?2022~2023學(xué)年度上期期末學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測
九年級 數(shù)學(xué)試題
注意事項：
1．全卷分A卷和B卷，A卷滿分100分，B卷滿分50分；考試時間120分鐘．
2．考生使用答題卡作答
3．在作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號涂寫在答題卡上．考試結(jié)束，監(jiān)考人員將試卷和答題卡一并收回．
4．答題必須使用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．
5．請按照題號在答題卡上各題目對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效：在草稿紙、試卷上答題無效．
6．保持答題卡面清潔，不得折疊、污染、破損等．
A 卷（共100分）
一、選擇題（每小題4分，共32分）每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求．
1. 方程x2＝4的解是（　?。?br /> A x＝2 B. x＝﹣2 C. x＝±2 D. 沒有實數(shù)根
2. 如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，若，則長為（　?。?br />
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 反比例函數(shù)的圖象在第（　　）．
A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 一、二象限 D. 二、三象限
4. 如圖所示的幾何體的俯視圖是（ ）

A. B. C. D.
5. 我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《田畝比類乘除算法》中有這樣一道題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的寬比長少12步，問它的長和寬各多少步？設(shè)這塊田地的寬為x步，則所列的方程正確的是（　　）
A. B. C. D.
6. 從一定的高度任意拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的次數(shù)很大時，落下后，正面朝上的頻率最有可能接近的數(shù)值為（　?。?br /> A. B. C. D.
7. 如圖，已知和是以點O為位似中心位似圖形，，的面積為4，則的面積為（　?。?br />
A. 6 B. 10 C. 25 D. 12
8. 如圖，直線與x軸相交于點A，與函數(shù)的圖象交于點B，C，點B的橫坐標(biāo)是8，點C的橫坐標(biāo)是，則不等式組的解集是（　?。?br />
A B. C. D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9. 如果，那么_________．
10. 若點，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，的大小關(guān)系為：___________（填“>”或“”或“
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：的圖象當(dāng)時，y隨x的增大而減小，
∵，故，
故答案為：>．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
11. 如圖，，，，則______．

【答案】
【解析】
【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊的比相等，都等于相似比．
12. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到，列式求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
解得：；
故答案為：．
【點睛】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況，求參數(shù)的取值范圍．熟練掌握方程有兩個不相等的實數(shù)根，，是解題的關(guān)鍵．
13. 如圖，菱形的對角線，相交于點，按下列步驟作圖：
①分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧的交點分別為點，；
②過點，作直線，交于點；
③連接．若，則菱形的周長為___________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)作圖可得是的中點，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得周長．
【詳解】解：根據(jù)作圖可知是的垂直平分線，
∴是的中點，
∵菱形的對角線，相交于點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴菱形的周長為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了作線段垂直平分線，菱形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共5個小題，共48分）
14. （1）計算：
（2）解方程：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)實數(shù)運算法則進(jìn)行計算即可；
（2）運用配方法求解即可．
【詳解】（1）

；
（2）




∴．
【點睛】此題考查了實數(shù)的混合運算，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握實數(shù)的運算法則，正確解一元二次方程．
15. 某小隊在探險過程途中發(fā)現(xiàn)一個深坑，小隊人員為了測出坑深，采取如下方案：如圖所示，在深坑左側(cè)用觀測儀從觀測出發(fā)點A觀測深坑底部P，且觀測視線剛好經(jīng)過深坑邊緣點M，在深坑右側(cè)用觀測儀從觀測出發(fā)點C觀測深坑底部P，且觀測視線恰好經(jīng)過深坑邊緣點N．（點E，B，M，N，D，F(xiàn)在同一水平線上）
已知：，觀測儀高，觀測儀高，，深坑寬度．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算深坑深度多少米？

【答案】5.5
【解析】
【分析】過點P作PH⊥EF于點H，通過AB∥HP，CD∥HP，得到，從而得到，得到，，利用，1.6HP=17.6-2NH，從而求出HP的長度．即可得到答案．
【詳解】解：過點P作PH⊥EF于點H，


∵，PH⊥EF，
∴AB∥HP，CD∥HP，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴，
即，
∴，
∵
∴，
即，
∴1.6HP=17.6-2NH，
將代入上式得：1.6HP=17.6-2×0.8HP，
化簡得：3.2HP=17.6，
解得HP=5.5，
故答案為：5.5．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是構(gòu)造三角形相似．
16. 為傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，提高學(xué)生文化素養(yǎng)，學(xué)校舉辦“經(jīng)典誦讀”比賽，比賽題目分為“詩詞之風(fēng)”、“散文之韻”和“小說之趣”三組（依次記為A，B，C）．彤彤和祺祺兩名同學(xué)參加比賽，其中一名同學(xué)從三組題目中隨機抽取一組，然后放回，另一名同學(xué)再隨機抽取一組．
（1）彤彤抽到A組題目的概率是______；
（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求彤彤和祺祺抽到相同題目的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)概率公式直接求概率即可；
（2）先畫出樹狀圖，然后再根據(jù)概率公式進(jìn)行計算即可．
【小問1詳解】
解：彤彤抽到A組題目的概率是；
故答案為：．
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意畫出樹狀圖，如圖所示：

