微專題22　直線與圓錐曲線高考定位　直線與圓錐曲線的位置關系是高考的必考內容，涉及直線與圓錐曲線的相交、相切、弦長、面積以及弦中點等問題，難度中等.1.(2021·新高考Ⅱ卷)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點到直線y＝x＋1的距離為，則p＝(　　)A.1  B.2  C.2  D.4答案　B解析　拋物線的焦點坐標為，其到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝，解得：p＝2(p＝－6舍去).2.(2022·全國甲卷)記雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點”的e的一個值________.答案　2((1，]內的任意值均可)解析　雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，若直線y＝2x與雙曲線C無公共點，則2≥，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，又e＞1，∴e∈(1，]，∴填寫(1，]內的任意值均可.3.(2021·浙江卷)已知橢圓＋＝1(a>b>0)，焦點為F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).若過F1的直線和圓＋y2＝c2相切，與橢圓在第一象限交于點P，且PF2⊥x軸，則該直線的斜率是________；橢圓的離心率是________.答案　　解析　設過F1的直線與圓的切點為M，圓心A，則|AM|＝c，|AF1|＝c，所以|MF1|＝c，所以該直線的斜率k＝＝＝.因為PF2⊥x軸，所以|PF2|＝，又|F1F2|＝2c，所以k＝＝＝＝，解得e＝(e＝－舍去).4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知直線l與橢圓＋＝1在第一象限交于A，B兩點，l與x軸、y軸分別交于M，N兩點，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，則l的方程為________.答案　x＋y－2＝0解析　法一　設直線l的方程為＋＝1(m>0，n>0)，分別令y＝0，x＝0，得點M(m，0)，N(0，n).設A(x1，y1)，B(x2，y2).由題意知線段AB與線段MN有相同的中點，所以即因為kAB＝kMN，所以＝＝－.將A(x1，y1)，B(x2，y2)代入橢圓方程，得相減得＋＝0，由題意知x1＋x2≠0，x1≠x2，所以·＝－，即·＝－，整理得m2＝2n2.①又|MN|＝2，所以由勾股定理，得m2＋n2＝12，②由①②并結合m>0，n>0，得所以直線l的方程為＋＝1，即x＋y－2＝0.法二　設直線l的方程為＋＝1(m>0，n>0)，分別令y＝0，x＝0，得點M(m，0)，N(0，n).由題意知線段AB與線段MN有相同的中點，設為Q，則Q，則kAB＝＝－，kOQ＝＝.由橢圓中點弦的性質知，kAB·kOQ＝－＝－，即·＝－，以下同法一.熱點一　中點弦問題已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點，AB的中點C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.(1)若橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，則k＝－·；(2)若雙曲線E的方程為－＝1(a>0，b>0)，則k＝·；(3)若拋物線E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝.例1 (1)(2022·寶雞二模)橢圓＋＝1中以點M(2，1)為中點的弦所在直線方程為(　　)A.4x＋9y－17＝0 B.4x－9y－17＝0C.x＋3y－2－3＝0 D.x－3y－2＋3＝0(2)(2022·廣州調研)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，過點F的直線x－y＋＝0與橢圓C相交于不同的兩點A，B，若P為線段AB的中點，O為坐標原點，直線OP的斜率為－，則橢圓C的方程為(　　)A.＋y2＝1  B.＋＝1C.＋＝1  D.＋＝1答案　(1)A　(2)B解析　(1)設以點M(2，1)為中點弦的兩端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減得＋＝0，因為M(2，1)為中點，所以＝2，＝1，所以斜率k＝＝－＝－(或直接利用結論k＝－·＝－×＝－)，所以所求直線方程為y－1＝－(x－2)，即4x＋9y－17＝0.