?2022-2023學年山東省菏澤市成武縣育青中學九年級（上）期末數(shù)學試卷
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．（3分）如圖，點D是△ABC的邊BC上任一點，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．若△ABD的面積為a，則△ACD的面積為（　?。?br />
A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)
2．（3分）如果Rt△ABC的各邊長都擴大為原來的3倍，那么銳角A的正弦、余弦值是（　　）
A．都擴大為原來的3倍 B．都縮小為原來的
C．沒有變化 D．不能確定
3．（3分）如圖，點A、B、C、D、E都是⊙O上的點，，∠D＝128°，則∠B的度數(shù)為（　?。?br />
A．128° B．126° C．118° D．116°
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，則方程可化為（　?。?br /> A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+8）2＝23 D．（x﹣8）2＝9
5．（3分）將拋物線y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為（　?。?br /> A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣5
C．y＝2（x﹣4）2﹣1 D．y＝2（x﹣4）2﹣5
6．（3分）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，則tanB＝（　?。?br />
A．2 B．2 C． D．
7．（3分）如圖，在長為30m，寬20m的矩形田地中開辟兩條寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為551m2，求道路的寬度．設(shè)道路的寬度為xm，則可列方程（　　）

A．（20+x）（30+x）＝551 B．（20﹣x）（30﹣x）＝551
C．20×30﹣20x﹣30x＝551 D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551
8．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
2
4
5
…
y
…
﹣7
﹣2
1
1
﹣7
﹣14
…
下列說法正確的是（　?。?br /> A．拋物線的開口向上
B．當x＞1時，y隨x的增大而增大
C．二次函數(shù)的最大值是2
D．拋物線與x軸只有一個交點
二．填空題（每小題3分，共18分）
9．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有兩個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是 　 ?。?br /> 10．（3分）如圖，以點O為位似中心，把△AOB縮小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比為，已知點A（3，6），則點C的坐標為 　 ?。?br />
11．（3分）如圖，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸為直線x＝1，與y軸交于點C，與x軸交于點A、點B（﹣1，0），則下列結(jié)論：①abc＞0；②二次函數(shù)的最大值為a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤當y＞0時，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正確的結(jié)論有 　 ?。?br />
12．（3分）如圖，正方形ABCD中，扇形ABC與扇形BCD的弧交于點E，AB＝2cm，則圖中陰影部分的面積為 　 　cm2．（不求近似值）

13．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣2，5），則該拋物線上縱坐標為5的另一個點D的坐標是　 　．
14．（3分）車從甲地駛往乙地，行完全程所需的時間t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間的反比例函數(shù)關(guān)系如圖所示．若列車要在2.5h內(nèi)到達，則速度至少需要提高到 　 　km/h．

三、解答題（共78分）
15．（4分）計算：﹣12022|2|．
16．（6分）如圖，數(shù)學興趣小組成員在熱氣球A上看到正面為橫跨河流兩岸的大橋BC，并測得B，C兩點的角分別為53°和45°，已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為75米，又知此時地面氣溫為20℃，海拔每升高100米，氣溫會下降約0.6℃，試求此時熱氣球（體積忽略不計）附近的溫度．（參考數(shù)據(jù)：，，）

17．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求證：BCAB；
（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB＝8，求MN?MC的值．

18．（10分）由于新冠疫情的影響，口罩需求量急劇上升，經(jīng)過連續(xù)兩次價格的上調(diào)，口罩的價格由每包10元漲到了每包16.9元．
（1）求出這兩次價格上調(diào)的平均增長率；
（2）在有關(guān)部門大力調(diào)控下，口罩價格還是降到了每包10元，而且調(diào)查發(fā)現(xiàn)，定價為每包10元時，一天可以賣出30包，每降價1元，可以多賣出5包．當銷售額為315元時，且讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，應該降價多少元？
19．（6分）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，以AD為直徑作⊙O，分別交AB、AC于點E、F，連接EF．判斷EF和BC的位置關(guān)系，并證明．

