河南省商丘市永城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．若點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則此函數(shù)圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（    ）A． B． C． D．2．萌萌將如圖所示的七巧板的其中幾塊，拼成一個(gè)多邊形，所拼成的多邊形中為中心對(duì)稱圖形的是（    ）A． B． C． D．3．在如圖所示的人眼成像的示意圖中，可能沒有蘊(yùn)含的初中數(shù)學(xué)知識(shí)是（    ）A．位似圖形 B．相似三角形的判定 C．旋轉(zhuǎn) D．平行線的性質(zhì)4．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的值可以是（    ）A． B．1 C．2 D．35．如圖，AB是的直徑，過點(diǎn)A作的切線，連接，與交于點(diǎn)D，E是上一點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（    ）A． B． C． D．6．如圖，在矩形中，M是邊的中點(diǎn)，N為線段與的交點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．7．為慶祝黨的二十大勝利召開，某學(xué)校舉行作文比賽，題目有“偉大的中國(guó)共產(chǎn)黨”“科技托起強(qiáng)國(guó)夢(mèng)”“家鄉(xiāng)的新變化”“時(shí)代賦予我們的使命”（分別用字母A，B，C，D依次表示這四個(gè)題目）．比賽時(shí)，將A，B，C，D這四個(gè)字母分別寫在4張無差別不透明的卡片的正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，小青先從中隨機(jī)抽取一張卡片，放回后洗勻，再由小云從中隨機(jī)抽取一張卡片，進(jìn)行比賽．則小青和小云抽中不同題目的概率為（    ）A． B． C． D．8．在中，，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作三角形（陰影部分），使這個(gè)三角形與相似，且相似比為，根據(jù)下列選項(xiàng)圖中標(biāo)注的條件，不符合要求的作圖是（    ）A． B． C． D．9．在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象（    ）A．經(jīng)過第一、二、三、四象限 B．僅經(jīng)過第一、二、四象限C．僅經(jīng)過第三、四象限 D．僅經(jīng)過第一、二象限10．如圖，直線與坐標(biāo)軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)作矩形，，雙曲線在第一象限經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，則k的值是（    ）A．6 B． C． D．27 二、填空題11．如圖，一塊磚的A，B，C三個(gè)面的面積之比是．如果A，B，C三個(gè)面分別向下放在地上，地面所受壓強(qiáng)分別為，，，壓強(qiáng)的計(jì)算公式為，其中P是壓強(qiáng)，F是壓力，S是受力面積，則，，的大小關(guān)系為______（用小于號(hào)連接）．12．如圖，與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．13．?dāng)?shù)學(xué)中，把這個(gè)比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的黃金分割點(diǎn)（），若線段的長(zhǎng)為，則BP的長(zhǎng)為______．14．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值為，則m的值為______．15．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D在線段上，以點(diǎn)D為圓心，為半徑作，且與的一條直角邊和斜邊相切，則x的值為______. 三、解答題16．（1）如圖，，若，，求的長(zhǎng)．（2）下面是某同學(xué)解方程的部分運(yùn)算過程：解：移項(xiàng)，得，……第一步配方，得，……第二步即，……第三步兩邊開平方，得，……第四步… ①該同學(xué)的解答從第______步開始出錯(cuò)；②請(qǐng)寫出正確的解答過程．17．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為6，作垂直于x軸，垂足為B，連接，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求k的值．18．如圖，，與交于點(diǎn)E，且．(1)求的長(zhǎng)．(2)求證：．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，軸，，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)B，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D在x軸的正半軸上．若的對(duì)應(yīng)線段恰好經(jīng)過點(diǎn)O．(1)求雙曲線的解析式．(2)小彬通過觀察圖形得出一個(gè)結(jié)論：點(diǎn)C在雙曲線上．請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論的正確性．20．如圖，四邊形內(nèi)接于，是直徑，D是的中點(diǎn)．(1)求證：．(2)連接，若，求的長(zhǎng)．21．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式．(2)結(jié)合圖象，請(qǐng)直接寫出不等式的解集．(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得與相似，且點(diǎn)P不與原點(diǎn)O重合？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．22．小黃做小商品的批發(fā)生意，其中某款“中國(guó)結(jié)”每件的成本為15元，該款“中國(guó)結(jié)”的批發(fā)單價(jià)y（元）與一次性批發(fā)量x（x為正整數(shù)）（件）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．(1)當(dāng)時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．(2)某零售商在小黃處一次性批發(fā)該款“中國(guó)結(jié)”，共支付7280元，求此次批發(fā)量．(3)某零售商在小黃處一次性批發(fā)該款“中國(guó)結(jié)”x（）件，小黃獲得的利潤(rùn)為w元，當(dāng)x為何值時(shí)，小黃獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？23．【形成概念】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍，我們就把這種三角形叫做倍角三角形．【特例感知】(1)請(qǐng)舉出一個(gè)你熟悉的倍角三角形，并寫出此三角形的三邊之比．(2)如圖，在中，，，，的對(duì)邊分別記作a，b，c，試探究三邊的等量關(guān)系．【問題解決】(3)若有一個(gè)倍角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3，4，直接寫出此三角形的第三邊長(zhǎng)．
