2023屆上海市嘉定區(qū)封浜高級中學高三上學期期中數(shù)學試題 一、填空題1．已知集合，則______．【答案】【分析】直接利用交集運算得答案．【詳解】故答案為【點睛】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．2．不等式的解集是________．【答案】【分析】把分式不等式等價轉化為一元二次不等式，由此求得原不等式的解集．【詳解】解：不等式等價于，解得，故答案為：．3．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)______【答案】1【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結合指數(shù)運算求解.【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，解得：，故答案為：1.4．已知角的終邊上一點，則____.【答案】【解析】根據(jù)角的終邊上一點，利用三角函數(shù)的定義得到，再利用誘導公式求解.【詳解】因為角的終邊上一點，所以，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義和誘導公式，屬于基礎題.5．函數(shù)在點處的切線方程為_____．【答案】【分析】根據(jù)導數(shù)，先求得切線的斜率，再由點斜式即可求得切線方程.【詳解】函數(shù)則由導數(shù)幾何意義可知根據(jù)點斜式可得直線方程為 化簡可得故答案為：【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義，過曲線上一點的切線方程求法，屬于基礎題.6．已知是偶函數(shù)，且時，，若，則的值是______．【答案】6【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性解析式分析可得，解可得，即可得函數(shù)在的解析式，據(jù)此結合函數(shù)的奇偶性分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，是偶函數(shù)，且時，，，則，則，則有時，，則，又由是偶函數(shù)，則；故答案為:6.7．已知，且，則______.【答案】【分析】兩邊平方，結合同角三角函數(shù)平方關系及二倍角公式得到，結合，求出.【詳解】，兩邊平方得：，即，所以，因為，所以，所以，所以.故答案為：8．已知函數(shù)在處取得極值0，則______．【答案】11【分析】求出導函數(shù)，然后由極值點和極值求出參數(shù)值即可得，注意檢驗符合極值點的定義．【詳解】，則，即，解得或當時，，不符合題意，舍去；當時，，令，得或；令，得．所以在，上單調遞增，在上單調遞減，符合題意，則．故答案為：11．9．已知正實數(shù)a、b滿足，則的最小值是_____________．【答案】【分析】把轉化為，展開后利用基本不等式求得最值【詳解】已知，，且，則，當且僅當，即，時，取得最小值．故答案為：10．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，則________________．【答案】【分析】由正弦定理與兩角和的正弦公式化簡求解【詳解】，由正弦定理化簡得，而，而，解得，而，則，故答案為：11．已知函數(shù)的定義域為，它的導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極值點有______個.【答案】2【解析】根據(jù)導函數(shù)的圖像求出函數(shù)的單調區(qū)間，由極值點的定義即可求解.【詳解】由導函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為，所以為極大值點，為極小值點，所以函數(shù)的極值點有2個.故答案為：212．若關于的方程有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________【答案】【分析】根據(jù)題意，將問題轉化為有實數(shù)解，進而結合二次函數(shù)求解即可.【詳解】解：因為關于的方程有實數(shù)解，所以方程有實數(shù)解，因為當且僅當時等號成立，所以，方程有實數(shù)解，則所以，實數(shù)的取值范圍是.故答案為： 二、多選題13．下列選項中是的必要不充分條件的有（    ）A．：，：B．：，：C．：兩個三角形全等，：兩個三角形面積相等D．：，：【答案】AD【分析】根據(jù)充分與必要條件的概念即可求解．【詳解】對于A：，而當時，不一定有，是的必要不充分條件，故A正確；對于B：，，是的充要條件，故B錯誤；對于C：兩個三角形全等兩個三角形面積相等，但兩個三角形面積相等不一定推出兩個三角形全等，是的充分不必要條件，故C錯誤；對于D：當時，則，反之，當時，不一定成立，是的必要不充分條件，故D正確．故選：AD． 三、單選題14．下列求導運算正確的是（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導函數(shù)四則運算法則和簡單復合函數(shù)求導法則計算出結果.【詳解】對于A，，故A不正確；對于B，，B錯誤.對于C，，C正確對于D，，D錯誤.故選：C15．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，然后將所得函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則的單調遞增區(qū)間是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用三角恒等變換化簡，得到，再根據(jù)平移和伸縮變換得到的解析式，利用整體法求解出單調遞增區(qū)間.【詳解】，則，令，解得：，故選：A16．