專題26  探究影響電阻大小的因素實(shí)驗(yàn)題     電阻大小的影響因素：導(dǎo)體的電阻是導(dǎo)體本身的一種性質(zhì)，它的大小決定于導(dǎo)體的材料（電阻率ρ）、長(zhǎng)度（L）和橫截面積（S），還與溫度有關(guān)。與導(dǎo)體是否連入電路、是否通電，及它的電流、電壓等因素?zé)o關(guān)。①導(dǎo)體材料不同，在長(zhǎng)度和橫截面積相同時(shí)，電阻也一般不同；②在材料和橫截面積相同時(shí)，導(dǎo)體越長(zhǎng)，電阻越大；③在材料和長(zhǎng)度相同時(shí)，導(dǎo)體的橫截面積越小，電阻越大；④導(dǎo)體的電阻與導(dǎo)體的溫度有關(guān)。對(duì)大多數(shù)導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，溫度越高，電阻越大。只有極少數(shù)導(dǎo)體電阻隨溫度的升高而減?。ɡ绮ＡВ?/span>.    【例題1】在“探究影響導(dǎo)體電阻大小的因素”時(shí)，某實(shí)驗(yàn)小組想利用圖所示的電路分別對(duì)導(dǎo)體電阻跟它的長(zhǎng)度、橫截面積、材料有關(guān)的猜想進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：（1）為驗(yàn)證“導(dǎo)體電阻跟長(zhǎng)度有關(guān)”，下表中可選用的三種導(dǎo)體是　　（填導(dǎo)體代號(hào)）；導(dǎo)體代號(hào)長(zhǎng)度/m橫截面積/mm2材料A1.00.2錳銅B1.00.4錳銅C1.00.6錳銅D0.50.4錳銅E1.50.4錳銅F1.00.6鎳鉻合金G1.00.6鐵（2）若實(shí)驗(yàn)中將電路中的電流表更換為小燈泡，通過(guò)觀察　　也可以判斷導(dǎo)體電阻大小，但不足之處是　                  　。【答案】（1）B、D、E；（2）燈泡的亮度；當(dāng)電路中電阻變化不大時(shí)，只憑燈泡的亮暗不易區(qū)分。【解析】影響電阻大小的因素是：材料、長(zhǎng)度、橫截面積、溫度，在探究過(guò)程中需用到控制變量法；在電源電壓一定的情況下，導(dǎo)體電阻越大，電路電流越小，燈泡越暗；導(dǎo)體電阻越小，電路電流越大，燈泡越亮；因此可以通過(guò)觀察燈泡的亮度來(lái)判斷電阻的大小，應(yīng)用了轉(zhuǎn)換法；但當(dāng)電路中電阻變化不大時(shí)，只憑燈泡的亮暗不易區(qū)分。（1）為了研究導(dǎo)體電阻與導(dǎo)體長(zhǎng)度的關(guān)系，則需使導(dǎo)體的材料和橫截面積相同，長(zhǎng)度不同，應(yīng)選用的三種導(dǎo)體是B、D、E；（2）實(shí)驗(yàn)中可通過(guò)通過(guò)觀察燈泡亮度來(lái)判斷電阻的大小，但是當(dāng)電路中電阻變化不大時(shí)，只憑燈泡的亮暗不易區(qū)分，所以不科學(xué)。【例題2】某學(xué)習(xí)小組在探討影響導(dǎo)體電阻大小因素時(shí)，找資料發(fā)現(xiàn)在導(dǎo)體材料和粗細(xì)相同時(shí)，其電阻與長(zhǎng)度成正比，即可以用下述表達(dá)式表示：R′=Kx，其中K為比例常數(shù)，x為導(dǎo)體的長(zhǎng)度，于是他們用下面的器材：電壓定的電源、開(kāi)關(guān)、粗細(xì)均勻鎳鉻合金絲、電壓表等及圖示電路來(lái)探究此問(wèn)題，圖中AB為鎳鉻合金絲，P為活動(dòng)端，圖2為實(shí)物連線圖。 （1）他們的實(shí)驗(yàn)方法是控制了     不變。（2）調(diào)節(jié)鎳鉻合金絲上的滑動(dòng)片，電壓表的示數(shù)     （填“能”或“不能”）反映導(dǎo)體AP間電阻的變化，理由     。