20．（12分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2經(jīng)過（2，2），且頂點在y軸上．
（1）求拋物線解析式；
（2）直線y＝kx+c與拋物線交于A，B兩點．
①點P在拋物線上，當k＝0，且△ABP為等腰直角三角形時，求c的值；
②設(shè)直線y＝kx+c交x軸于點M（m，0），線段AB的垂直平分線交y軸于點N，當c＝1，m＞6時，求點N縱坐標n的取值范圍．
21．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝x+m的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，且與x軸交于點C，點A的坐標為（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求△AOB的面積；
（3）結(jié)合圖象直接寫出不等式組的解集．

22．（6分）有2個信封，每個信封內(nèi)各裝有四張卡片，其中一個信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有1、2、3、4四個數(shù)，另一個信封內(nèi)的四張卡片分別寫有5、6、7、8四個數(shù)，甲、乙兩人商定了一個游戲，規(guī)則是：從這兩個信封中各隨機抽取一張卡片，然后把卡片上的兩個數(shù)相乘，如果得到的積大于20，則甲獲勝，否則乙獲勝．
（1）請你通過列表（或畫樹狀圖）計算甲獲勝的概率．
（2）你認為這個游戲公平嗎？為什么？
23．（14分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c（b、c為常數(shù)），若此拋物線與某直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式和頂點D的坐標；
（2）若點P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）點H（n，t）為拋物線上的一個動點，H關(guān)于y軸的對稱點為H1，當點H1落在第二象限內(nèi)，H1A2取得最小值時，求n的值．


2022-2023學年山東省菏澤市成武縣育青中學九年級（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．（3分）如圖，點D是△ABC的邊BC上任一點，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．若△ABD的面積為a，則△ACD的面積為（　　）

A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)
【分析】首先證明△CAD∽△CBA，得，從而，即可得出答案．
【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴，
∴，
∵△ABD的面積為a，
∴S△CADa，
故選：C．
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）如果Rt△ABC的各邊長都擴大為原來的3倍，那么銳角A的正弦、余弦值是（　?。?br /> A．都擴大為原來的3倍 B．都縮小為原來的
C．沒有變化 D．不能確定
【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法可得新三角形與Rt△ABC是相似的，從而可得銳角A的大小是不變的，即可解答．
【解答】解：∵Rt△ABC的各邊長都擴大為原來的3倍后，所得的三角形與Rt△ABC是相似的，
∴銳角A的大小是不變的，
∴銳角A的正弦、余弦值是沒有變化，
故選：C．
【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）如圖，點A、B、C、D、E都是⊙O上的點，，∠D＝128°，則∠B的度數(shù)為（　?。?br />
A．128° B．126° C．118° D．116°
【分析】連接AC、CE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠CAE，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理求出∠ACE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算，得到答案．
【解答】解：連接AC、CE，
∵點A、C、D、E都是⊙O上的點，
∴∠CAE+∠D＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣128°＝52°，
∵，
∴∠ACE＝∠AEC（180°﹣52°）＝64°，
∵點A、B、C、E都是⊙O上的點，
∴∠AEC+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣64°＝116°，
故選：D．

【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，則方程可化為（　?。?br /> A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+8）2＝23 D．（x﹣8）2＝9
【分析】將常數(shù)項移動方程右邊，方程兩邊都加上16，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：x2+8x+7＝0，
移項得：x2+8x＝﹣7，
配方得：x2+8x+16＝9，即（x+4）2＝9．
故選：A．
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程時，首先將二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移動方程右邊，然后左右兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并為一個非負常數(shù)，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．
5．（3分）將拋物線y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為（　　）
A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣5
C．y＝2（x﹣4）2﹣1 D．y＝2（x﹣4）2﹣5
【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．
【解答】解：將拋物線y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為：y＝2（x﹣1+3）2﹣3+2，即y＝2（x+2）2﹣1；
故選：A．
【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．
6．（3分）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，則tanB＝（　　）

A．2 B．2 C． D．
【分析】先判斷DA＝DC，過點D作DE∥AB，交AC于點F，交BC于點E，由等腰三角形的性質(zhì)，可得點F是AC中點，繼而可得EF是△CAB的中位線，繼而得出EF、DF的長度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可計算．
【解答】解：
∵CA是∠BCD的平分線，
∴∠DCA＝∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
過點D作DE∥AB，交AC于點F，交BC于點E，
∵AB⊥AC，
∴DE⊥AC（等腰三角形三線合一的性質(zhì)），
∴點F是AC中點，
∴AF＝CF，
∴EF是△CAB的中位線，
∴EFAB＝2，
∵1，
∴DF＝EF＝2，
在Rt△ADF中，AF4，
則AC＝2AF＝8，
tanB2．
故選：B．