∵共有9種等可能的情況，彤彤和祺祺抽到相同題目的情況數(shù)有3種，
∴彤彤和祺祺抽到相同題目的概率為．
【點睛】本題主要考查了概率公式，畫樹狀圖或列表法求概率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖或列出表格．
17. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A，與y軸交于點B．已知點A的縱坐標(biāo)為6．

（1）求k的值：
（2）點P在反比例函數(shù)的圖象上，點Q在x軸上，若以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點P坐標(biāo)．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）將點的坐標(biāo)代入求得，再把點的坐標(biāo)代入求出；
（2）當(dāng)是對角線時，先求出點的縱坐標(biāo)，進(jìn)而代入反比例函數(shù)的解析式求得橫坐標(biāo)；當(dāng)為邊時，同樣先求出點的縱坐標(biāo)，進(jìn)而代入反比例函數(shù)的解析式求得橫坐標(biāo)．
【小問1詳解】
解：設(shè)點，
把代入得，
，即點
把代入得，

【小問2詳解】
解：如圖，

當(dāng)是對角線時，即四邊形是平行四邊形，
一次函數(shù)的圖象與軸交于點
當(dāng)時，，即點
，，點的縱坐標(biāo)為，

當(dāng)時，

點
當(dāng)為邊時，即四邊形是平行四邊形，
由得，


當(dāng)時，

點
綜上所述，或
【點睛】本題考查了求反比例函數(shù)解析式，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求點的坐標(biāo)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)等知識，解題關(guān)鍵是畫出圖形，全面分類．
18. 如圖，在正方形中，，分別是其外角和的平分線，點E在射線上，點F在射線上，連接，，．已知．

（1）求證：以線段，，為三邊組成的三角形是直角三角形；
（2）若為等腰直角三角形，探究線段，之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）當(dāng)時，請求出的值．
【答案】（1）見解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）過點作，并截止，連接，證明，，得到即為以線段，，為三邊組成的三角形，利用正方形的性質(zhì)和角平分線平分角，求出，即可得證；
（2）證明，得到，根據(jù)為等腰直角三角形，得到，進(jìn)而求出，之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）連接并延長交的延長線于點，證明均為等腰直角三角形，得到，利用，，為三邊組成的三角形是直角三角形，得到，設(shè)，得到，進(jìn)而求出的值．
【小問1詳解】
證明：過點作，并截止，連接，
則：，

∵四邊形為正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴即為以線段，，為三邊組成的三角形，
∵，分別是和的平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為直角三角形，
即：以線段，，為三邊組成的三角形是直角三角形；
【小問2詳解】
解：∵，分別是和的平分線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵為等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問3詳解】
解：連接并延長交的延長線于點，

則：，
∴，
∵，
∴，，
∴均為等腰直角三角形，
∴，
由（1）知：，
∴，
設(shè)，
∴，
解得：或（不合題意，舍掉）
∴．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理．本題的綜合性較強，熟練掌握正方形的性質(zhì)，通過添加輔助線，證明三角形全等，以及證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．
B 卷
一、填空題（每小題4分，共20分）
19. 已知，且，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，設(shè)，，，代入原式后以達(dá)到約分的目的即可．
【詳解】設(shè)，，，且，
∴


．
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，此類題目的常用解法是：設(shè)一個未知數(shù)，把題目中的幾個量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來，達(dá)到約分的目的．
20. 大數(shù)據(jù)分析技術(shù)為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用，如圖是小樂同學(xué)的健康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機打印于邊長為4cm的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計黑色部分的總面積約為 _____cm2．

【答案】9.6
【解析】
【分析】先根據(jù)經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，可估計點落入黑色部分的概率為0.6，再乘以正方形的面積即可得出答案．
詳解】解：∵經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，
∴估計點落入黑色部分的概率為0.6，
∴估計黑色部分的總面積約為4×4×0.6＝9.6（cm2），
故答案為：9.6．
【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
21. 若，是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值是___________．
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，，再將所求式子變形為，代入計算即可．
【詳解】解：∵，是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：7．
【點睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的概念，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
22. 已知過原點的一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點在的右側(cè)．是反比例函數(shù)圖象上位于點上方的一動點，連接并延長交軸于點，連接交軸于點．若，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意作出圖形，得出，根據(jù)題意得出，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，

，

，





，
則，
根據(jù)對稱性可得

∴

故答案：
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，反比例數(shù)的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，在和中，，E為的中點，將繞點O旋轉(zhuǎn)，直線，交于點F，連接，則的最小值是___________．

【答案】
【解析】
【分析】取的中點，連接，則，當(dāng)三點共線時，最小，證明，進(jìn)而推出，進(jìn)而得到，根據(jù)三角形中位線定理以及斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出，進(jìn)而求出的最小值．
【詳解】解：取的中點，連接，