（3）要完成此實(shí)驗(yàn)，除了記錄電壓表示數(shù)外，還需要的測(cè)量器材是     。【答案】（1）材料和橫截面積；（2）能；電阻越大，分擔(dān)的電壓越大；（3）刻度尺【解析】本題考查探究“影響電阻大小的因素”的實(shí)驗(yàn)。（1）探究導(dǎo)體電阻大小與長(zhǎng)度的關(guān)系，應(yīng)控制導(dǎo)體的材料和橫截面積不變；（2）由圖可知，電壓表并聯(lián)在了電阻AP的兩端，測(cè)量的是電阻AP兩端的電壓，調(diào)節(jié)鎳鉻合金絲上的滑動(dòng)片，電路的總電阻不變，電流不變，電阻改變，根據(jù)U=IR可知，電壓表的示數(shù)也會(huì)改變，電阻越大，電壓表示數(shù)越大；（3）實(shí)驗(yàn)中為了精確測(cè)量電阻的大小與長(zhǎng)度的關(guān)系，應(yīng)需要測(cè)量電阻絲的長(zhǎng)度，故還需要的器材是刻度尺。   1.（2020齊齊哈爾模擬）為探究影響導(dǎo)體電阻大小的因素，小明找到了不同規(guī)格的導(dǎo)線，如表所示．    (1)要探究電阻大小與導(dǎo)體長(zhǎng)度的關(guān)系，應(yīng)選擇     和    兩根導(dǎo)線進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；(2)要探究電阻大小與導(dǎo)體材料的關(guān)系， 應(yīng)選擇    和    兩根導(dǎo)線進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；(3)小明用A、C兩根導(dǎo)線探究了電阻大小與導(dǎo)體橫截面積的關(guān)系，則導(dǎo)線C的長(zhǎng)度應(yīng)為       ．【答案】（1）A；B；（2）A；D；（3）L0．【解析】影響電阻大小因素有：導(dǎo)體的材料、長(zhǎng)度和橫截面積．物理學(xué)中對(duì)于多因素的問(wèn)題常采用控制因素的辦法，把多個(gè)因素的問(wèn)題變成多個(gè)單因素的問(wèn)題，這種方法叫控制變量法．（1）研究電阻與導(dǎo)體長(zhǎng)度有關(guān)，應(yīng)使導(dǎo)線材料、橫截面積都相同，長(zhǎng)度不同的導(dǎo)線，從表中數(shù)據(jù)可以看出，導(dǎo)線A和導(dǎo)線B的材料和橫截面積相同，長(zhǎng)度不同，因此選擇導(dǎo)線A、B．（2）要研究電阻與導(dǎo)體材料有關(guān)，就要控制導(dǎo)體的長(zhǎng)度和橫截面積相同，材料不同，從表格知導(dǎo)線A和D長(zhǎng)度、橫截面積相同，材料不同．（3）小明用A、C兩根導(dǎo)線探究了電阻大小與導(dǎo)體橫截面積的關(guān)系，使導(dǎo)線材料、長(zhǎng)度都相同，橫截面積不同的導(dǎo)線，從表數(shù)據(jù)可以看出，導(dǎo)線A長(zhǎng)度為L0，則導(dǎo)線C的長(zhǎng)度也為L0；2.在“探究影響導(dǎo)體電阻大小的因素”實(shí)驗(yàn)中，某實(shí)驗(yàn)小組提出了如下猜想：猜想一：導(dǎo)體電阻跟導(dǎo)體長(zhǎng)度有關(guān)；猜想二：導(dǎo)體電阻跟導(dǎo)體粗細(xì)有關(guān)；猜想三：導(dǎo)體電阻跟導(dǎo)體材料有關(guān)；同學(xué)們想利用如圖所示的電路和表中的導(dǎo)體驗(yàn)證上述猜想． 