一、單選題
1．直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，則直線的傾斜角是（ ）
A．45°B．135°C．45°或135°D．
【答案】B
【分析】先由已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)求出過(guò)兩點(diǎn)直線方程的斜率，然后利用直線的斜率等于傾斜角的正切值，再利用特殊角的三角函數(shù)值及傾斜角的范圍即可得到傾斜角的度數(shù)．
【詳解】解:因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，
所以直線的斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
所以，即直線的傾斜角是
故選：B
2．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】解：因?yàn)?，?br>所以.
故選：B
3．裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取2個(gè)球，則所取的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用對(duì)立事件即可求得概率.
【詳解】“2個(gè)球中至少有1個(gè)白球”的對(duì)立事件為“2個(gè)球中沒(méi)有白球”，
設(shè)事件為2個(gè)球中至少有1個(gè)白球，
則.
故選：C
4．為了調(diào)查老師對(duì)微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從，，三所中學(xué)抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查，已知，，三所學(xué)校中分別有180，270，90名教師，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（ ）
A．10B．12C．18D．24
【答案】A
【分析】按照分層抽樣原則，每部分抽取的概率相等，按比例分配給每部分，即可求解.
【詳解】，，三所學(xué)校教師總和為540，從中抽取60人，
則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為人.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣抽取方法，按比例分配是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
5．向量，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．以上都不對(duì)
【答案】C
【分析】先由題中向量的坐標(biāo)，得到，，，進(jìn)而可判斷出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，，，
所以，.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量垂直與向量共線的坐標(biāo)表示，熟記向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可，屬于?？碱}型.
6．若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，且，則（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【分析】因?yàn)?，所以有，由向量垂直的坐?biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】若，則有，
即，解得.
故選：B
7．已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，則
B．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則
C．甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差
D．甲成績(jī)比乙成績(jī)穩(wěn)定
【答案】B
【分析】由折線圖甲乙同學(xué)成績(jī)的分布情況即可作出判斷.
【詳解】對(duì)于A，由折線圖可知，甲同學(xué)的平均成績(jī)高于乙同學(xué)的平均成績(jī)，A正確；
對(duì)于B，由折線圖可知，甲同學(xué)的成績(jī)較乙同學(xué)的成績(jī)更穩(wěn)定，所以，B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，由折線圖可知，甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差，C正確；
對(duì)于D，甲成績(jī)比乙成績(jī)穩(wěn)定，D正確.
故選：B
8．過(guò)，兩點(diǎn)的直線與過(guò)，兩點(diǎn)的直線平行，則m的值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】由兩直線平行的斜率關(guān)系即可求解.
【詳解】由題可知：，
而直線與直線平行，
所以有，即，解得.
故選：A
9．冬末春初，乍暖還寒，人們?nèi)菀赘忻鞍l(fā)熱，若發(fā)生群體性發(fā)熱，則會(huì)影響到人們的身體健康，干擾正常工作生產(chǎn)，某大型公司規(guī)定：若任意連續(xù)7天，每天不超過(guò)5人體溫高于37.3℃，則稱沒(méi)有發(fā)生群體性發(fā)熱，下列連續(xù)7天體溫高于37.3℃人數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)中，能判定該公司沒(méi)有發(fā)生群體性發(fā)熱的為（ ）
（1）中位數(shù)為3，眾數(shù)為2 （2）均值小于1，中位數(shù)為1
（3）均值為3，眾數(shù)為4 （4）均值為2，標(biāo)準(zhǔn)差為
A．（1）（3）B．（3）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）
【答案】D
【分析】將7個(gè)數(shù)據(jù)有小到大依次排列，舉出反例證明（1）（3）不滿足，假設(shè)（2）不滿足，根據(jù)計(jì)算得到平均數(shù)大于1，矛盾，假設(shè)（4）不滿足，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差大于，矛盾，得到答案.
【詳解】將 7 個(gè)數(shù)由小到大依次記為、、 、、、、.
對(duì)于（1）選項(xiàng)，反例：、、、、、、，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，與題意矛盾，（1）選項(xiàng)不合乎要求；
對(duì)于（2）選項(xiàng)， 假設(shè)，即該公司發(fā)生了群體性發(fā)熱，因中位數(shù)為1，則 ，平均數(shù)為 ，矛盾，故假設(shè)不成立，即該公司沒(méi)有發(fā)生群體性發(fā)熱，（2）選項(xiàng)合乎要求；
對(duì)于（3）選項(xiàng)，反例：、、 、 、、、，滿足眾數(shù)為4，均值為3，與題意矛盾，（3）選項(xiàng)不合乎要求；
對(duì)于（4）選項(xiàng)， 假設(shè)，即該公司發(fā)生群體性發(fā)熱，若均值為2 ，則方差為，即，與（4）選項(xiàng)矛盾，故假設(shè)不成立，即該公司沒(méi)有發(fā)生群體性發(fā)熱，（4）選項(xiàng)合乎要求.