已知的內角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的命題是（    ）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形【答案】A【分析】由正弦定理化邊為角變形判斷AB，舉特例判斷C，由余弦定理及銳角三角形的定義判斷D．【詳解】由正弦定理，若，則，為三角形內角，所以，三角形是等邊三角形，A正確；若，由正弦定理得，即，，則或，即或，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯；例如，，，滿足，但此時不是等腰三角形，C錯；時，由余弦定理可得，即為銳角，但是否都是銳角，不能保證，因此該三角形不一定是銳角三角形，D錯．故選：A．【點睛】易錯點睛：本題考查三角形形狀的判斷，解題時利用正弦定理、余弦定理進行邊角轉換后再進行變形判斷是常用方法，解題時注意三角函數(shù)性質的正確應用，如選項B，在由得結論時不能直接得出，否則會出現(xiàn)漏解，在判斷三角形形狀時，銳角三角形需要三個內角都是銳角，直角三角形只有一個角是直角，鈍角三角形只有一個角是鈍角，它們判斷方法有一些區(qū)別，這些是易錯點． 四、解答題17．已知的內角，，的對邊分別為，，，，，.(1)求角；(2)求的面積.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)余弦定理進行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理，結合（1）的結論、三角形面積公式進行求解即可.【詳解】（1）因為，所以由余弦定理可知：；（2）由正弦定理可知：，，，.18．已知函數(shù)．(1)求的單調遞增區(qū)間；(2)將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間內的值域．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質即得；（2）根據(jù)圖象變換規(guī)律可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質即得.【詳解】（1）因為，令，解得，則的單調遞增區(qū)間是；（2）由（1）可得．因為，所以，所以，所以，即在區(qū)間內的值域為．19．已知．(1)指出函數(shù)的定義域，并求，，，的值；(2)觀察（1）中的函數(shù)值，請你猜想函數(shù)的一個性質，并證明你的猜想；(3)解不等式：．【答案】(1)定義域為；，，，(2)答案見解析(3)． 【分析】（1）由真數(shù)大于，可得定義域；代入計算可得函數(shù)值；（2）可得性質一、函數(shù)為奇函數(shù)，運用奇函數(shù)的定義即可得到；性質二、函數(shù)在定義域上單調遞減，運用單調性的定義，即可得證；（3）解法一、運用單調性，可得，解不等式組即可得到解集；解法二、求出，由對數(shù)的運算性質，解不等式即可得到所求.【詳解】（1）由，，可得，可得函數(shù)的定義域為；，，，．（2）性質一：由于，，猜想函數(shù)為奇函數(shù)，證明：設任意，，所以函數(shù)為奇函數(shù)性質二：由于，猜想函數(shù)在定義域上單調遞減，證明：設任意，，且，則，因為，所以，，則，，所以，即，函數(shù)在定義域上單調遞減．（3）解法一：由Ⅰ可知，，則，又為奇函數(shù)，則，又函數(shù)在定義域上單調遞減，故原不等式可化為：，解得，即原不等式的解集為．解法二：因為，所以，所以，原不等式可化為：，即，所以，解得，又，所以，即原不等式的解集為．20．某醫(yī)院需要建造隔離病房和藥物倉庫，已知建造隔離病房的所有費用（萬元）和病房與藥物倉庫的離（千米）的關系為：．若距離為千米時，隔離病房建造費用為萬元，為了方便，隔離病房與藥物倉庫之間還需修建一條道路，已知購置修路設備需萬元，鋪設路面每千米成本為萬元，設為建造病房與修路費用之和．(1)求的表達式：(2)當隔離病房與藥物倉庫距離多遠時，可使得總費用最小?并求出最小值．【答案】(1)(2)當隔離病房與藥物倉庫距離為千米時，可使得總費用最小為萬元. 【分析】（1）由已知得當時，，代入可得，則；（2）利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）由已知得當時，，代入可得，解得，所以，所以總費用；（2）由（1）得，所以（萬元），當且僅當，即時，等號成立，所以當隔離病房與藥物倉庫距離為千米時，可使得總費用最小為萬元.21．已知函數(shù).(1)求處的切線方程；(2)求證：有且僅有一個極值點；(3)若存在實數(shù)a使對任意的恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3). 【詳解】（1），而，故，所以在處的切線方程為.（2），令，則，當時，，當時，，故即在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而時，恒成立，當時，，故在僅有一個變號零點，故有且僅有一個極值點.（3）令，由題設可得：函數(shù)的最大值不大于0，，根據(jù)（2）的結論可知有唯一極值點，且當時，，時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，此時，所以，故，由可得.又由的存在性可得，令， 當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，綜上所述.【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下函數(shù)零點問題，注意根據(jù)導數(shù)符號討論單調性，再根據(jù)零點存在定理判斷零點的個數(shù)，而不等式恒成立問題，往往轉化為函數(shù)的最值來處理. 

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