(2)因為直線x－y＋＝0過點F(－，0)，所以c＝，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＋＝1，＋＝1兩式相減并化簡得－＝·，即－＝·1，所以＝，所以a2＝2b2＝b2＋c2，所以b＝c＝，a＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1.規(guī)律方法　1.處理中點弦問題的常用方法：(1)根與系數(shù)的關系，(2)點差法.2.利用點差法需注意保證直線與曲線相交.訓練1 已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，虛軸的上端點為B，點P，Q在雙曲線上，且點M(－2，1)為線段PQ的中點，PQ∥BF，雙曲線的離心率為e，則e2等于(　　)A.  B.C.  D.答案　A解析　法一　由題意知F(c，0)，B(0，b)，則kPQ＝kBF＝－.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則兩式相減，得＝.因為線段PQ的中點為M(－2，1)，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，又kPQ＝＝－，所以－＝，整理得a2＝2bc，所以a4＝4b2c2＝4c2(c2－a2)，即4e4－4e2－1＝0，得e2＝，或e2＝(舍去).法二　由題意知F(c，0)，B(0，b)，則kBF＝－.設直線PQ的方程為y－1＝k(x＋2)，即y＝kx＋2k＋1，代入雙曲線方程，得(b2－a2k2)x2－2a2k(2k＋1)x－a2(2k＋1)2－a2b2＝0.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝－4，所以＝－4，又k＝kBF＝－，所以2a2·＝－4b2＋4a2.整理得a2＝2bc，所以c2－b2－2bc＝0，即－－1＝0，得＝＋1，或＝1－(舍去)，則e2＝＝＝＝＝.熱點二　弦長問題已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.例2 (2022·青島模擬)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－1，0)，F2(1，0)，點P在橢圓E上.(1)求橢圓E的標準方程；(2)設直線l：x＝my＋1(m∈R)與橢圓E相交于A，B兩點，與圓x2＋y2＝a2相交于C，D兩點，當|AB|·|CD|2的值為8時，求直線l的方程.解　(1)因為點P在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a，又|PF1|＝＝，|PF2|＝，所以2a＝＋＝2，即a＝，∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝1，故橢圓E的標準方程為＋y2＝1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去x，整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，所以Δ＝8m2＋8>0，y1＋y2＝－，y1y2＝－，則|AB|＝＝＝.設圓x2＋y2＝2的圓心O到直線l的距離為d，則d＝，所以|CD|＝2＝2＝2，則|AB|·|CD|2＝×4×＝＝8，解得m＝±1，經(jīng)驗證m＝±1符合題意.故所求直線的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.規(guī)律方法　1.設直線方程要注意斜率不存在的情況.若已知直線過(t，0)，可設直線方程為x＝my＋t(m≠0)；2.聯(lián)立直線、曲線的方程組消元后，一需要二次項系數(shù)不等零，二需要Δ＞0；3.點差法，要檢驗中點是否在圓錐曲線內部，若中點在曲線內部，可不必檢驗Δ＞0.訓練2 (2022·溫州調研)橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點P，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一個正方形.(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交C于A，B兩點，且＝2，求|AB|.解　(1)∵兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一個正方形，∴b＝c，∵橢圓過點P，∴＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，∴橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)∵F(1，0)，設lAB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程得得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，∴∵＝2，∴y1＝－2y2，∴∴2＝，∴m2＝，∴|AB|＝·|y1－y2|＝·＝.