專題27　單變量恒成立之參變分離后導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可求型 【方法總結(jié)】單變量恒成立之參變分離法參變分離法是將不等式變形成一個(gè)一端是f(a)，另一端是變量表達(dá)式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上恒成立，則f(a)≥g(x)max；若f(a)≤g(x)在x∈D上恒成立，則f(a)≤g(x)min．特別地，經(jīng)常將不等式變形成一個(gè)一端是參數(shù)a，另一端是變量表達(dá)式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上恒成立，則a≥g(x)max；若a≤g(x)在x∈D上恒成立，則a≤g(x)min．利用分離參數(shù)法來確定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a為實(shí)參數(shù))恒成立問題中參數(shù)取值范圍的基本步驟：(1)將參數(shù)與變量分離，化為f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D時(shí)的最大值或最小值．(3)解不等式f1(a)≥f2(x)max或f1(a)≤f2(x)min，得到a的取值范圍．【例題選講】[例1]　已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析　(1)∵函數(shù)f(x)＝xln x的定義域是(0，＋∞)，∴f′(x)＝ln x＋1．令f′(x)＜0，得ln x＋1＜0，解得0＜x＜，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是．令f′(x)＞0，得ln x＋1＞0，解得x＞，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是．綜上，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．(2)∵g′(x)＝3x2＋2ax－1，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，∴2xlnx≤3x2＋2ax＋1恒成立．∵x＞0，∴a≥ln x－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立．設(shè)h(x)＝ln x－x－(x＞0)，則h′(x)＝－＋＝－．令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去)．當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減．∴當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取得極大值，也是最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2，∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，則a≥h(x)max＝－2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2，＋∞)．[例2]　已知函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－(a＋1)x．(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝－2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若x>0時(shí)，<恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)．由已知得f′(x)＝＋ax－(a＋1)，則f′(1)＝0．而f(1)＝－－1，∴曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝－－1．∴－－1＝－2，解得a＝2．∴f(x)＝ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋2x－3，由f′(x)>0，得0<x<或x>1，由f′(x)<0，得<x<1，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)由<，得＋x－(a＋1)<＋x－，即－<在區(qū)間(0，＋∞)上恒成立．設(shè)h(x)＝－，則h′(x)＝＋＝，由h′(x)>0，得0<x<，因而h(x)在上單調(diào)遞增，由h′(x)<0，得x>，因而h(x)在上單調(diào)遞減．∴h(x)的最大值為h()＝，∴>，故a>2－1．從而實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[例3]　(2020·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－x．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥x3＋1，求a的取值范圍．解析　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，由于f″(x)＝ex＋2＞0，故f′(x)單調(diào)遞增，注意到f′(0)＝0，故當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．(2)由f(x)≥x3＋1，得ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，①當(dāng)x＝0時(shí)，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意；
②當(dāng)x＞0時(shí)，分離參數(shù)a得a≥－，記g(x)＝－，g′(x)＝－，令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，則h′(x)＝ex－x－1，h″(x)＝ex－1≥0，故h′(x)單調(diào)遞增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)＝0，由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，故當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減．因此，g(x)max＝g(2)＝，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【對點(diǎn)精練】1．已知函數(shù)f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．(1)若a＝1，求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1．解析　(1)若a＝1，則f(x)＝xex－2(2x－1)．即f′(x)＝xex＋ex－4，則f′(0)＝－3，f(0)＝2，所以所求切線方程為3x＋y－2＝0．(2)由f(1)≥0，得a≥＞0，則f(x)≥0對任意的x＞0恒成立可轉(zhuǎn)化為≥對任意的x＞0恒成立．設(shè)函數(shù)F(x)＝(x＞0)，則F′(x)＝－．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F′(x)＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，F′(x)＜0，所以函數(shù)F(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以F(x)max＝F(1)＝．于是≥，解得a≥．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．2．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax2＋x＋a)(a≥0)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)≤ex(ax2＋2x)＋1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2．解析　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R，且f′(x)＝(ax＋a＋1)(x＋1)ex，
①當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝ex(x＋1)，當(dāng)x>－1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1)．②當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)＝a(x＋1)ex，則方程f′(x)＝0有兩根－1，－，且－1>－．所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為和(－1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為．綜上可知，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為和(－1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1)．(2)函數(shù)f(x)≤ex(ax2＋2x)＋1恒成立轉(zhuǎn)化為a≤x＋在R上恒成立．令h(x)＝x＋，則h′(x)＝，易知h(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，在(－∞，0)上為減函數(shù)．所以h(x)min＝h(0)＝1，則a≤1．又由題設(shè)a≥0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，1]．3．已知函數(shù)f(x)＝lnx．(1)求函數(shù)g(x)＝f(x＋1)－x的最大值；(2)若對任意x>0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．3．解析　(1)∵f(x)＝ln x，∴g(x)＝f(x＋1)－x＝ln(x＋1)－x(x>－1)，∴g′(x)＝－1＝．當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，g′(x)>0，∴g(x)在(－1，0)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．∴g(x)在x＝0處取得最大值g(0)＝0．(2)∵對任意x>0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，∴在x>0上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為max≤a≤min，設(shè)h(x)＝，則h′(x)＝，當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，h′(x)>0；當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，h′(x)<0，∴h(x)在x＝e處取得極大值也是最大值．∴h(x)max＝．要使f(x)≤ax恒成立，必須a≥．另一方面，當(dāng)x>0時(shí)，x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號成立，要使ax≤x2＋1恒成立，必須a≤2，∴滿足條件的a的取值范圍是．4．已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax2(e是自然對數(shù)的底數(shù))．
(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；(2)若對任意的x>0，f(x)＋ex≥x3＋x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．4．解析　(1)f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)．當(dāng)a≤0時(shí)，由f′(x)<0得x<0，由f′(x)>0得x>0，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0<a<時(shí)，由f′(x)>0得x<ln (2a)或x>0，由f′(x)<0得ln (2a)<x<0，∴f(x)在(－∞，ln (2a))上單調(diào)遞增，在(ln (2a)，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a＝時(shí)，由f′(x)≥0，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f(x)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)a>時(shí)，由f′(x)>0得x<0或x>ln (2a)，由f′(x)<0得0<x<ln (2a)，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，ln (2a))上單調(diào)遞減，在(ln (2a)，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a>0且a≠時(shí)，f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a＝時(shí)，f(x)沒有極值點(diǎn)．(2)由f(x)＋ex≥x3＋x得xex－x3－ax2－x≥0．當(dāng)x>0時(shí)，ex－x2－ax－1≥0，即a≤對任意的x>0恒成立．設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝．設(shè)h(x)＝ex－x－1，則h′(x)＝ex－1．∵x>0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴h(x)>h(0)＝0，即ex－x－1>0，∴g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)≥g(1)＝e－2，∴a≤e－2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，e－2]．

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