故選：D
10．如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，若，，，則可表示為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合已知條件，利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意可知，，
因?yàn)?，，，?br>所以.
故選：A.
二、填空題
11．已知向量，，且，則的值為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)計(jì)算公式，即可容易求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，且?br>故可得，解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查由空間向量共線求參數(shù)值，屬簡(jiǎn)單題.
12．已知向量，，，則的坐標(biāo)為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】直接利用向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】向量，，，則.
故答案為：.
13．甲、乙兩人獨(dú)立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是，這道題被解出（至少有一人解出來(lái)）的概率是________．
【答案】
【分析】設(shè)這道題沒(méi)被解出來(lái)為事件A，則這道題被解出（至少有一人解出來(lái)）的概率
【詳解】設(shè)數(shù)學(xué)題沒(méi)被解出來(lái)為事件A，則.
故則這道題被解出（至少有一人解出來(lái)）的概率.
故答案為：
14．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P是棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O是面AC的中心，則的值為_(kāi)_____.
【答案】4
【分析】由，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解..
【詳解】如圖所示：
因?yàn)槭钦襟w，所以，
，所以，
由圖可知：，
所以
.
故答案為：4
三、雙空題
15．口袋中有形狀、大小都相同的6個(gè)小球，其中有2個(gè)白球、2個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中隨機(jī)摸出2個(gè)球.則2個(gè)都是黃球的概率為_(kāi)_____；2個(gè)球顏色不同的概率為_(kāi)_____.
【答案】 ； ##.
【分析】先求出從6個(gè)球中隨機(jī)摸出2個(gè)球的方法數(shù)，再求出摸出的2個(gè)球都是黃球的方法數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可求出2個(gè)都是黃球的概率；再求出摸出的2個(gè)球顏色不同的情況，再利用古典概型的概率公式可求出2個(gè)球顏色不同的概率.
【詳解】從6個(gè)球中隨機(jī)摸出2個(gè)球，共有，而摸出的2個(gè)都是黃球的有1種，
所以摸出2個(gè)都是黃球的概率為，
因?yàn)槊龅?個(gè)球顏色相同的有3種，所以摸出2個(gè)球顏色不同的有12種，
所以摸出2個(gè)球顏色不同的概率為，
故答案為：；.
四、解答題
16．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）由線面平行的判定定理即可證明；
（2）由線面角的向量求法即可求解.
【詳解】（1）易知，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
而平面，平面，
所以平面.
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
則，
，
設(shè)平面的法向量為，
則有，令，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
17．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，甲、乙都中靶的概率為0.72，求下列事件的概率；
(1)乙中靶；
(2)恰有一人中靶；
(3)至少有一人中靶.
【答案】(1)0.9
(2)0.26
(3)0.98
【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解；
（2）分兩種情況考慮即可求解；
（3）根據(jù)對(duì)立事件的概率即可得解.
【詳解】（1）設(shè)甲中靶為事件，乙中靶為事件，
則事件與事件相互獨(dú)立，
且，
則，
即乙中靶的概率為0.9.
（2）設(shè)恰有一人中靶為事件，
則.
即恰有一人中靶的概率為0.26.
（3）設(shè)至少有一人中靶為事件，
則，
即至少有一人中靶得概率為0.98.
18．三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，，M，N分別是，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)
【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)，即可證明平面；
（2）先證明為二面角的平面角，再結(jié)合線段數(shù)量關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）作的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)閭?cè)棱與底面垂直，即有平面，
而平面，平面，
所以，，
且，
所以四邊形是正方形，所以，
又因?yàn)?，所以?br>，平面，
所以平面，而平面，
所以，，平面，
所以平面，
又因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，
所以，且，而，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以平面.
（2）由（1）可知，平面，
而平面，所以，
又平面平面，
所以為平面與平面所成夾角的平面角，
易知是等腰直角三角形，所以，
所以，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
19．某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在，的頻數(shù)分別為8，2．
（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值；
（2）估計(jì)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；
（3）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在內(nèi)的概率．
【答案】(1)；(2)；(3).
【詳解】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用頻率分布直方圖求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用頻率分布直方圖中提供的數(shù)據(jù)信息求解；(3)運(yùn)用列舉法和古典概型計(jì)算公式求解.