熱點三　圓錐曲線的切線問題1.直線與圓錐曲線相切時，它們的方程組成的方程組消元后所得方程(二次項系數(shù)不為零)的判別式為零.2.橢圓＋＝1(a>b>0)在(x0，y0)處的切線方程為＋＝1；雙曲線－＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)處的切線方程為－＝1；拋物線y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)處的切線方程為y0y＝p(x＋x0).例3 (1)已知橢圓E：＋＝1，點P是直線l：x＝4上的任意一點，過點P作橢圓E的兩條切線，切點分別是A，B，則|AB|的最小值是________.(2)(2022·北京石景山區(qū)模擬)設A，B為拋物線C：y＝x2上兩個不同的點，且直線AB過拋物線C的焦點F，分別以A，B為切點作拋物線C的切線，兩條切線交于點P.則下列結論：①點P一定在拋物線C的準線上；②PF⊥AB；③△PAB的面積有最大值無最小值.其中，正確的個數(shù)是(　　)A.0  B.1  C.2  D.3答案　(1)2　(2)C解析　(1)設P(4，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則切線PA的方程為＋＝1，切線PB的方程為＋＝1.因為它們都經(jīng)過點P，所以故直線AB的方程為＋＝1，即x＝－y＋2.聯(lián)立消去x得，(t2＋8)y2－8ty－16＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，所以|AB|＝＝＝4，所以當t＝0時，|AB|min＝2.(2)由拋物線知焦點F，可設直線AB方程為y＝kx＋，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線與拋物線方程得x2－kx－＝0，則x1＋x2＝k，x1x2＝－，y1＋y2＝k2＋，y1y2＝，切線AP的方程為y－y1＝2x1(x－x1)，化簡得y＋y1＝2x1x，同理切線BP的方程為y＋y2＝2x2x，聯(lián)立解得P，故①正確；∴kPF＝＝－，∴kPF·k＝－1，故②正確；S△PAB＝|AB|d＝·(k2＋1)·＝，當k＝0時，S△PAB有最小值，無最大值，故③錯誤，故選C.規(guī)律方法　1.圓錐曲線在某點處的切線方程可通過求導的方法來解決.2.過圓錐曲線外一點作曲線的兩條切線，過兩切點的直線方程與曲線在該點處的切線方程相同.例如：過橢圓C：＋＝1(a>b>0)外一點P(x0，y0)作橢圓的兩條切線PA，PB(A，B為切點)，則直線AB的方程為＋＝1.訓練3 (1)(2022·石家莊模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點A(x0，y0)處的切線l與圓M：(x＋2)2＋y2＝4相切于另一點B，則拋物線焦點F與切點A距離|AF|的最小值為________.(2)如圖，已知點P(x0，y0)是雙曲線C1：－＝1上的點，過點P作橢圓C2：＋＝1的兩條切線，切點為A，B，直線AB交C1的兩漸近線于點E，F，O是坐標原點，則·的值為(　　)A.  B.1  C.  D.答案　(1)8　(2)B解析　(1)拋物線y2＝2px(p>0)上一點A(x0，y0)處的切線l方程為y0y＝p(x0＋x)，整理得px－y0y＋px0＝0，因為切線l與圓M相切，則d＝＝2，同時平方化簡得－4p2x0＋p2x＝4y，又y＝2px0，∴－4p2x0＋p2x＝8px0，解得x0＝4＋，即xA＝4＋，此時|AF|＝4＋＋≥2＋4＝8，當且僅當＝，即p＝4時取等號，故|AF|的最小值為8.(2)橢圓C2關于點P(x0，y0)的切點弦AB的方程為＋＝1，即3x0x＋4y0y＝12，由解得E，同理F，則·＝＋＝＝1，故選B.熱點四　直線與圓錐曲線位置關系的應用直線與圓錐曲線位置關系的判定方法(1)聯(lián)立直線的方程與圓錐曲線的方程.(2)消元得到關于x或y的一元二次方程.(3)利用判別式Δ，判斷直線與圓錐曲線的位置關系.例4 (1)已知直線l與橢圓＋＝1(a>b>0)相切，與直線x＝－a，x＝a分別交于點M，N，F為橢圓的左焦點，若以MN為直徑的圓為E，則F(　　)A.在圓E上 B.在圓E內C.在圓E外 D.以上三種情況都有可能(2)(2022·長沙模擬)已知橢圓Г：＋＝1，過其左焦點F1作直線l交橢圓Г于P，A兩點，取P點關于x軸的對稱點B.若G點為△PAB的外心，則＝(　　)A.2  B.3C.4  D.以上都不對答案　(1)A　(2)C解析　(1)顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋m，由可得(a2k2＋b2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，因為直線l與橢圓相切，所以Δ＝(2a2km)2－4(a2k2＋b2)(a2m2－a2b2)＝0，故m2＝a2k2＋b2.