參照秘密級(jí)管理★啟用前                                            試卷類型：A2020級(jí)高三上學(xué)期期末校際聯(lián)合考試             數(shù)學(xué)試題                       2023.1考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則A． B． C． D．2．設(shè)為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則A．    B．  C．     D．3．設(shè)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是A．若，，則B．若，，則C．若，則D．若，，則5．若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則點(diǎn) 的坐標(biāo)為A．        B．     C．        D．6．我們要檢測(cè)視力時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)視力表中有兩列數(shù)據(jù)，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，如圖所示（已隱去數(shù)據(jù)），其部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：小數(shù)記錄x0.10.120.150.2…？…1.01.21.52.0五分記錄y4.04.14.24.3…4.7…5.05.15.25.3現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①，②，表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，表示五分記錄數(shù)據(jù)，請(qǐng)選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學(xué)檢測(cè)視力時(shí)，醫(yī)生告訴他的視力為，則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（附：） A．         B．        C．           D．  7．安排名中學(xué)生參與社區(qū)志愿服務(wù)活動(dòng)，有項(xiàng)工作可以參與，每人參與項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至多安排名中學(xué)生，則不同的安排方式有A．種     B．種     C．種        D．種8．已知分別為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，且，則該雙曲線的漸近線方程為 A． B．     C．      D．  二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．對(duì)于拋物線，下列描述正確的是A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 D．準(zhǔn)線方程為10．已知數(shù)列滿足，，則A．                         B．是遞增數(shù)列C．是遞增數(shù)列             D．11．年卡塔爾世界杯會(huì)徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線．在平面直角坐標(biāo)系 中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐 線．已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，下列說法中正確的有A．雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱                        B．C．雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)       D．的最大值為12．已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為，其內(nèi)有個(gè)小球，球與三棱錐的四個(gè)面都相切，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切(，且)，球的表面積為，體積為，則A．                         B．C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列                D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列  三、填空題：全科免費(fèi)下載公眾號(hào)《高中僧課堂》本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則的值為______．14．已知向量夾角為，且，，則______．15．在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為和，對(duì)應(yīng)的圓心角為，則圖中異面直線與所成角的余弦值為______．      16．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)，關(guān)于的方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且存在唯一的，使得．則公比的取值范圍為______． 四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求的最小值及取得最小值時(shí)的取值集合. 18．（12分）如圖，長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，將矩形沿折痕翻折，使得兩點(diǎn)均落于邊上的點(diǎn)，若.                  （1）當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)方形寬的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)方形寬的最大值.19．（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，，，是側(cè)面上一點(diǎn)．（1）過點(diǎn)作一個(gè)截面，使得與都與平行．作出與四棱錐表面的交線，并證明；（2）設(shè)，其中．若與平面所成角的正弦值為，求的值．     20．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為，且. （1）若，求的值；（2）若,，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其前項(xiàng)和.21．（12分）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓圓心在原點(diǎn)，半徑為，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足,試說明直線與圓的位置關(guān)系，并證明.   22．（12分）已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)．（1）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，判斷關(guān)于的方程在內(nèi)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，并說明理由．              2020級(jí)高三上學(xué)期期末校際聯(lián)合考試         數(shù)學(xué)試題答案               2023.1一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1-4   AABC    5-8  DBDA8．