2022-2023學(xué)年遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中聯(lián)合體高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接求并集得到答案.【詳解】集合，，則.故選：C2．命題“，”的否定形式是（    ）A．， B．，或C．， D．，或【答案】D【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱(chēng)量詞命題即可得解.【詳解】解：因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱(chēng)量詞命題，所以命題“，”的否定形式是，或.故選：D.3．十九世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”，即，“狄利克雷函數(shù)”在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中有著重要意義．根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”求得（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”的定義和分段函數(shù)的求解方法，判斷變量是否為有理數(shù)求解.【詳解】根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”的定義，知，， 則，所以，故選：C.4．函數(shù)的部分圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，再根據(jù)特殊值判斷即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，且，，故符合題意的只有A.故選：A5．已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，再根據(jù)抽象函數(shù)定義域得到，解得答案.【詳解】，函數(shù)定義域滿足，解得.故函數(shù)的定義域滿足：，解得.故選：D.6．已知關(guān)于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為（    ）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集確定為的兩根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案.【詳解】由題意關(guān)于x的不等式的解集為，其中，可知 ，且為的兩根，且，即，即 ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選:C.7．已知實(shí)數(shù)a，b，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由等價(jià)于，再利用充分條件和必要條件定義判斷.【詳解】解：因?yàn)?/span>等價(jià)于，所以，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B8．已知定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性判斷函數(shù)在各區(qū)間的正負(fù)，考慮和兩種情況，將不等式轉(zhuǎn)化為的正負(fù)，計(jì)算得到答案.【詳解】定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，故，函數(shù)在和上滿足，在和上滿足.，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.綜上所述：.故選：A 二、多選題9．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，不等式兩邊同時(shí)乘以可得：，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?/span>，所以，不等式兩邊同時(shí)乘以可得：，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?/span>，所以，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?/span>且，不等式的兩邊同時(shí)乘以可得：，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：.10．下列函數(shù)中最小值為2的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)基本不等式即可判斷ABC，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A不符題意；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為2，故B符合題意；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?/span>，所以，故C不符題意；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值2，故D符合題意.故選：BD.11．具有性質(zhì)的函數(shù)，我們稱(chēng)為滿足變換的函數(shù)，下列函數(shù)滿足“倒負(fù)”變換的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題目的給出的新定義依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到AB正確，C錯(cuò)誤，再根據(jù)定義域分三種情況判斷得到D正確，得到答案.【詳解】，則，A正確；，則，B正確；，則，C不正確；當(dāng)時(shí)，，，故；當(dāng)時(shí)，，，滿足；當(dāng)時(shí)，，，，故D正確.故選：ABD.12．已知，若定義域?yàn)?/span>R的滿足為奇函數(shù)，且對(duì)任意，，均有．則（    ）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．在R上單調(diào)遞增C．D．關(guān)于x的不等式的解集為【答案】BD【分析】根據(jù)為奇函數(shù)其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)可判斷A；對(duì)于B，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義和奇偶性可判斷B；根據(jù)可得關(guān)于對(duì)稱(chēng)可判斷C；利用轉(zhuǎn)化為求，利用在R上單調(diào)遞增、可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，將其圖象向右平移2個(gè)單位可得的圖象，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，對(duì)任意，，均有， 所以時(shí)，，或者時(shí)，， 即在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)槎x域?yàn)?/span>R的為奇函數(shù)，所以，所以在R上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，即關(guān)于對(duì)稱(chēng)， 所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以關(guān)于x的不等式，即求，因?yàn)?/span>在R上單調(diào)遞增，，所以只需，故D正確.故選：BD. 三、填空題13．集合，，則集合的子集個(gè)數(shù)為______．【答案】4【分析】解方程組，根據(jù)方程組的解的個(gè)數(shù)可得中元素的個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】解：聯(lián)立，解得或，所以集合中有2個(gè)元素，所以集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：4.14．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)：______．①，，；②在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減．【答案】（不唯一）【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，易知在R上遞減，故答案為：（不唯一）15．