易知F(－c，0)，M(－a，－ak＋m)，N(a，ak＋m)，則＝(c－a，m－ak)，＝(c＋a，m＋ak)，則·＝c2－a2＋m2－a2k2＝－b2＋a2k2＋b2－a2k2＝0，故∠MFN＝90°，即點F在圓E上.(2)根據(jù)題意可得F1(－1，0)，顯然直線PA的斜率存在，故可設方程為y＝k(x＋1)，由聯(lián)立消去y，可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，設P(x1，y1)，A(x2，y2)，故x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝，故|PA|＝＝，設PA的中點為H，則其坐標為，顯然x軸垂直平分PB，故可設G(x3，0)，又GH直線方程為：y－＝－，令y＝0，解得x＝，故|GF1|＝＝，故＝＝4，故選C.易錯提醒　1.直線與雙曲線只有一個交點，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.2.直線與拋物線只有一個交點包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對稱軸平行(或重合).訓練4 已知F1，F2是橢圓E1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，曲線E2：y2＝4x的焦點恰好也是F2，O為坐標原點，過橢圓E1的左焦點F1作與x軸垂直的直線交橢圓于M，N，且△MNF2的面積為3.(1)求橢圓E1的方程；(2)過F2作直線l交E1于A，B，交E2于C，D，且△ABF1與△OCD的面積相等，求直線l的斜率.解　(1)因為曲線E2：y2＝4x的焦點恰好也是F2，所以橢圓中c＝1，2c＝2，因為△MNF2的面積為3，所以|MN|＝3，所以解得a＝2，c＝1，b＝，所以橢圓的方程為＋＝1.(2)因為O為F1，F2的中點，所以O到直線l的距離為F1到l距離的一半，又因為△ABF1與△OCD的面積相等，所以|CD|＝2|AB|，因為F2(1，0)，設l的方程為y＝k(x－1)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，聯(lián)立方程組可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝，由兩點間距離公式可得，|AB|＝|x1－x2|＝＝4－，聯(lián)立方程組可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，則x3＋x4＝2＋，x3x4＝1，所以|CD|＝x3＋x4＋2＝4＋，因為＝＝2，解得k＝±，故直線l的斜率為±.一、基本技能練1.橢圓＋＝1中，以點M(－1，2)為中點的弦所在直線斜率為(　　)A.  B.  C.  D.－答案　B解析　設以M為中點的弦為弦AB，弦AB的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝1，＋＝1，兩式相減得＋＝0，又弦AB中點為M(－1，2)，∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，即＋＝0，∴k＝＝.2.(2022·廣州二模)拋物線y2＝4x的焦點為F，點A在拋物線上.若|AF|＝3，則直線AF的斜率為(　　)A.±  B.±2  C.  D.2答案　B解析　由題意得F(1，0)，設點A(x0，y0)，則|AF|＝x0＋1＝3，故x0＝2，y0＝±2，故點A坐標為(2，2)或(2，－2)，所以直線AF的斜率為±2.故選B.3.(2022·金華調研)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦長為2，則雙曲線C的離心率為(　　)A.  B.  C.2  D.答案　C解析　不妨設雙曲線的一條漸近線方程為：bx＋ay＝0，圓x2＋y2－4y＋2＝0的圓心為(0，2)，半徑為，可得圓心到直線的距離為＝，整理得4a2＝a2＋b2，即4a2＝c2，∴e＝＝2，故選C.4.(2022·福州二模)F1，F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，B是橢圓的上頂點，過點F1作BF2的垂線交橢圓C于P，Q兩點，若3＝7，則橢圓C的離心率是(　　)A.或  B.或C.或  D.或答案　B解析　由橢圓C的方程可得B(0，b)，F2(c，0)，F1(－c，0)，所以kBF2＝－，設直線PQ的方程為y＝(x＋c)，即x＝y－c，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立整理得(b4＋a2c2)y2－2b3c2y－b4c2＝0，可得y1＋y2＝，①y1y2＝－，②因為3＝7，則3(－c－x1，－y1)＝7(x2＋c，y2)，可得y1＝－y2代入①可得y2＝－.