【答案】A【解析】設(shè)為雙曲線的下焦點(diǎn)，為雙曲線的上焦點(diǎn)，繪出雙曲線的圖像， 如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn),因?yàn)?/span>，所以，，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，即，且，所以，，故，，因?yàn)?/span>，所以，，將代入雙曲線中，即，化簡(jiǎn)得，， 所以，即，，則該雙曲線的漸近線方程為 ，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.AC   10.ABD  11.ABD  12. AD 10.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以是遞增數(shù)列；C選項(xiàng)；因?yàn)?/span> ，所以，易知是遞增數(shù)列；又，令，如圖所示：當(dāng)時(shí)，遞增，即遞增對(duì)于D項(xiàng)：又由同向不等式的加法可得，成立，當(dāng)時(shí)，不等式成立，故D正確.11．【答案】【解析】∴雙紐線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)．,，∴，∴，對(duì)．，則只有一個(gè)點(diǎn)滿足條件，錯(cuò)．由余弦定理知∴∴，對(duì)，選．另解：∴，∴．12．【答案】【解析】如圖所示，是三棱錐的高，是三角形的外心，設(shè)，則，，是三棱錐的外接球和內(nèi)切球球心，在上，設(shè)外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，則由得，，解得，所以,則,所以，，過的中點(diǎn)作與底面平行的平面，與三條棱,,交于點(diǎn),,,則平面與球相切，由題意知球是三棱錐的內(nèi)切球，又三棱錐的棱長(zhǎng)是三棱錐棱長(zhǎng)的，所以其內(nèi)切球半徑，同理，球的半徑為，則是公比為的等比數(shù)列， 所以，，，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，  數(shù)列是公比為等比數(shù)列。三、填空題：全科免費(fèi)下載公眾號(hào)《高中僧課堂》本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．1    14.     15.     16.  15．【解析】方法一：延長(zhǎng)交于，交于，連接，以矩形為側(cè)面構(gòu)造正四棱柱，則，所以為異面直線與所成角在中，，所以所以異面直線與所成角的余弦值為.方法二：設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接以為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則則,,又異面直線所成角的范圍為,故異面直線與所成角的余弦值為．（建議用幾何法解決）16．【解析】依題意，等比數(shù)列，首項(xiàng)，所以，由于一元二次方程的兩根為，所以，且，由，得．所以，可得數(shù)列的公比，故為遞減數(shù)列因?yàn)?/span>存在唯一的，使得，顯然不適合，若，則，因?yàn)?/span>，故，此時(shí)存在至少兩項(xiàng)使得，不合題意．故，即，且，故且，解得則公比的取值范圍為 四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．解:（1）因?yàn)?/span>，………………………3分由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.  ………………………5分（2）將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，所以，………………………7分故當(dāng)，即時(shí)，，即取得最小值，所以的最小值為，此時(shí)的取值集合為.………10分解：（1）當(dāng)時(shí)，……1分，設(shè)，①，②       ………………………4分.……6分（2）在中，①②            ……………9分. ……………12分 19．解:（1）過點(diǎn)作的平行線，分別交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，過作的平行線，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，所以平面就是截面.                 ……………3分證明：因?yàn)?/span>，，,故，即； 同理可證.…………6分（2）以點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，即                   ……………8分，，設(shè)平面的法向量為，取，則即，                                  ……………10分設(shè)PB與平面所成角為，整理得解得（舍），                            ……………12分20．解：（1）由，令，得，,   ……………2分因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，所以，又，所以，；…………………………5分（2）由得：，……，，相乘得：，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)：，所以，即，即，因?yàn)?/span>，所以，…………………………8分所以，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，，所以，所以，，                   ……………10分所以，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，。                              …………………………12分21.解：（1）設(shè)，，.由得得，即得,又因?yàn)?/span>在橢圓上， 得，得，即橢圓的離心率為.      ……………3分 又，所以橢圓       …………………………5分（2）因?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,,，所以，設(shè)，.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.由直線和橢圓方程聯(lián)立得，即，所以.         ……………7分因?yàn)?/span>，，所以             ……………9分所以，，所以，，又因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，依題意得，.由得，所以，結(jié)合得，所以直線到原點(diǎn)的距離都是，所以直線與圓也相切.同理可得，直線與圓也相切.所以直線與圓相切.                     …………………………12分22．解:（1），即，令，                       ……………1分當(dāng)時(shí)，令得，得或，所以在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，                        ……………3分,故，，即；綜上.    ……………5分（2）       ……………6分由得，，令,令，在上單調(diào)遞減，注意到存在使，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減,且，                  ……………9分在和上各有一個(gè)零點(diǎn)且當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．在上有唯一的零點(diǎn)且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．注意到在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，共兩個(gè)零點(diǎn)．故方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.    ……………12分   

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