導(dǎo)體代號(hào)長(zhǎng)度/m橫截面積/m2材料A1.00.2錳銅B1.00.4錳銅C1.00.6錳銅D0.50.4錳銅E1.50.4錳銅F1.00.6鎳鉻合金G1.00.6鐵    （1）驗(yàn)證猜想一時(shí)，需對(duì)比三個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，則應(yīng)從上表中選取導(dǎo)體　　　　（填寫導(dǎo)體代號(hào)）來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；（2）驗(yàn)證猜想二時(shí)，需選取長(zhǎng)度和　　相同、　 　不同的導(dǎo)體來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)．（3）驗(yàn)證三個(gè)猜想時(shí)，都是通過(guò)比較電路中的　 　大小，來(lái)判斷導(dǎo)體電阻的大?。?/span>【答案】（1）BDE；（2）材料；橫截面積；（3）電流．【解析】影響電阻大小的因素是：材料、長(zhǎng)度、橫截面積、溫度，在探究過(guò)程中需用到控制變量法，不加特殊說(shuō)明，認(rèn)為溫度相同．（1）為了研究導(dǎo)體電阻與導(dǎo)體長(zhǎng)度的關(guān)系，則需使導(dǎo)體的材料和橫截面積相同，長(zhǎng)度不同，應(yīng)選用的三種導(dǎo)體是B、D、E，分別將其接入如圖電路中．通過(guò)比較電路中電流的大小，判斷導(dǎo)體電阻的大?。?/span>（2）為了研究導(dǎo)體電阻與橫截面積的關(guān)系，則需使導(dǎo)體的材料和長(zhǎng)度相同，橫截面積不同，應(yīng)選用的三種導(dǎo)體是A、B、C，分別將其接入如圖電路中．通過(guò)比較電路中電流的大小，判斷導(dǎo)體電阻的大小；（3）驗(yàn)證三個(gè)猜想時(shí)，都是通過(guò)比較電路中電流的大小，判斷導(dǎo)體電阻的大小．3.在探究影響導(dǎo)體電阻大小的因素時(shí)，小明作出了如下猜想：導(dǎo)體的電阻可能與①導(dǎo)體的長(zhǎng)度有關(guān)；②導(dǎo)體的橫截面積有關(guān)；③導(dǎo)體的材料有關(guān)。實(shí)驗(yàn)室提供了4根電阻絲，其規(guī)格、材料如下表所示。（1）按照如圖所示“探究影響導(dǎo)體電阻大小因素”的實(shí)驗(yàn)電路，在M、N之間分別接上不同的導(dǎo)體，則通過(guò)觀察        來(lái)比較導(dǎo)體電阻的大小。（2）為了驗(yàn)證上述猜想①，應(yīng)該選用編號(hào)        兩根電阻絲分別接入電路進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。（3）分別將A和D兩電阻絲接入電路中M、N兩點(diǎn)間，電流表示數(shù)不相同，由此，初步得到的結(jié)論是：當(dāng)長(zhǎng)度和橫截面積相同時(shí)，導(dǎo)體電阻跟       有關(guān)。（4）要進(jìn)一步研究導(dǎo)體材料的導(dǎo)電性能，就需要測(cè)量導(dǎo)體的電阻，小明的實(shí)驗(yàn)方案和操作過(guò)程均正確，兩表的連接和示數(shù)如圖所示。但通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)電流表指針偏轉(zhuǎn)過(guò)小，這樣會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)誤差        ，解決這一問(wèn)題的措施是        。【答案】（1）電流表示數(shù)（2）A、B（3）導(dǎo)體的材料（4）偏大；電流表改用小量程【解析】（1）在M、N之間分別接上不同的導(dǎo)體，則通過(guò)觀察電流表示數(shù)來(lái)比較導(dǎo)體電阻的大?。?/span>2）要驗(yàn)證猜想①：導(dǎo)體的電阻可能與導(dǎo)體的長(zhǎng)度有關(guān)，應(yīng)控制導(dǎo)體材料與橫截面積相同而長(zhǎng)度不同，由表中數(shù)據(jù)可知，應(yīng)選編號(hào)為A、B的兩根電阻絲進(jìn)行實(shí)驗(yàn)．