試題解析：
（1）由題意可知，樣本容量n==50，
，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；
（2）設(shè)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為m，平均分為，
則[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得，
=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，
（3）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，
分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為b1，b2．抽取的2名學(xué)生的所有情況有21種，
分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），
（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），
（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．
其中2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)都不在[90，100]內(nèi)的情況有10種，分別為：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．
∴所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率.
【解析】頻率分布直方圖、頻率與頻數(shù)的關(guān)系及古典概型的計(jì)算公式等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．
【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以學(xué)校中的數(shù)學(xué)競(jìng)賽的數(shù)學(xué)成績(jī)的抽樣統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖為背景,設(shè)置了三個(gè)較為平常的數(shù)學(xué)問(wèn)題.解答時(shí)一定要充分利用題設(shè)中提供的頻率分布直方圖所提供的數(shù)據(jù)信息,結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解.第一問(wèn)中求的是頻率分布直方圖中的未知數(shù)的值,運(yùn)用該頻率分布直方圖時(shí)一定要注意該圖的縱坐標(biāo)是頻率與組距的比值,這一點(diǎn)解題很容易被忽視.第二問(wèn)中求的是中位數(shù)和平均數(shù),求解時(shí)先依據(jù)中位數(shù)這個(gè)概念建立了方程求解,再運(yùn)用平均數(shù)公式進(jìn)行求解；第三問(wèn)是運(yùn)用簡(jiǎn)單枚舉法一一列舉出基本事件的所有可能和符合條件的事件的可能,最后運(yùn)用古典概型的計(jì)算公式求出其概率的值.這是一道非常平常的考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的基礎(chǔ)題.
20．如圖，在四棱錐中，平面平面BCDE，，，，，O為BC中點(diǎn).
(1)求直線AE與BC所成角的余弦值；
(2)點(diǎn)B到平面ADE的距離；
(3)線段AC上是否存在一點(diǎn)Q，使平面ADE？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）是中點(diǎn)，確定直線與所成角為，計(jì)算各線段長(zhǎng)度，再利用余弦定理計(jì)算得到答案.
（2）先計(jì)算各線段長(zhǎng)度，計(jì)算的面積，再根據(jù)等體積法計(jì)算點(diǎn)到直線的距離.
（3）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，證明平面平面，計(jì)算線段的比例關(guān)系，面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，計(jì)算得到答案.
【詳解】（1）如圖所示：是中點(diǎn)，連接，則且，為平行四邊形，故，直線與所成角為，
平面平面，，平面，平面平面，
故平面，
平面，平面，故，
，
，
，
中，.
（2），
，
，故，
，
，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
，，
故點(diǎn)到平面的距離為.
（3）線段上存在一點(diǎn)，使平面.
理由如下：
連接，則四邊形為平行四邊形，，
過(guò)點(diǎn)作， 交于，則，
為中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，即，平面，則平面，
過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，則， 即，
又平面，故平面，又，
平面平面，又平面，平面，
故線段上存在一點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，平面.
21．在梯形ABCD中，，，，P為AB的中點(diǎn)，線段AC與DP交于O點(diǎn)，將沿AC折起到的位置，使得平面⊥平面.
(1)求證：平面
(2)平面ABC與平面夾角的余弦值
(3)線段上是否存在點(diǎn)Q，使得CQ與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；
(2)；
(3)存在點(diǎn)Q，.
【分析】（1）作出輔助線，證明線線平行，得到線面平行；
（2）由面面垂直證明出線面垂直，得到兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解面面角；
（3）設(shè)，，結(jié)合第二問(wèn)求出的平面的法向量，列出方程，求出的值，得到.
【詳解】（1）連接，
因?yàn)?，P為AB的中點(diǎn)，
所以，，
故四邊形為平行四邊形，
故是AC，DP的中點(diǎn)，
因?yàn)镻是AB的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面；
（2）因?yàn)槠矫妗推矫?，交線為AC，
因?yàn)椋琌是AC的中點(diǎn)，
所以⊥AC，
因?yàn)槠矫妫?br>所以⊥平面，
因?yàn)槠矫鍭CB，
所以，，
因?yàn)?，AP=AD，
所以三角形ADP為等邊三角形，
因?yàn)镺是DP的中點(diǎn)，
所以O(shè)P⊥AC，
所以兩兩垂直，
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OP，為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得：，令，則，
所以，
平面ABC的法向量為，
設(shè)平面ABC與平面的夾角為，
則，
故平面ABC與平面的夾角的余弦值為；
（3）存在點(diǎn)Q，
理由如下：設(shè)，，
則，
由（2）知：平面的法向量為，
設(shè)CQ與平面所成角為，
則，
因?yàn)?，解得：?br>故.

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2022-2023學(xué)年北京市順義區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

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2022-2023學(xué)年北京市北京中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

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