【點評】本題考查了梯形的知識、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點F是AC中點，難度較大．
7．（3分）如圖，在長為30m，寬20m的矩形田地中開辟兩條寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為551m2，求道路的寬度．設(shè)道路的寬度為xm，則可列方程（　?。?br />
A．（20+x）（30+x）＝551 B．（20﹣x）（30﹣x）＝551
C．20×30﹣20x﹣30x＝551 D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551
【分析】由道路的寬度為xm，可得出剩余田地部分可合成長為（30﹣x）m，寬為（20﹣x）m的矩形，根據(jù)剩余田地的面積為551m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵道路的寬度為xm，
∴剩余田地部分可合成長為（30﹣x）m，寬為（20﹣x）m的矩形．
依題意得：（20﹣x）（30﹣x）＝551．
故選：B．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
2
4
5
…
y
…
﹣7
﹣2
1
1
﹣7
﹣14
…
下列說法正確的是（　　）
A．拋物線的開口向上
B．當x＞1時，y隨x的增大而增大
C．二次函數(shù)的最大值是2
D．拋物線與x軸只有一個交點
【分析】根據(jù)給出的自變量x與函數(shù)值y的對應值逐一分析解答即可．
【解答】解：∵拋物線經(jīng)過點（﹣2，﹣7），（4，﹣7），
則對稱軸為x＝1，
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+k，
代入點（0，1）和（﹣1，﹣2）得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+2，
∵a＝﹣1，
∴拋物線開口向下，故A不符合題意；
∵對稱軸為x＝1，
∴當x＞1時，y隨x的增大而減小，故B不符合題意；
∵拋物線的頂點坐標為（1，2），開口向下，
∴二次函數(shù)的最大值為2，故C符合題意；
∵拋物線開口向下，頂點為（1，2），
∴拋物線與x軸有兩個交點，故D不符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，能熟練求解函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（每小題3分，共18分）
9．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有兩個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是 　且k≠0?。?br /> 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別列出不等式組求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意可知，．
解得：且k≠0，
故答案為：且k≠0．
【點評】本題主要考查一元二次方程的定義及根的判別式，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，以點O為位似中心，把△AOB縮小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比為，已知點A（3，6），則點C的坐標為 　（1，2）或（﹣1，﹣2）?。?br />
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可．
【解答】解：由題意得，點A與點C是對應點，
△AOB與△COD的相似比是3，
∴點C的坐標為（3，6），即（1，2），
當點C值第三象限時，C（﹣1，﹣2）
故答案為：（1，2）或（﹣1，﹣2）．

【點評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k是解題的關(guān)鍵．
11．（3分）如圖，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸為直線x＝1，與y軸交于點C，與x軸交于點A、點B（﹣1，0），則下列結(jié)論：①abc＞0；②二次函數(shù)的最大值為a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤當y＞0時，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正確的結(jié)論有 ?、冖茛蕖。?br />
【分析】根據(jù)對稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交在正半軸，可判斷①；由頂點坐標可判斷②；由B坐標可判斷③；由拋物線與x軸交點坐標個數(shù)可判斷④；由拋物線與x軸交點的橫坐標可判斷⑤；由對稱軸方程得到b＝﹣2a，然后根據(jù)x＝﹣1時函數(shù)值為0可得到3a+c＝0，故⑥正確．
【解答】解：∵二次函數(shù)對稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交在正半軸，
∴ab＜0，c＞0，abc＜0．
∴故①不正確；
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為直線x＝1，
∴頂點坐標為（1，a+b+c），且開口向下，二次函數(shù)的最大值為a+b+c，
故②正確；
∵拋物線過B（﹣1，0），
∴x＝﹣1時，y＝0，即a﹣b+c＝0，
故③不正確；
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴b2﹣4ac＞0，
故④不正確；
∵對稱軸為直線x＝1，B（﹣1，0），
∴A（3，0），
由圖象可知，﹣1＜x＜3時，y＞0，
故⑤正確；
∵x1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1時，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴c+3a＝0．
故⑥正確．
故答案為：②⑤⑥．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的圖象與x軸的交點等知識點，明確二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，正方形ABCD中，扇形ABC與扇形BCD的弧交于點E，AB＝2cm，則圖中陰影部分的面積為 　π　cm2．（不求近似值）