③將y1＝－y2代入②可得y＝，④③代入④可得＝化簡，得25c4－25a2c2＋4a4＝0，即25e4－25e2＋4＝0，解得e2＝或e2＝，即e＝或e＝，故選B.5.已知橢圓M：＋＝1(a>)，過焦點F的直線l與M交于A，B兩點，坐標原點O在以AF為直徑的圓上，若|AF|＝2|BF|，則M的方程為(　　)A.＋＝1  B.＋＝1C.＋＝1  D.＋＝1答案　A解析　由題意不妨設F(－c，0)，因為原點O在以AF為直徑的圓上，所以OA⊥OF，可得A為橢圓M短軸的端點，則A(0，)，因為|AF|＝2|BF|，所以B代入橢圓M方程中可得＋＝1，即a2＝3c2，又c2＝a2－2，所以a2＝3(a2－2)，解得a2＝3，所以橢圓M的方程為＋＝1，故選A.6.(多選)(2022·煙臺模擬)已知雙曲線C：－＝1，F1，F2為C的左、右焦點，則(　　)A.雙曲線－＝1(m>0)和C的離心率相等B.若P為C上一點，且∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的周長為6＋2C.若直線y＝tx－1與C沒有公共點，則t<－或t>D.在C的左、右兩支上分別存在點M，N，使得4＝答案　BC解析　選項A：雙曲線C：－＝1的離心率e＝，雙曲線－＝1(m>0)的離心率e＝＝，則雙曲線－＝1(m>0)和C的離心率不一定相等.判斷錯誤；選項B：P為C：－＝1上一點，且∠F1PF2＝90°，則有整理得|PF1|＋|PF2|＝2，則△F1PF2的周長為6＋2.選項B判斷正確；選項C：由可得(5－4t2)x2＋8tx－24＝0，由題意可知，方程(5－4t2)x2＋8tx－24＝0無解.當5－4t2＝0時，方程(5－4t2)x2＋8tx－24＝0有解；當5－4t2≠0時，則有解之得t<－或t>，故若直線y＝tx－1與C沒有公共點，則t<－或t>.判斷正確；選項D：根據(jù)題意，過雙曲線C的左焦點F1的直線MN方程可設為x＝ty－3，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，由4＝，可得y2＝4y1，由可得(5t2－4)y2－30ty＋25＝0，則有則有整理得19t2＋100＝0，顯然不成立.當過雙曲線C的左焦點F1的直線MN為水平直線時，方程為y＝0，則M＝(－2，0)，N(2，0)，＝(1，0)，＝(5，0)，即5＝.綜上可知，不存在分別在C的左、右兩支上M，N使得4＝.判斷錯誤.故選BC.7.(2022·西安模擬)已知直線y＝kx－1與焦點在x軸上的橢圓＋＝1總有公共點，則b的取值范圍是________.答案　[1，2)解析　由題意直線y＝kx－1恒過定點N(0，－1)，要使直線y＝kx－1與焦點在x軸上的橢圓＋＝1總有公共點，則只需要點N(0，－1)在橢圓上或橢圓內，即≤1，解得b≥1，又焦點在x軸上，∴b<2.∴1≤b<2.8.已知F1，F2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|＝|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為________.答案　8解析　因為P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|＝|F1F2|，所以四邊形PF1QF2為矩形，設|PF1|＝m，|PF2|＝n，由橢圓定義可得|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝8，所以m2＋2mn＋n2＝64，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，即m2＋n2＝48，所以mn＝8，即四邊形PF1QF2的面積為|PF1||PF2|＝mn＝8，故答案為8.9.(2022·南通、泰州等七市調研)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別是F1，F2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是雙曲線右支上的兩點，x1＋y1＝x2＋y2＝3.記△PQF1，△PQF2的周長分別為C1，C2，若C1－C2＝8，則雙曲線的右頂點到直線PQ的距離為________.答案　解析　根據(jù)雙曲線的定義，若C1－C2＝(|PQ|＋|PF1|＋|QF1|)－(|PQ|＋|PF2|＋|QF2|)＝4a＝8，所以a＝2.故雙曲線右頂點為(2，0)，因為x1＋y1＝x2＋y2＝3，所以P，Q在x＋y＝3上，即直線PQ的方程為x＋y＝3，所以雙曲線的右頂點到直線PQ的距離為d＝.10.