（3）由表中數(shù)據(jù)可知，A、D兩電阻絲的長(zhǎng)度、橫截面積相同而材料不同，將A和D兩電阻絲接入圖1電路中M、N兩點(diǎn)間，電流表示數(shù)不相同，由此可知：當(dāng)長(zhǎng)度和橫截面積相同時(shí)，導(dǎo)體電阻跟材料有關(guān)．（4）由圖2所示電流表可知，電流表指針偏轉(zhuǎn)過(guò)小，電流表讀數(shù)誤差較大，會(huì)增大實(shí)驗(yàn)誤差，使實(shí)驗(yàn)誤差偏大；電流表?yè)Q用小量程，可以減小讀數(shù)誤差，從而減小實(shí)驗(yàn)誤差．4．某同學(xué)為了探究“電阻絲的電阻R與長(zhǎng)度L、橫截面積S和材料的關(guān)系”，進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)操作：（1）如圖甲所示，是取一段新的電阻絲緊密繞制，用刻度尺測(cè)量出它的直徑示意圖。由此可知，電阻絲的直徑為　   　mm，從而計(jì)算出電阻絲的橫截面積S。（2）在實(shí)驗(yàn)中，先保持電阻絲的橫截面積S和材料不變，探究電阻絲的電阻R與長(zhǎng)度L的關(guān)系，這種方法叫做　   　法（選填“等效替代”或“控制變量”）。（3）為了探究電阻絲的電阻R與L的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)室備有以下實(shí)驗(yàn)器材：A．電源E（電壓U＝1.5V）B．電流表A1（量程0～100mA）C．電流表A2（量程0～0.6A）D．電阻箱R0（阻值0～999.9Ω）E．待測(cè)電阻絲R（阻值約為10Ω）F．開(kāi)關(guān)一個(gè)，導(dǎo)線若干，則：（4）為了提高實(shí)驗(yàn)的精確程度，在實(shí)驗(yàn)中電流表應(yīng)選的是　   　（選填器材前的字母代號(hào)）。（5）把電阻絲拉直后，將其兩端固定在刻度尺的接線柱a和b上，在電阻絲上夾一個(gè)金屬夾P，移動(dòng)金屬夾P的位置，就可改變接入電路中金屬絲的長(zhǎng)度L，把這些實(shí)驗(yàn)器材按乙圖的電路連接起來(lái)。閉合開(kāi)關(guān)S前，電阻箱的阻值應(yīng)調(diào)整到　   　Ω。（6）閉合開(kāi)關(guān)S后，將電阻箱調(diào)到適當(dāng)位置不動(dòng)，多次改變金屬夾P的位置，得到多組I、L的數(shù)據(jù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)在坐標(biāo)平面內(nèi)，以電流的倒數(shù)1/I為縱坐標(biāo)、電阻絲的長(zhǎng)度L為橫坐標(biāo)，得出圖象如圖丙所示，根據(jù)實(shí)驗(yàn)圖象說(shuō)明，橫截面積S相同的同種材料的電阻絲，接入長(zhǎng)度L越長(zhǎng)，電流I越小，電阻R　   　。（7）該電阻絲1cm長(zhǎng)度的阻值為　   　Ω。【答案】（1）0.8；（2）控制變量；（4）B；（5）999.9；（6）越大；（7）0.3。【解析】（1）根據(jù)刻度尺讀出電阻絲的長(zhǎng)度為：l＝1.60cm，則電阻絲的直徑為：d＝＝＝0.08cm＝0.8mm；（2）電阻的大小在不考慮溫度的前提下，有三個(gè)決定因素：材料、長(zhǎng)度、橫截面積。因此要研究電阻的大小與每一個(gè)因素的具體關(guān)系時(shí)，要用到控制變量法，在實(shí)驗(yàn)中，先保持電阻絲的橫截面積S和材料不變，探究電阻絲的電阻R與長(zhǎng)度L的關(guān)系，這種方法叫做控制變量法；（4）電路中的最大電流I＝＝＝0.15A＝150mA，所以為了提高實(shí)驗(yàn)的精確程度，電流表選最量程為100mA的電流表A1（或序號(hào)B）；（5）閉合開(kāi)關(guān)S前，電阻箱起到保護(hù)電路的作用，電阻箱的阻值應(yīng)調(diào)整到阻值最大處，由電阻箱R0（阻值0～999.9Ω）可知，電阻箱的阻值應(yīng)調(diào)整到999.9Ω。