2021-2022學(xué)年上海市華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．已知扇形的圓心角為2,面積為4,則扇形的周長為_________.【答案】8【分析】根據(jù)面積得到，再計算周長得到答案.【詳解】，，周長為 故答案為：【點睛】本題考查了扇形周長的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.2．已知余弦函數(shù)過點，則的值為__________．【答案】【分析】將代入余弦函數(shù)即可求解.【詳解】設(shè)余弦函數(shù)為，由函數(shù)過點可得.故答案為：.3．角終邊上一點，則___________.【答案】【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)定義求出正弦值以及正切值，再對式子利用誘導(dǎo)公式化簡即可.【詳解】因為角終邊上一點，根據(jù)三角函數(shù)定義，可知， .而根據(jù)誘導(dǎo)公式、，，則將函數(shù)值代入可得.故答案為：4．設(shè)向量，，且，則實數(shù)n的值是__________.【答案】【分析】由向量平行的坐標表示列方程，即可求參數(shù)n.【詳解】由，，，則有，解得.故答案為：2.5．已知函數(shù)的最小正周期為，則的值為___________.【答案】【分析】根據(jù)正切型三角函數(shù)確定最小正周期的表達式，即可求的值.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期為，所以.故答案為：.6．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________.【答案】.【分析】由，可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由，得，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：.7．“”是“，”的______________條件；【答案】必要非充分【分析】根據(jù)得出，，分析，與，的關(guān)系即可.【詳解】解：，則，.，包含，.所以，是，的必要非充分條件.故答案為必要非充分.【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，考查正切函數(shù)已知值求角，屬于基礎(chǔ)題.8．某學(xué)校有學(xué)生1485人，教師132人，職工33人.為有效預(yù)防甲型H1N1流感，擬采用分層抽樣的方法從以上人員中抽取50人進行抽查，則在學(xué)生中應(yīng)抽取___________人.【答案】【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，先求出抽樣比例，進而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知：分層抽樣的抽樣比為，所以學(xué)生中應(yīng)抽取，故答案為：.9．已知向量與的夾角為60°，，，則在方向上的數(shù)量投影為______．【答案】3【分析】求出以及，然后結(jié)合投影的概念即可直接求解.【詳解】因為向量與的夾角為60°，，，所以，則在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：3.10．定義：如果三位數(shù)滿足且，則稱這樣的三位數(shù)為“”型三位數(shù)，試求由0，1，2，3，4這5個數(shù)字組成的所有三位數(shù)中任取一個恰為“”型三位數(shù)的概率是___________.【答案】##0.15【分析】根據(jù)分步乘法原理，計算所有三位數(shù)的個數(shù)，利用列舉法，求得符合題意個數(shù)，根據(jù)古典概型計算公式，可得答案.【詳解】由0，1，2，3，4這5個數(shù)字組成三位數(shù)，百位不能為零，則有4種情況，十位與個位各自有5種情況，則所組成的所有三位數(shù)個數(shù)為，其中“”型三位數(shù)的有，，，，，，，，，，，，，，，共15個，則概率為.故答案為：.11．已知復(fù)數(shù)，（為實數(shù)），并且，則實數(shù)_________．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)相等可得出，利用二倍角的余弦公式結(jié)合弦化切可求得實數(shù)的值.【詳解】已知復(fù)數(shù)，（為實數(shù)），并且，則，所以，.故答案為：.【點睛】易錯點點睛：已知，求關(guān)于、的齊次式的值，應(yīng)注意以下兩點：（1）一定是關(guān)于、的齊次式（或能化為齊次式）的三角函數(shù)式；（2）因為，所以可除以，這樣可將被求式化為關(guān)于的表達式，然后代入的值，從而完成被求式的求值.12．在平行四邊形中，，相交于點，為線段上的動點，若，則的最小值為___________【答案】【分析】先利用已知條件求得，，再設(shè)，根據(jù)線性關(guān)系利用向量表示向量，利用數(shù)量積展開化簡得到，，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法即得結(jié)果.【詳解】依題意，由，知，即，所以，得，則，即.設(shè)，則，得，，，由知，當(dāng)時，二次函數(shù)取得最小值，即取 最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵在于用基底表示向量進行運算，將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，突破難點. 二、單選題13．方程有一個根為，求的值為（    ）A．5 B．3 C．4 D．2【答案】A【分析】將代入方程，得出的值.【詳解】由可得，.故選：A14．兩個實習(xí)生每人加工一個零件．加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為A． B． C． D．【答案】B【詳解】記兩個零件中恰好有一個一等品的事件為A，即僅第一個實習(xí)生加工一等品(A1)與僅第二個實習(xí)生加工一等品(A2)兩種情況，則P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×= 故選B. 15．已知A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且，則的最小值為（    ）A．10 B．9 C．8 D．4【答案】C【分析】先根據(jù)三點共線，求出，利用基本不等式求最值.