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過原點的直線l與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為A，B，∠F1AF2＝60°，四邊形AF1BF2的周長p與面積S滿足p2＝S，則該雙曲線的離心率為________.答案　解析　由題知|AF1|－|AF2|＝2a，四邊形AF1BF2是平行四邊形，|AF1|＋|AF2|＝，聯(lián)立解得|AF1|＝a＋，|AF2|＝－a，∵∠F1AF2＝60°，四邊形AF1BF2的面積S＝|AF1||AF2|＝，∵p2＝S，∴p2＝×，即p2＝64a2，由|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos 60°＝(|AF1|－|AF2|)2＋|AF1||AF2|，可得4c2＝4a2＋－a2＝4a2＋3a2＝7a2，即e＝，故答案為.11.(2022·臨汾二模)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，其準線與x軸交于點P，過點P作直線l與C交于A，B兩點，點D與點A關于x軸對稱.(1)證明：直線BD過點F；(2)若＝3，求l的斜率.(1)證明　設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，直線l的斜率為k，由題可知k一定存在，直線l的方程為：y＝k.由得ky2－2py＋kp2＝0，Δ＝4p2－4k2p2>0，則－1<k<1.y1＋y2＝，y1y2＝p2，kBD＝＝＝，故直線BD的方程為y＋y1＝，即y＝，故直線BD過點F.(2)解　由＝3可得由(1)可知，y1＋y2＝4y2＝，故y2＝，又x1＋3x2＝2p，故＋＝2p，即y＋3y＝4p2＝12y，故y＝＝，所以k2＝，滿足Δ>0，故k＝±.12.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，點M是x軸上的一點，過點M的直線l與橢圓C交于A，B兩點(點A在x軸的上方)，若|AM|＝2|MB|，且直線l與圓O：x2＋y2＝相切于點N，求△OMN的面積.解　(1)由題意知解得所以橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)設M(m，0)，直線l：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AM|＝2|MB|，得y1＝－2y2，由得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0.Δ＝－16(m2－t2－4)>0，即m2<t2＋4.由根與系數(shù)的關系得y1＋y2＝－，y1y2＝.由y1y2＝－2y，y1＋y2＝－2y2＋y2＝－y2，得y1y2＝－2[－(y1＋y2)]2＝－2(y1＋y2)2，即＝－2，化簡得(m2－4)·(t2＋4)＝－8t2m2，所以原點O到直線l的距離d＝，又直線l與圓O：x2＋y2＝相切，所以＝，即t2＝m2－1.由得21m4－16m2－16＝0，即(3m2－4)(7m2＋4)＝0，解得m2＝，此時t2＝，滿足Δ>0，此時點M的坐標為，在Rt△OMN中，|MN|＝＝，所以S△OMN＝××＝.二、創(chuàng)新拓展練13.(2022·麗水調研)在平面直角坐標系xOy中，點A(1，0)，B(9，6)，動點C在線段OB上，BD⊥y軸，CE⊥y軸，CF⊥BD，垂足分別是D，E，F，OF與CE相交于點P.已知點Q在點P的軌跡上，且∠OAQ＝120°，則|AQ|＝(　　)A.4  B.2  C.  D.答案　A解析　設P(x，y)，則yC＝y，∵直線OB為y＝x，∴C，E(0，y)，F，∵FC∥y軸，∴△OPE∽△FPC，∴＝，∴＝，即y2＝4x，∴P的軌跡方程為：y2＝4x(0≤x≤9)，故A(1，0)為該拋物線的焦點，設Q(x0，y0)，則y＝4x0，＝(x0－1，y0)，＝(－1，0)，∴cos∠OAQ＝＝＝＝－，解得x0＝3，∴|AQ|＝x0＋＝3＋1＝4.故選A.14.(多選)(2022·蘇北四市調研)已知橢圓C：mx2＋ny2＝1與直線y＝x＋1交于A，B兩點，且|AB|＝，M為AB的中點，若P是直線AB上的點，則(　　)A.橢圓C的離心率為B.橢圓C的短軸長為C.