1．直角三角形的性質(zhì)：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，則(1)兩個(gè)銳角的關(guān)系：∠A＋∠B＝_____°.(2)三邊的數(shù)量關(guān)系(勾股定理)：________________．(3)邊與角的關(guān)系：sin A＝ ，cs A＝________， tanA________．(4)若CD是斜邊的中線，則CD與AB的數(shù)量關(guān)系是 __________． (5)若∠B＝30°，則AC與AB的數(shù)量關(guān)系是 __________．
AC2+BC2=AB2
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高， S△ABC＝ AC×________＝ AB×________．
2．直角三角形的判定：(1)定義法：當(dāng)∠ACB＝______°時(shí)，△ABC是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理：當(dāng)△ABC的三邊滿足____________ 時(shí)， △ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.(3)CD是AB邊上的中線，且__________________時(shí)，△ABC是直 角三角形，且斜邊是________．
【例1】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，求OE的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)1】勾股定理，等面積法
解：∵菱形的對(duì)角線互相垂直平分， ∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°. ∴BC＝ . ∵S△OBC＝ OB·OC＝ BC·OE. ∴OB·OC＝BC·OE，即3×4＝5OE. ∴OE＝ .
【變式1】如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D, AE⊥BC于點(diǎn)E，BC＝6, tan B＝ ，AB＝AC.求AB, AE，CD的長(zhǎng)．
解：∵AB=AC ，AE⊥BC，∴BE=CE=3.∵tan B= ，∴在Rt△ABE中， ，∴AE=4 .∴AB= .∵CD⊥AB，∴S△ABC＝ AB·CD.又∵S△ABC＝ BC·AE，∴AB·CD＝BC·AE，即5×CD ＝6×4. ∴CD＝ .
【考點(diǎn)2】直角三角形邊與角的關(guān)系
【例2】如圖，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6， AC＝ ，∠A＝30°.(1)求BD和AD的長(zhǎng)；(2)求tan C的值．
解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°. 在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°， ∴BD= AB=3. ∴AD= BD= . （2）CD=AC－AD= ， 在Rt△ADC中，tan∠C= .
【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，點(diǎn)E為線段AB上的一點(diǎn)，且AE∶EB ＝4∶1，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接FB，求tan∠CFB.
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 設(shè)BC=x，則AB=2x，AC= x. 又∵EF⊥AC，∴EF∥BC. ∴ AF∶FC=AE∶EB=4∶1, CF= AC= . ∴在Rt△CFB中, ∴tan∠CFB= .
【考點(diǎn)3】直角三角形的性質(zhì)
【例3】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝12 cm，DC＝5 cm，求sin A的值．
解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E， ∵BD是∠ABC的平分線，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=CD=5 cm， ∵AD=12－5=7 cm， ∴SinA= .
【變式3】如圖，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于點(diǎn)D，PC＝4，求PD的長(zhǎng)．
解：過點(diǎn)P作PE⊥OB于E， ∵∠AOP=∠BOP，PE⊥OB，PD⊥OA， ∴PE=PD. ∠BOP=∠AOP=15°， ∴∠AOB=30°. ∵PC∥OA，∴∠BCP=∠AOB=30°. ∴在Rt△PCE中，PE= PC= ×4=2. ∴PD=PE=2.
2．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝5，AO＝4，求BD的長(zhǎng)．
解：∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O， ∴AC⊥BD，DO=BO， ∵AB=5，AO=4，∴BO=3. ∴BD=2BO=2×3=6.
3．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是⊙O的切線，PO＝13， PA＝12，求sin P的值．
解：連接OA, ∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°． 又∵PO=13，PA=12， ∴根據(jù)勾股定理，得OA= . ∴sinP= .
4．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于 點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點(diǎn)，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，求EF的長(zhǎng)．
解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD= BD， ∵AB=6 cm，BC=8 cm， ∴由勾股定理,得BD=AC= （cm）， ∴DO=5 cm， ∵點(diǎn)E,F分別是AO,AD的中點(diǎn)， ∴EF=OD=2.5 cm
解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA= ， ∴∠E=30°，BE=tan60°·6= . ∵∠CDE=90°，CD=4，sinE= ，∠E=30°， ∴CE=4÷ =8. ∴BC=BE－CE= －8. （2）∵∠ABE=90°，AB=6，sinA= ， ∴設(shè)BE=4x，則AE=5x，AB=3x. ∴3x=6，得x=2. ∴BE=8，AE=10. ∴tanE= . 解得DE= . ∴AD=AE－DE=10－ .
5．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝ 90°，AB＝6, CD＝4, BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.(1)若∠A＝60°，求BC的長(zhǎng)；(2)若sin A＝ ，求AD的長(zhǎng)．(注意：本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào))

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