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得邊相等，角相等，根據(jù)扇形BAC與扇形CBD的弧交于點E，可得△BCE的形狀，根據(jù)圖形的割補，可得陰影的面積是扇形，根據(jù)扇形的面積公式，可得答案．
【解答】解：正方形ABCD中，
∴∠DCB＝90°，DC＝AB＝2cm．
扇形BAC與扇形CBD的弧交于點E，
∴△BCE是等邊三角形，∠ECB＝60°，
∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝30°．
根據(jù)圖形的割補，可得陰影的面積是扇形DCE，
S扇形DCE＝π×22π（cm2），
故答案為：π．
【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，扇形的面積，靈活應用圖形的割補是解題關(guān)鍵．
13．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣2，5），則該拋物線上縱坐標為5的另一個點D的坐標是?。?，5）?。?br /> 【分析】先求出拋物線的對稱軸方程，再根據(jù)拋物線關(guān)于對稱軸對稱即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，﹣3），B（2，﹣3），
∴其對車軸為x1．
設(shè)D（x，5），
∵點C（﹣2，5）在此拋物線上，
∴1，解得x＝4，
∴D（4，5）．
故答案為：（4，5）．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱是解答此題的關(guān)鍵．
14．（3分）車從甲地駛往乙地，行完全程所需的時間t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間的反比例函數(shù)關(guān)系如圖所示．若列車要在2.5h內(nèi)到達，則速度至少需要提高到 　240　km/h．

【分析】依據(jù)行程問題中的關(guān)系：時間＝路程÷速度，即可得到汽車行駛完全程所需的時間t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間的關(guān)系式，把t＝2.5h代入即可得到答案．
【解答】解：∵從甲地駛往乙地的路程為200×3＝600（km），
∴汽車行駛完全程所需的時間t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間的關(guān)系式為t，
當t＝2.5h時，即2.5，
∴v＝240，
答：列車要在2.5h內(nèi)到達，則速度至少需要提高到240km/h．
故答案為：240．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應用，找出等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．
三、解答題（共78分）
15．（4分）計算：﹣12022|2|．
【分析】這里，先算﹣12022＝﹣1，4，|2|＝2，再進行綜合運算．
【解答】解：﹣12022|2|
＝﹣1﹣4+2
＝﹣3．
【點評】本題考查了實數(shù)的綜合運算，計算過程中要細心，注意正負符號，綜合性較強．
16．（6分）如圖，數(shù)學興趣小組成員在熱氣球A上看到正面為橫跨河流兩岸的大橋BC，并測得B，C兩點的角分別為53°和45°，已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為75米，又知此時地面氣溫為20℃，海拔每升高100米，氣溫會下降約0.6℃，試求此時熱氣球（體積忽略不計）附近的溫度．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【分析】過A作AD⊥BC，交CB延長線于點D，證△ACD是等腰直角三角形，則CD＝AD，再由銳角三角函數(shù)定義得BDAD，則ADAD＝75，求出AD的長，即可解決問題．
【解答】解：過A作AD⊥BC，交CB延長線于點D，如圖所示：
則∠ACD＝45°，∠ABD＝53°，
在Rt△ACD中，tan∠ACD，
∴CDAD，
在Rt△ABD中，tan∠ABD，
∴BDAD，
由題意得：ADAD＝75，
解得：AD＝300（m），
∵此時地面氣溫為20℃，海拔每升高100米，氣溫會下降約0.6℃，
∴此時熱氣球（體積忽略不計）附近的溫度約為：20℃0.6℃＝18.2℃，
答：此時熱氣球（體積忽略不計）附近的溫度約為18.2℃．

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．
17．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求證：BCAB；
（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB＝8，求MN?MC的值．

【分析】（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；
（2）AB是直徑；故只需證明BC與半徑相等即可；
（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM＝∠BCM，進而可得△MBN∽△MCB，故BM2＝MN?MC；代入數(shù)據(jù)可得MN?MC＝BM2＝8．
【解答】（1）證明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半徑．
∴PC是⊙O的切線．

（2）證明：∵AC＝PC，
∴∠A＝∠P，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．
又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，
∴∠COB＝∠CBO，
∴BC＝OC．
∴BCAB．