·＝－3D.P到C的兩焦點距離之差的最大值為2答案　ACD解析　令A(x1，y1)，B(x2，y2)，則則m(x－x)＋n(y－y)＝0，則＋＝0，則＋·＝0，則＋kABkOM＝0，所以＋1×＝0，所以＝，則m<n，>，橢圓的標準方程為＋＝1，所以橢圓C的焦點在x軸上，即＝＝＝，∴e2＝＝＝1－＝，即e＝，A正確；橢圓C的方程為x2＋2y2＝2b2，聯(lián)立消y可得3x2＋4x＋2－2b2＝0，Δ＝16－12(2－2b2)＝24b2－8>0，可得b2>，則∴|AB|＝＝＝，所以b2＝3，則b＝，所以橢圓C短軸長為2b＝2，B錯誤；·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋1)·(x2＋1)＝2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－×3＋1＝－3，C正確；橢圓C的方程為x2＋2y2＝6，其標準方程為＋＝1，c＝＝，橢圓C的左焦點為F1(－，0)，右焦點為F2(，0)，如圖所示：設點F1關于直線AB的對稱點為點E(m，n)，則解得即點E(－1，1－)，易知|PF1|＝|PE|，則||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PE||≤|EF2|＝＝2，當且僅當點P，E，F2三點共線時，等號成立，D正確.故選ACD.15.(多選)(2022·重慶診斷)已知F為拋物線C：y2＝6x的焦點，過直線x＝－上一動點P作C的兩條切線，切點分別為A，B，則下列恒為定值的是(　　)A.  B.C.  D.答案　BCD解析　根據(jù)題意，得x＝－為拋物線的準線，焦點為F，設P，設過點P與曲線C相切的直線方程為：y－y0＝k(k≠0)，由得ky2－6y＋6y0＋9k＝0，由直線與曲線相切得Δ＝36－4k(6y0＋9k)＝0，整理得3k2＋2ky0－3＝0，設切線PA的斜率為k1，切線PB的斜率為k2，則k1＋k2＝－，k1k2＝－1，即切線PA與PB垂直.由3k2＋2ky0－3＝0得y0＝并代入ky2－6y＋6y0＋9k＝0，整理得k2y2－6ky＋9＝0，解得y＝，再由y＝，y0＝代入y－y0＝k，得x＝，所以A，B，所以kAB＝＝＝，kPF＝＝－，所以AB⊥PF，因為3k＋2k1y0－3＝0，kAF＝＝＝，所以A，B，F三點共線(如圖)所以△PAB為直角三角形，PF為邊AB上的高.對于A，由等面積法得S△PAB＝|PA||PB|＝|AB|·|PF|，即＝|PF|，由于P為動點，故|PF|不為定值，故A錯誤；對于B，由過焦點弦的性質＝＝＝＝(定值)，B正確；對于C，由切線PA與切線PB垂直，故·＝0，即＝0(定值)，C正確；對于D，由題知△PBF∽△APB，所以|PF|2＝|AF|·|BF|，所以＝＝cos α＝cos 180°＝－1(定值)，故D正確，故選BCD.16.(2022·沈陽模擬)雙曲線T：－＝1(a>0，b>0)的焦距為2c，圓x2＋y2＝c2與T及T的漸近線分別在第一象限交于點M，N.若M，N關于直線y＝x對稱，則T的離心率為________.答案　解析　雙曲線－＝1(a>0，b>0)，一條漸近線方程為y＝x，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x1，x2，y1，y2>0，聯(lián)立方程組可得x2＝a2，∴x＝±a，即M的橫坐標為x1＝a.聯(lián)立方程組整理得b2(c2－y2)－a2y2＝a2b2，即y2＝，解得y＝±，即點N的縱坐標為y2＝.因為點M與點N關于直線y＝x對稱可得x1＝y2，即a＝，即b2＝ac，∴c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，解得e＝或e＝，又∵雙曲線離心率e>1，∴e＝.17.(2022·麗水質檢)在平面直角坐標系中，頂點在原點、以坐標軸為對稱軸的拋物線C經(jīng)過點(1，2).(1)求拋物線C的方程；(2)已知拋物線C關于x軸對稱，過焦點F的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交直線AB于點P，交C的準線于點Q.若|AB|＝|PQ|，求直線AB的方程.解　(1)當焦點在x軸時，設拋物線C：y2＝2px(p>0).將點(1，2)代入得p＝2，此時拋物線的方程為y2＝4x.當焦點在y軸時，設拋物線C：x2＝2py(p>0)，將點(1，2)代入得p＝，此時拋物線的方程為x2＝y.綜上，拋物線C的方程為y2＝4x或x2＝y.(2)當拋物線C的焦點在x軸時，其方程為y2＝4x，焦點坐標為(1，0)，準線方程為x＝－1.∵當直線AB的斜率不存在時，|AB|＝4，|PQ|＝2，不符合題意，∴直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，與拋物線的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.∴Δ＝16k2＋16>0，x1＋x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋，線段AB的中點P為，∴直線PQ的方程為y－＝－.令x＝－1，得y＝＋，∴Q，∴|PQ|＝＝2.由|PQ|＝|AB|得，2＝4＋，解得k＝±，∴直線AB的方程為y＝x－或y＝－x＋. 

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