2022-2023學(xué)年上海師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．函數(shù)的定義域是__________.【答案】【分析】根據(jù)定義域求法解決即可.【詳解】由題知，，解得，所以函數(shù)的定義域是，故答案為：2．已知函數(shù)，則__________.【答案】16【分析】根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式 將自變量代入， 從內(nèi)到外求函數(shù)值即可.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則，故答案為：16.3．函數(shù)的值域為______．【答案】【分析】先求得的取值范圍，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由于，在上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.4．已知函數(shù)，則它的反函數(shù)是__________.【答案】【分析】將函數(shù)寫成用y表示x的形式，再講x換成y，y換成x，再寫出定義域即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴反函數(shù)為，.即：，.故答案為：，.5．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，為常數(shù)），則=_________.【答案】【分析】先由函數(shù)奇偶性，結(jié)合題意求出，計算出，即可得出結(jié)果.【詳解】因為為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則，解得，則，所以，因此.故答案為：.6．若函數(shù)的定義域、值域為，則實數(shù)______．【答案】3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定其在上單調(diào)遞增,從而有時,,據(jù)此列式求解即可.【詳解】由題可知,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,又函數(shù)的定義域?值域均為,則時,;時,;故,即,解得(舍)或,故答案為:3.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,屬于簡單題.7．若，且，則__________.【答案】【分析】代入即可根據(jù)冪指數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由于，所以，故答案為：8．函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】由于函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，所以，且，由此可求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義可知且， 令，所以在上是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上是增函數(shù)，即，且滿足真數(shù)恒大于零，即只需即可，所以，.故答案為：9．已知定義域為的奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且，則的取值范圍___________.【答案】【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)將原不等式變形為，再利用定義域和單調(diào)性列不等式組即可求解.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以原不等式可化為，因為定義域為且是減函數(shù)，所以，由解得：，由可得，解得：或，由可得，解得：，所以，所以的取值范圍是：，故答案為：【點睛】思路點睛：本題是利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，首先將比等式轉(zhuǎn)化為比較兩個的大小，利用單調(diào)性脫掉，注意函數(shù)的定義域.10．設(shè)常數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)在時有零點，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】由函數(shù)在時有零點，則，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出即可得解.【詳解】解：令，則，因為，所以，則，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.11．已知函數(shù)若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】 【分析】求出函數(shù)的解析式，分別畫出函數(shù)與的圖象，將函數(shù)有三個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象的交點有三個求解即可【詳解】與相切時 （正舍），與相切時 ， 與不相切.由圖可知實數(shù)的取值范圍為 .故答案為.【點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．12．記號表示中取較小的數(shù)，如，已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意，都有，則實數(shù)t的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)題意求出解析式，然后畫出的圖象，再由對任意，都有，可得將的圖象向右平移2個單位后，圖象在的非下方，結(jié)合圖象得，從而可求得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時，由，得，所以，因為是定義域為R的奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，由，得，所以的圖象如下圖，因為對任意，都有，所以將的圖象向右平移2個單位后，圖象在的非下方，所以且，解得，且，即實數(shù)t的取值范圍是，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查分段函數(shù)，考查不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出函數(shù)析式，畫出圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題. 二、單選題13．函數(shù)中，有（    ）A．在上嚴格增B．在上嚴格減C．在上嚴格增D．在上嚴格減【答案】D【分析】函數(shù)是由函數(shù)向左平移得到的，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間只要將原來的單調(diào)減區(qū)間向左平移一個單位即可【詳解】函數(shù)的圖象向左平移1個單位可得函數(shù)的圖象，因為函數(shù)在和上嚴格減，則函數(shù)在和上嚴格減，而在不具備單調(diào)性．故選：D．14．的圖象經(jīng)過點，又其反函數(shù)圖象經(jīng)過點，則的表達式為（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由反函數(shù)的性質(zhì)可得出點在函數(shù)的圖象上，然后將點和兩點的坐標代入函數(shù)的解析式解出和的值，由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由于函數(shù)的反函數(shù)圖象過點，則點在函數(shù)的圖象上，由題意可得，解得，因此，.故選A.【點睛】本題考查對數(shù)型函數(shù)解析式的求解，同時也考查了反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是確定出函數(shù)圖象上點的坐標，并利用方程思想求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，考查運算求解能力，屬于中等題.15．若函數(shù)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先，一次函數(shù)和都是遞增函數(shù)，當(dāng)時，一次函數(shù)取值要小于或等于指數(shù)式的值，再求交集即可實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增所以，解得 當(dāng)時，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，當(dāng)時，一次函數(shù)取值要小于或等于指數(shù)式的值，所以，解之得：，綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是故選：B【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)為增函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，著重考查了指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題.16．設(shè)函數(shù)的定義域為，若函數(shù)滿足條件：存在，使在上的值域是，則稱為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)“倍縮函數(shù)”的定義，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，且滿足存在，使在上的值域是，所以在上是增函數(shù)；所以，即，所以是方程的兩個根，設(shè)，則，此時方程為即方程有兩個不等的實根，且兩根都大于；所以，解得：，所以滿足條件的取值范圍是，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是根據(jù)“倍縮函數(shù)”的定義得出在上的值域是，所以，因此，可得是方程的兩個根，令，可得方程為有兩個不等的正實根，所以即可求的取值范圍. 三、解答題17．設(shè)常數(shù)，函數(shù).(1)若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)當(dāng)時，用定義證明在上是嚴格單調(diào)減函數(shù).【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，由求解；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義求解.【詳解】（1）解：由題意知：函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，，即，即，整理可得：.；（2）任取，且，則，因為，所以，所以，即，所以在上是嚴格單調(diào)減函數(shù).18．函數(shù)的最小值為.(1)求；(2)若，求及此時的最大值.【答案】(1)(2)，此時的最大值為5 【分析】（1）對配方后，分，與三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，求出最小值，求出；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，分三種情況進行求解，得到，并結(jié)合單調(diào)性求出函數(shù)的最大值..【詳解】（1），，且，若，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值，即；若，即時，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，；若，即時，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，.綜上所述，；（2）顯然當(dāng)時，，舍去，若，則有，得，與矛盾；若，則有，即，解得或（舍），時，，即，，，，當(dāng)時，取得最大值5.19．函數(shù)，，記，且為偶函數(shù).(1)求常數(shù)的值；(2)若對一切，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，即可求出常數(shù)的值；（2）將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，利用換元法和基本不等式求出的最大值，即可得實數(shù)的取值范圍；（3）將函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，轉(zhuǎn)化為僅有一解，設(shè)，依題意只有一個正實根，分類討論a的不同情況，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知，，，為偶函數(shù)，，即，，，，.（2）由（1）得，條件，即：，，設(shè)，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等式成立，，即；（3）依題意：，即僅有一解，則即，故設(shè)，依題意只有一個正實根.當(dāng)時，，（舍）當(dāng)時，方程有一正根，一負根，由，得.當(dāng)時，方程有兩個相等的正根.由，得，即，其中，當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，不符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是【點睛】分類討論思想是高中數(shù)學(xué)一項重要的考查內(nèi)容.分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現(xiàn)問題的求解，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)問題的分析處理能力和解決能力. 

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