（3）解：連接MA，MB，
∵點M是 的中點，
∴，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴．
∴BM2＝MN?MC．
又∵AB是⊙O的直徑，，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∵AB＝8，
∴BM＝4 ．
∴MN?MC＝BM2＝32．

【點評】此題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運用和相似三角形的判定和性質(zhì)的應用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．
18．（10分）由于新冠疫情的影響，口罩需求量急劇上升，經(jīng)過連續(xù)兩次價格的上調(diào)，口罩的價格由每包10元漲到了每包16.9元．
（1）求出這兩次價格上調(diào)的平均增長率；
（2）在有關(guān)部門大力調(diào)控下，口罩價格還是降到了每包10元，而且調(diào)查發(fā)現(xiàn)，定價為每包10元時，一天可以賣出30包，每降價1元，可以多賣出5包．當銷售額為315元時，且讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，應該降價多少元？
【分析】（1）設(shè)這兩次價格上調(diào)的平均增長率為x，利用經(jīng)過兩次上調(diào)價格后的價格＝原價×（1+這兩次價格上調(diào)的平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)每包應該降價m元，則每包的售價為（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，根據(jù)每天該口罩的銷售額為315元，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合要讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，即可得出每包應該降價3元．
【解答】解：（1）設(shè)這兩次價格上調(diào)的平均增長率為x，
依題意得：10（1+x）2＝16.9，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合題意，舍去）．
答：這兩次價格上調(diào)的平均增長率為30%．
（2）設(shè)每包應該降價m元，則每包的售價為（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，
依題意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，
整理得：m2﹣4m+3＝0，
解得：m1＝1，m2＝3．
又∵要讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，
∴m的值為3．
答：每包應該降價3元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
19．（6分）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，以AD為直徑作⊙O，分別交AB、AC于點E、F，連接EF．判斷EF和BC的位置關(guān)系，并證明．

【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAD＝∠FAD，則根據(jù)圓周角定理得到，再利用垂徑定理的推理得到AD⊥EF，于是可判斷EF∥BC．
【解答】解：EF∥BC．
理由如下：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
即∠EAD＝∠FAD，
∴，
∵AD為直徑，
∴AD⊥EF，
而AD⊥BC，
∴EF∥BC．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)．
20．（12分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2經(jīng)過（2，2），且頂點在y軸上．
（1）求拋物線解析式；
（2）直線y＝kx+c與拋物線交于A，B兩點．
①點P在拋物線上，當k＝0，且△ABP為等腰直角三角形時，求c的值；
②設(shè)直線y＝kx+c交x軸于點M（m，0），線段AB的垂直平分線交y軸于點N，當c＝1，m＞6時，求點N縱坐標n的取值范圍．
【分析】（1）由題意可知b＝0，再將（2，2）代入y＝ax2+bx﹣2即可求解析式；
（2）①求出A（，0），B（，0），再由2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2），即可求c；
②由題意可得m，k＜0，再由m＞6，可得k＜0，聯(lián)立，得到AB的中點為（，1），設(shè)AB的線段垂直平分線所在直線解析式為y＝k'x+b，與x軸的交點P（，0），與y軸的交點為N（0，b），由∠PNO＝∠AMO，可得k'＝m，則有線段AB的垂直平分線為yx，所以N點縱坐標為n，即可求n．
【解答】解：（1）∵頂點在y軸上，
∴b＝0，
∵拋物線y＝ax2+bx﹣2經(jīng)過（2，2），
∴4a﹣2＝2，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2；
（2）①當k＝0時，y＝c，
聯(lián)立，
∴A（，c），B（，c），
∵△ABP為等腰直角三角形，
∴P點在AB的垂直平分線上，
∴P點在拋物線的頂點（0，﹣2）處，
∵AB＝2，AP＝BP，
∴2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2），
∴c＝﹣1；
②∵c＝1，
∴y＝kx+1，
∴m，
由題意可知，k＜0，
∵m＞6，
∴k＜0，
聯(lián)立，
∴x2﹣kx﹣2＝0，
∴xA+xB＝k，
∴AB的中點為（，1），
設(shè)AB的線段垂直平分線所在直線解析式為y＝k'x+b，
∴與x軸的交點P（，0），與y軸的交點為N（0，b），
∵PN⊥AB，
∴∠PNO＝∠AMO，
∴，
∴k'＝m，
∴yx+b，
∴線段AB的垂直平分線為yx，
∴N點縱坐標為n，
∴n．