則，
∴當(dāng)三點共線時，最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中點，為的中點，
∴，
∴的最小值為：；
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，斜邊上的中線．熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．
二、解答題（本大題共3個小題，共30分）
24. 某大型批發(fā)商場平均每天可售出某款商品件，售出1件該款商品利潤是10元． 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若該款商品的批發(fā)價每降低1元，則每天可多售出件．為了使每天獲得的利潤更多，該批發(fā)商場決定降價x元銷售該款商品．
（1）當(dāng)x為多少元時，該批發(fā)商場每天賣出該款商品的利潤為元？
（2）若按照這種降價促銷的策略，該批發(fā)商場每天賣出該款商品的利潤能達(dá)元嗎？若能，請求出x的值，若不能，請說明理由．
【答案】（1）當(dāng)x為2或5時，該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤為40000元
（2）按照這種降價促銷的策略，該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤不能達(dá)到500元
【解析】
【分析】（1）利用降價后每瓶的銷售利潤=原來每瓶的銷售利潤－降低的價格，即可得出降價后每瓶的銷售利潤，再用提升后的銷量乘以利潤等于總利潤，由此列出方程求解即可；
（2）由（1）所得的算式，使得總利潤等于列式計算即可．
【小問1詳解】
解：該批發(fā)商場決定降價x元銷售該款商品，依題意得，
，
即
解得：，
答：當(dāng)x為2或5時，該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤為元
【小問2詳解】
解：，
即
∵，原方程無解，
∴按照這種降價促銷的策略，該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤不能達(dá)到元．
【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程，牢記“當(dāng)時，方程無實數(shù)根”．
25. 如圖，在銳角中，，過點A作于點D，過點B作于點E，與相交于點H，連接．的平分線交于點F，連接交于點G．

（1）求證：
（2）試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）若，求的長．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用，得到，利用等角的余角相等，即可得證；
（2）過點作，交于點，證明，得到，進(jìn)而推出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）證明，得到，利用，求出的長，進(jìn)而求出的長，過點作，垂足為，證明，求出的長，進(jìn)而求出的長，利用平行線分線段成比例，求出的長，進(jìn)而求出的長，作，交于點，得到，求出的長，再證明，求出的長．
【小問1詳解】
證明：∵，，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：過點作，交于點，

則：，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∵的平分線交于點F，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
過點作，垂足為，
則：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作，交于點，

則：，
∴，即：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，勾股定理．本題的綜合性較強，難度較大，正確的添加輔助線證明三角形的全等和相似，是解題的關(guān)鍵．
26. 如圖，點和點是反比例函數(shù)圖象上的兩點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸交于點，過點作軸，垂足為，連接．已知與的面積滿足．

（1）求的面積和的值；
（2）求直線的表達(dá)式；
（3）過點的直線分別交軸和軸于兩點，，若點為的平分線上一點，且滿足，請求出點的坐標(biāo)．
【答案】（1），3
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）首先可知C的坐標(biāo)，從而得出△OAC的面積，再根據(jù)得的值，則可根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何定理，即可解答；
(2)由點A (1，m)在反比例函數(shù)圖象上，代入A點坐標(biāo)求出m 值，從而得出A點坐標(biāo)，則可利用待定系數(shù)法求直線AC解析式；
(3)設(shè)B (a，b)，分兩種情況討論，即點N在y軸正半軸上或點N在y軸負(fù)半軸，分別根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出OM和ON的長，從而得出OP的長，即可得出答案．
【小問1詳解】
解：（1）∵一次函數(shù)y2 = ax + 2與y軸交于C，
∴C(0，2)，
∴OC= 2，
∴，
∵，
∴ ，
∵點B在反比例函數(shù) 上，
∴；
【小問2詳解】
解： ∵點A (1，m)在反比例函數(shù)上，
∴m= 3，
∴ A(1，3)，
將A (1，3)代入一次函數(shù)y2 = ax+ 2得，
a+2=3，
∴a=1，
∴一次函數(shù)；
【小問3詳解】
解：設(shè)B(a，b) ，
當(dāng)點N在y軸正半軸上時，作BH⊥y軸于H，

∴BH∥OM，
∴△NBH∽△NMO，
∴ ，
∵NB=2MB，
∴，
∴ ,ON=3b，
∵OP2=OM·ON，
∴ ，
∵點P為∠MON的平分線上一點，
∴∠MON=90°，
∴點P到x軸和y軸的距離相等為 ，
∴，
當(dāng)點N在y軸負(fù)半軸上時，如圖，

同理可得， ，ON=OH=b，
∴ ，
∵點P為∠MON的平分線上一點，
∴∠MON=90°，
∴點P到x軸和y軸的距離相等為 ，
∴
綜上所述，或 ．
【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，k的幾何意義，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，表示出OM和ON的長是解題的關(guān)鍵，同時包含了分類討論的數(shù)學(xué)思想。

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