（6）在圖象上可以看到，電阻的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，電流的倒數(shù)越大，電流越小，在電壓一定時(shí)，電阻越大。（7）由圖乙知，電阻絲和電阻箱是串聯(lián)的，由圖丙知，當(dāng)電阻絲接入0cm，就是電阻絲的電阻為零時(shí)，電源電壓為1.5V，電流倒數(shù)為10A﹣1，所以電流為I'＝A＝0.1A，則電阻箱的電阻為：R'＝＝＝15Ω，當(dāng)電阻絲接入10cm，就是電阻絲的電阻為R時(shí)，電源電壓為1.5V，電流倒數(shù)為12A﹣1，所以電流為I''＝A，則電路總電阻為：R總＝＝＝18Ω，所以10cm電阻絲的電阻為：R＝R總﹣R'＝18Ω﹣15Ω＝3Ω，在橫截面積和材料一定時(shí)，導(dǎo)體的電阻跟導(dǎo)體的長(zhǎng)度成正比，所以1cm的電阻絲電阻為R1＝＝＝0.3Ω。5.在如圖所示的電路中，AB和CD均為鎳鉻合金線。閉合開(kāi)關(guān)后，通過(guò)觀察電流表的示數(shù)，可以比較出合金線電阻的大小，這種研究方法叫轉(zhuǎn)換法。請(qǐng)你說(shuō)出另外一個(gè)初中階段你學(xué)習(xí)過(guò)應(yīng)用轉(zhuǎn)換法研究問(wèn)題的實(shí)例：                      。該電路中若將CD鎳鉻合金線換成粗細(xì)與AB鎳鉻合金線粗細(xì)相同，讓CD長(zhǎng)度變?yōu)?/span>AB的一半，則用這個(gè)電路就能研究導(dǎo)體電阻大小與導(dǎo)體的　        的關(guān)系。【答案】通過(guò)物體陷入沙子的深度，來(lái)反映沙子受到的壓強(qiáng)的大小。長(zhǎng)度。 【解析】本題考查轉(zhuǎn)換法和影響導(dǎo)體電阻大小的因素兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)直接感知的現(xiàn)象，推測(cè)無(wú)法直接感知的事物，這是物理學(xué)常用的方法。讓學(xué)生知道在研究合金線電阻的大小問(wèn)題時(shí)，通過(guò)觀察電流表的示數(shù)的變化，可以比較出合金線電阻的大小，也就是通過(guò)一個(gè)能夠觀察出數(shù)據(jù)的物理量大小來(lái)反映出要研究的物理量的大小，這種研究方法叫轉(zhuǎn)換法。初中階段學(xué)過(guò)應(yīng)用這種方法的實(shí)例很多，比如通過(guò)物體陷入沙子的深度，來(lái)反映沙子受到的壓強(qiáng)的大?。?/span>奧斯特實(shí)驗(yàn)可證明電流周圍有磁場(chǎng)；擴(kuò)散現(xiàn)象可證明分子做無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。該電路若給出AB和CD兩根鎳鉻合金線，粗細(xì)相同，長(zhǎng)度不同。每一根合金線都可以分別接入電路中，分別測(cè)量出流經(jīng)其電流的大小，也就知道其電阻的大小。這時(shí)用這個(gè)電路就可以研究導(dǎo)體電阻大小與導(dǎo)體長(zhǎng)度的關(guān)系。6.