【點評】本題是一次函數(shù)的綜合題，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，求出線段垂直平分線的解析式是解題的關(guān)鍵．
21．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝x+m的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，且與x軸交于點C，點A的坐標為（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求△AOB的面積；
（3）結(jié)合圖象直接寫出不等式組的解集．

【分析】（1）把A點的坐標代入函數(shù)解析式，即可求出答案；
（2）解由兩函數(shù)解析式組成的方程組，求出方程組的解，即可得出B點的坐標，求出C點的坐標，再根據(jù)三角形面積公式求即可；
（3）根據(jù)圖象即可求出答案．
【解答】解：（1）由題意可得：點A（2，1）在函數(shù)y＝x+m的圖象上，
∴2+m＝1，即m＝﹣1，
∵A（2，1）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴k＝2；
（2）連接OA、OB，
∵一次函數(shù)解析式為y＝x﹣1，令y＝0，得x＝1，
∴點C的坐標是（1，0），
由解得，，
∴由圖象可得：點B的坐標為（﹣1，﹣2），
∴；
（3）由圖象可知不等式組的解集為1＜x≤2．

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式、兩函數(shù)的交點問題和函數(shù)的圖象等知識點，能求出兩函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵，用了數(shù)形結(jié)合思想．
22．（6分）有2個信封，每個信封內(nèi)各裝有四張卡片，其中一個信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有1、2、3、4四個數(shù)，另一個信封內(nèi)的四張卡片分別寫有5、6、7、8四個數(shù)，甲、乙兩人商定了一個游戲，規(guī)則是：從這兩個信封中各隨機抽取一張卡片，然后把卡片上的兩個數(shù)相乘，如果得到的積大于20，則甲獲勝，否則乙獲勝．
（1）請你通過列表（或畫樹狀圖）計算甲獲勝的概率．
（2）你認為這個游戲公平嗎？為什么？
【分析】本題考查概率問題中的公平性問題，解決本題的關(guān)鍵是計算出各種情況的概率，然后比較即可．
【解答】解：（1）利用列表法得出所有可能的結(jié)果，如下表：

1
2
3
4
5
5
10
15
20
6
6
12
18
24
7
7
14
21
28
8
8
16
24
32
由上表可知，該游戲所有可能的結(jié)果共16種，其中兩卡片上的數(shù)字之積大于20的有5種，所以甲獲勝的概率為P甲．（4分）
（2）這個游戲?qū)﹄p方不公平，因為甲獲勝的概率P甲，乙獲勝的概率P乙，，所以，游戲?qū)﹄p方是不公平的．（6分）
【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
23．（14分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c（b、c為常數(shù)），若此拋物線與某直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式和頂點D的坐標；
（2）若點P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）點H（n，t）為拋物線上的一個動點，H關(guān)于y軸的對稱點為H1，當點H1落在第二象限內(nèi)，H1A2取得最小值時，求n的值．

【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）過點P作PG∥y軸交AC于點G，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則G（t，t+1），S△PAC（t）2當t時，△PAC的面積最大值為，此時P（，）；
（3）由題意可知H1在拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上，再由H1A2＝（t）2，可得當t時，H1A2有最小值，求出n的值即可．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），C（2，3）兩點代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）設(shè)AC的直線解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+1，
過點P作PG∥y軸交AC于點G，
設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則G（t，t+1），
∴PG＝﹣t2+t+2，
∴S△PAC3×（﹣t2+t+2）（t）2，
∴當t時，△PAC的面積最大值為，
此時P（，）；
（3）點H（n，t）為拋物線上的一個動點，點H1與H點關(guān)于y軸對稱，
∴H1（﹣n，t），H1在拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴t＝﹣n2﹣2n+3，
∴H1A2＝（n+1）2+t2＝t2﹣t+4＝（t）2，
∴當t時，H1A2有最小值，
∴n2+2n+3，
解得n＝1．


【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，求出動點H1的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/1/23 16:52:59；用戶：單靜怡；郵箱：zhaoxia39@xyh.com；學號：39428212

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