【詳解】因為A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故選：C【點睛】（1）A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且，則有；（2）利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：“一正二定三相等”：①“一正”就是各項必須為正數(shù)；②“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方．16．設(shè)銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（    ）A．(1，9] B．(3，9]C．(5，9] D．(7，9]【答案】D【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化為，結(jié)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】因為，由正弦定理可得，則有，由的內(nèi)角為銳角，可得，， 由余弦定理可得因此有 故選：D.【點睛】方法點睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑. 三、解答題17．設(shè)復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，．（1）若是純虛數(shù)，求實數(shù)a的值；（2）若，求復(fù)數(shù)的模．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）計算出，再由復(fù)數(shù)的分類求解；（2）計算出，然后由模的定義得結(jié)論．【詳解】（1）由題意，它為純虛數(shù)，則，解得；（2）若，則，所以．18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域；（2）在中，，，分別為內(nèi)角的對邊，若且，的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）6.【分析】（1）根據(jù)兩角和差的正弦公式、輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，最后根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進行求解即可.【詳解】解：（1）.    由，得，可知函數(shù)的值域為.    （2）由，得，因為，所以，∴，故.    ∵，，的面積為， ∴，故.    又，即，即，故，∴的周長為.19．某市需拍賣一塊近似圓形的土地（如圖），內(nèi)接于圓的平面四邊形作為建筑用地，周邊需做綠化．因地面限制，只能測量出，測角儀測得角．（1）求的長；（2）因地理條件限制，不能變更，但點C可以調(diào)整．建筑商為利益最大化，要求在弧上設(shè)計一點C使得四邊形面積最大，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在中利用余弦定理即可求出；（2）在中利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，即可求出，進而求出四邊形面積的最大值.【詳解】（1）由題意可得，在中，由余弦定理可得：，，故的長為；（2）在中，，則由余弦定理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，，則，故四邊形面積的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是正確利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解三角形.20．已知O為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且，的值；（3）已知，，為的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點P，使得.若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，點.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)得，根據(jù)題意可可得特征向量；（2）根據(jù)題意可得相伴函數(shù)，再根據(jù)條件可得，由最終得到結(jié)果；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)則求出的解析式，設(shè)，根據(jù)條件列出方程式求出滿足條件的點P坐標即可.【詳解】解：（1）的相伴特征向量.（2）向量的相伴函數(shù)為，，.，，..（3）由為的相伴特征向量知：.所以.設(shè)，，，，又，.，，，.又，當(dāng)且僅當(dāng)時，和同時等于，這時式成立.在圖像上存在點，使得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練使用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角恒等變換是本題的關(guān)鍵.本題還考查了三角函數(shù)圖象變換后的解析式以及向量垂直的數(shù)量積關(guān)系，屬于中檔題.21．已知向量，，函數(shù)，，.（1）當(dāng)時，求的值；（2）若的最小值為，求實數(shù)的值；（3）是否存在實數(shù)，使函數(shù)，有四個不同的零點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）利用向量數(shù)量積的公式化簡函數(shù)即可；（2）求出函數(shù)的表達式，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進行討論求解即可；（3）由得到方程的根，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】解：（1），當(dāng)時，，則；（2）∵，∴，則，令，則，則，對稱軸，① 當(dāng)，即時，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，此時最小值，得(舍)，② 當(dāng)，即時，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，此時最小值，得，③ 當(dāng)，即時，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，此時最小值，得(舍)，綜上若的最小值為，則實數(shù)；（3）令，得或，∴方程或在上有四個不同的實根，則，得，則，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點以及復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度. 

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