已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且，，則a的取值范圍是______．【答案】.【分析】先根據(jù)零點(diǎn)求出，從而，轉(zhuǎn)化為在上有解，參變分離后即在上有解，求出，從而得到的取值范圍.【詳解】由題意得：，解得：，故，，，即在上有解，即在上有解，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以a的取值范圍是.故答案為：.16．已知正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為______．【答案】##【分析】利用基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最大值，從而得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值.【詳解】由，得，所以，其中，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最小值2，故，取得最大值，此時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，有最大值為，故答案為：. 四、解答題17．已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）代入得到，計(jì)算或，再計(jì)算交集和并集得到答案.（2）將轉(zhuǎn)換為，根據(jù)集合的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系計(jì)算得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，故，或，故.（2），故，需滿足，解得，即.18．已知命題p：，，命題q：，．(1)若命題p為真命題，求a的取值范圍；(2)若命題p和命題q至少有一個(gè)為真命題，求a的取值范圍．【答案】(1).(2)或. 【分析】（1）根據(jù)命題為真結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，列不等式，求得答案；（2）結(jié)合（1），再求出命題q為真時(shí)a的范圍，根據(jù)命題p和命題q至少有一個(gè)為真命題，分類(lèi)求解，可得答案.【詳解】（1）由題意命題p： ，，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，命題p為真命題，則需滿足，即；（2）由（1）知命題p為真命題時(shí)，a的取值范圍為；命題q：，為真時(shí)，則，當(dāng)命題p真而命題q假時(shí)，且，故；當(dāng)命題p假而命題q真時(shí)，且，故；當(dāng)命題p和命題q都真時(shí)，且，則，故命題p和命題q至少有一個(gè)為真命題，a的取值范圍為或.19．在①使“”是“”的充分不必要條件，②使“”是“”的必要不充分條件這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答．定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有，．集合．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)非空集合B，______．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】若選①，B可以為；若選②，B可以為；（答案不唯一）【分析】由題意確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，解不等式，求得集合A；若選①，則?,可寫(xiě)出一個(gè)非空集合B；若選②，則?,可寫(xiě)出一個(gè)非空集合B；【詳解】由題意可知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有，則為單調(diào)遞增函數(shù)，令函數(shù)，則該函數(shù)也單調(diào)遞增，由，因?yàn)?/span>，則，故的解集為 ，則；若選①，則?,故B可以為；若選②，則?,故B可以為；20．已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求在上的解析式；(2)用定義法證明在上單調(diào)遞增；(3)求不等式的解集．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3) 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，利用函數(shù)的奇偶性代入函數(shù)表達(dá)式解得答案.（2）設(shè)，計(jì)算，判斷正負(fù)得到證明.（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式化簡(jiǎn)為，平方，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則.故當(dāng)時(shí)，.（2）設(shè)，則，，，故，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增.（3）函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，，故，平方得到，不等式的解集為.21．在汽車(chē)行駛中，司機(jī)發(fā)現(xiàn)緊急情況后操作剎車(chē)時(shí)需要經(jīng)歷三個(gè)階段：第一階段，司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間為；第二階段，司機(jī)踩下剎車(chē)以及系統(tǒng)的反應(yīng)時(shí)間為；第三階段，汽車(chē)開(kāi)始制動(dòng)至完全停止，制動(dòng)時(shí)間為，制動(dòng)距離為d．已知和d的大小取決于制動(dòng)時(shí)汽車(chē)時(shí)速v（單位： ）和汽車(chē)的類(lèi)型，且，（k為汽車(chē)剎車(chē)時(shí)的對(duì)應(yīng)參數(shù)）假設(shè)第一階段和第二階段汽車(chē)均以時(shí)速v作勻速直線運(yùn)動(dòng)，取，．(1)已知某汽車(chē)剎車(chē)時(shí)的對(duì)應(yīng)參數(shù)，司機(jī)發(fā)現(xiàn)障礙物后，緊急操作剎車(chē)的總時(shí)間為3s，若要保證不與障礙物相撞，求司機(jī)發(fā)現(xiàn)障礙物時(shí)距離障礙物的最小距離；(2)若不同類(lèi)型汽車(chē)剎車(chē)時(shí)的對(duì)應(yīng)參數(shù)k滿足，某條道路要求所有類(lèi)型的汽車(chē)司機(jī)發(fā)現(xiàn)緊急情況后操作剎車(chē)時(shí)的行駛距離不大于75m，試問(wèn)汽車(chē)在該條道路的行駛速度應(yīng)該限速多少？【答案】(1).(2). 【分析】（1）由題意求出第三階段汽車(chē)的制動(dòng)時(shí)速以及制動(dòng)距離，即可求得答案；（2）由題意列出不等式，結(jié)合參數(shù)范圍，即可求得答案.【詳解】（1）由題意可知汽車(chē)開(kāi)始制動(dòng)至完全停止，制動(dòng)時(shí)間，故制動(dòng)時(shí)汽車(chē)時(shí)速，則制動(dòng)距離，故司機(jī)發(fā)現(xiàn)障礙物時(shí)距離障礙物的最小距離為.（2）由題意可得，即 ，因?yàn)?/span>，故 ，故，即 ，即得，即汽車(chē)在該條道路的行駛速度應(yīng)該限速為.22．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)已知，對(duì)任意的，恒成立，求的最大值．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）利用奇偶性的定義列方程組求解即可；（2）當(dāng)時(shí)可得，對(duì)任意的，恒成立，利用一元二次函數(shù)判別式求的關(guān)系即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，即，因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以，即，解得，所以的解析式為．（2）由題可得，令，則，故．對(duì)任意的，，即恒成立，所以且，所以，此時(shí)，所以，當(dāng)，，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)成立，所以的最大值為． 

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