于一點(diǎn)，
此時(shí)最小，又知，
∴的取值范圍是．
⑶①若，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為或，
這兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
②若互相平分，則點(diǎn)在對稱軸上，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為．
∴存在點(diǎn)，坐標(biāo)為．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，過點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，連接．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以每秒4個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，線段，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，射線交軸于點(diǎn)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)，移動(dòng)的時(shí)間為（單位：秒）
⑴求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
⑵當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形?請寫出計(jì)算過程；
⑶當(dāng)時(shí)，的面積是否總為定值?若是，求出此定值，若不是，請說明理由；
⑷當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形?請寫出解答過程.
⑴∵，令，得，，
∴或，∴；
在中，令，得，即；
由于，故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
由，得或
即，且易求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
于是，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
⑵若四邊形為平行四邊形，
由于．故只要即可，
而，故，得；
⑶設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒，則，，
說明在線段上，且不與點(diǎn)、重合，
由于知，故，
∴，∴．
又點(diǎn)到直線的距離，
∴，
于是的面積總為．
⑷由⑶知，．
構(gòu)造直角三角形后易得，
．
①若，即，故，
∵，∴，∴．
②若，即，無的滿足條件；
③若，即，得，
∴或都不滿足，故無的滿足方程；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，是等腰三角形．
如圖，拋物線與軸分別相交于點(diǎn)、，它的頂點(diǎn)為，連接，把所在的直線沿軸向上平移，使它經(jīng)過原點(diǎn)，得到直線，設(shè)是直線上一動(dòng)點(diǎn).
⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)；
⑵以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形中，有菱形、等腰梯形、
直角梯形，請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
⑶設(shè)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積為，點(diǎn)的橫
坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.
⑴由，知點(diǎn)的坐標(biāo)為．
⑵ ①如圖2，菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
②如圖3，等腰梯形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
③如圖4，直角梯形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直角梯形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

⑶ 直線的解析式為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為．
的面積．
① 當(dāng)在軸上方時(shí)，．
解不等式組，得．
② 當(dāng)在軸下方時(shí)，與是同底等高的三角形，面積相等．
因此．
解不等式組，得．
綜上所述，的取值范圍.是或
課后測
【測試1】點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，，.將繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，得到.拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn).
= 1 \* GB2 ⑴ 求拋物線的解析式；
= 2 \* GB2 ⑵ 點(diǎn)是否在此拋物線上，請說明理由；
= 3 \* GB2 ⑶ 在該拋物線上找一點(diǎn)，使得是以為底的等腰三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；
= 4 \* GB2 ⑷ 在該拋物線上，是否存在兩點(diǎn)、，使得原點(diǎn)是線段中點(diǎn)，若存在，直接寫出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【解析】⑴ 過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，∴．
又，∴．
∴．∴，．
∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，
∴ 解得．
∴拋物線的解析式為．
⑵ ∵當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)不在此拋物線上．
⑶ 點(diǎn)應(yīng)在線段的垂直平分線上，由題意可知，且平分，
∴點(diǎn)在直線上．
可求得所在直線的解析式為．
又點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，
由，解得，．
∴符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，即點(diǎn)和．
⑷ 存在．和．
第十七種品格：成就
消除自身壓力，給成功留點(diǎn)空間
加拿大魁北克有一條南北走向的山谷。山谷沒有什么特別之處，唯一能引人注意的是它的西坡長滿松、柏、女貞等樹，而東坡卻只有雪松。這一奇異景色之謎，許多人不知所以，然而揭開這個(gè)謎的，竟是一對夫婦。
那是1993年的冬天，這對夫婦的婚姻正瀕于破裂的邊緣，為了找回昔日的愛情，他們打算做一次浪漫之旅，如果能找回就繼續(xù)生活，否則就友好分手。他們來到這個(gè)山谷的時(shí)候，下起了大雪，他們支起帳篷，望著滿天飛舞的大雪，發(fā)現(xiàn)由于特殊的風(fēng)向，東坡的雪總比西坡的大且密。不一會(huì)兒，雪松上就落了厚厚的一層雪。不過當(dāng)雪積到一定程度，雪松那富有彈性的枝丫就會(huì)向下彎曲，直到雪從枝上滑落。這樣反復(fù)地積，反復(fù)地積，反復(fù)地彎，反復(fù)地落，雪松完好無損?？善渌臉洌瑓s因沒有這個(gè)本領(lǐng)，樹枝被壓斷了。妻子發(fā)現(xiàn)了這一景觀，對丈夫說：“東坡肯定也長過雜樹，只是不會(huì)彎曲才被大雪摧毀了。”少頃，兩人突然明白了什么，擁抱在一起。
生活中我們承受著來自各方面的壓力，積累著終將讓我們難以承受。這時(shí)候，我們需要象雪松那樣彎下身來。釋下重負(fù)，才能夠重新挺立，避免壓斷的結(jié)局。彎曲，并不是低頭或失敗，而是一種彈性的生存方式，是一種生活的藝術(shù)。
今天我學(xué)到了

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