某物理興趣小組學(xué)習(xí)了導(dǎo)體電阻的知識(shí)后，對(duì)食鹽水溶液的導(dǎo)電性能與什么因素有關(guān)提出了以下猜想：①食鹽水溶液的導(dǎo)電性能與溶液的濃度有關(guān)②食鹽水溶液的導(dǎo)電性能與溶液的質(zhì)量有關(guān)③食鹽水溶液的導(dǎo)電性能與溶液中兩點(diǎn)間的距離有關(guān)為了驗(yàn)證猜想，他們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的裝置，將電路中的a 、b 兩金屬片分別插入如圖甲、乙、丙、丁溶液中所示的位置（金屬片a 、b 每次插入溶液中的深度都相同）進(jìn)行探究：       （1）在連接電路時(shí)，開(kāi)關(guān)必須      ，本實(shí)驗(yàn)電路中接入電阻R0的目的是            ；（2）食鹽水溶液的導(dǎo)電性能可以由       來(lái)判斷；（3）將金屬片a 、b 分別插入如圖 甲、乙所示位置可探究猜想     （選填序號(hào)），為了探究猜想② 應(yīng)將金屬片a 、b 分別插入       兩圖所示位置；（4）將金屬片a 、b 分別插入如圖乙、丁所示位置，若I乙 ≠ I丁，由此可得到的結(jié)論是：        。【答案】（1）斷開(kāi)  保護(hù)電路；（2）電流表示數(shù)的大?。ɑ螂娏鞔笮。唬?/span>3）①  甲、丙；（4）食鹽水溶液的導(dǎo)電性能與溶液中兩點(diǎn)間的距離有關(guān).【解析】（1）在連接電路時(shí)，開(kāi)關(guān)必須斷開(kāi)，這樣能保證電路的安全，本實(shí)驗(yàn)電路中接入電阻R0的目的是保護(hù)電路，防止電路中電流過(guò)大燒壞電流表或者導(dǎo)線；（2）導(dǎo)電性能越好，電路中的電流就越大，所以可以用電流表示數(shù)的大小來(lái)判斷食鹽水溶液的導(dǎo)電性能；（3）由圖可知甲、乙兩個(gè)溶液密度明顯不一樣，所以將金屬片a、b分別插入甲、乙所示位置時(shí)，可以探究猜想：①食鹽水溶液的導(dǎo)電性能與溶液的濃度有關(guān)；為了探究猜想②，需保證兩溶液的濃度一樣，溶液中兩點(diǎn)間的距離一樣，只有溶液的質(zhì)量不一樣，所以應(yīng)將金屬片a、b分別插入甲、丙兩圖所示位置；（4）圖乙、丁只有溶液中兩點(diǎn)間的距離不一樣，所以得到的結(jié)論是食鹽水溶液的導(dǎo)電性能與溶液中兩點(diǎn)間的距離有關(guān). 7.（2020湖北襄陽(yáng)）某物理興趣小組在“探究導(dǎo)體電阻大小與導(dǎo)體長(zhǎng)度的關(guān)系”實(shí)驗(yàn)中，他們?cè)谌鐖D所示電路中的A、B兩點(diǎn)間接入待研究的電阻絲，電源電壓恒定。忽略電阻絲電阻隨溫度變化的影響，待用電阻絲的規(guī)格如表格所示。序號(hào)材料長(zhǎng)度橫截面積1碳鋼合金絲LS2鎳鉻合金絲2LS3鎳鉻合金絲L2S4鎳鉻合金絲2L2S (1)他們應(yīng)選擇序號(hào)為______的兩根電阻絲來(lái)研究；(2)從表中所給電阻絲的規(guī)格看，還可以用這些電阻絲來(lái)做另一個(gè)探究實(shí)驗(yàn)，即探究導(dǎo)體電阻大小與導(dǎo)體______的關(guān)系，這次你應(yīng)該選擇序號(hào)為______的兩根電阻絲來(lái)做實(shí)驗(yàn)。【答案】 (1)3、4  (2)橫截面積   2、4【解析】(1)要探究導(dǎo)體電阻大小與導(dǎo)體長(zhǎng)度的關(guān)系，根據(jù)控制變量法的思路，應(yīng)該選擇材料和橫截面積都相同的兩根電阻絲。從表格中可知，序號(hào)3和序號(hào)4的材料、橫截面積都相同，所以應(yīng)選擇序號(hào)3與序號(hào)4的兩根電阻絲來(lái)研究。(2)從表中所給電阻絲的規(guī)格看，序號(hào)2、3、4的材料都相同，長(zhǎng)度和橫截面積不完全相同，而序號(hào)2和4的材料、長(zhǎng)度都相同，只有橫截面積不同，故可以用2、4探究電阻與橫截面積的關(guān)系。  

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