參考答案：1．D【分析】將點(diǎn)代入，求出k的值，再根據(jù)對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行逐一檢驗(yàn)即可．【詳解】解：∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，∴，A．，不符合題意；B．，不符合題意；C．，不符合題意；D．，符合題意；∴只有點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.只要點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足函數(shù)的解析式．反之，只要點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，則點(diǎn)就一定在函數(shù)的圖象上．2．B【分析】根據(jù)中心對(duì)稱的定義，結(jié)合所給圖形即可作出判斷．【詳解】A、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意.故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分能夠完全重合．3．C【分析】根據(jù)位似圖形，相似三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的概念，平行線的性質(zhì)逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：兩棵樹是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，這兩個(gè)圖形是位似圖形，本題蘊(yùn)含的初中數(shù)學(xué)知識(shí)有位似圖形，相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形，相似三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的概念，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得：，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”．5．A【分析】根據(jù)切線與過切點(diǎn)的直徑，可得，為直角三角形，利用直角三角形兩銳角互余可求，利用圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線，∴，∴為直角三角形，∴，∴，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，圓周角性質(zhì)，掌握切線的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，圓周角定理是解題關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得到，，再根據(jù)M是邊的中點(diǎn)，得到，證明，得到，最后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得到答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，是邊的中點(diǎn)，，，，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．7．C【分析】利用列表法或樹狀圖，求出所有可能的結(jié)果數(shù)及兩人抽中不同題目的結(jié)果數(shù)，即可求得概率．【詳解】列表如下：小青\ 小云ABCDAAAABACADBBABBBCBDCCACBCCCDDDADBDCDD 由上表知，所有可能的結(jié)果數(shù)有16種，其中兩人抽中不同題目的結(jié)果數(shù)有12種，則小青和小云抽中不同題目的概率為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或樹狀圖求事件的概率，關(guān)鍵是根據(jù)所列的表或所畫的樹狀圖得到所有可能的結(jié)果數(shù)及其中事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)．8．D【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】A、，則，此選項(xiàng)是符合要求的作圖，故不符合題意；B、，則，此選項(xiàng)是符合要求的作圖，故不符合題意；C、，則，此選項(xiàng)是符合要求的作圖，故不符合題意；D、，由勾股定理得：，則，此選項(xiàng)是不符合要求的作圖，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握相似三角形的相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比是關(guān)鍵．9．A【分析】由圖可知，反比例函數(shù)位于二、四象限，則根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可作答．【詳解】解：由圖可知，反比例函數(shù)位于二、四象限，∴，∴，開口向下，與y軸的交點(diǎn)為(0,2),∴經(jīng)過一、二、三、四象限．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，由條件易得是等腰直角三角形，由進(jìn)而可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，則可求得k的值．【詳解】解：過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，如圖，對(duì)于，令，則；令，則；，，四邊形是矩形，，，，，，，，由勾股定理得：，，；點(diǎn)在雙曲線上，；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，其中求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)這塊磚的重量不變可得壓力F的大小不變，且，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)（增減性）即可得到答案．【詳解】解：這塊磚的重量不變，壓力F的大小都不變，且，，隨S的增大而減小，A，B，C三個(gè)面的面積比是，，，，的大小關(guān)系是：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或者，也考查了位似的性質(zhì)．13．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)（），線段的長(zhǎng)為，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的比例線段，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．14．##【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到m的值，本題得以解決．【詳解】解：，∴該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值，該函數(shù)圖象開口向下，令，解得或∵當(dāng)時(shí)，此函數(shù)的最小值為，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．15．或【分析】分兩種情況考慮：與直角邊、斜邊都相切；與直角邊、斜邊都相切；利用角平分線的判定定理、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)即可完成求解．【詳解】如圖，與直角邊、斜邊都相切時(shí)，則是的角平分線，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，則，，，，由題意得：，，，，由勾股定理得：，，由勾股定理得：，即，解得：；如圖，與直角邊、斜邊都相切時(shí)，則點(diǎn)D在的角平分線，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，過G作于點(diǎn)H，過D作于點(diǎn)E，是的角平分線，，，，，，，，由勾股定理得：，即：，解得：，，即，，，，，，，，，，；綜上，x的取值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，角平分線的判定定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．（1）10，（2）①四，見解析【分析】（1）由平行線分線段成比例定理即可求得；（2）①逐步檢查，即可找到錯(cuò)誤的地方，從而完成解答；②按照配方法的步驟進(jìn)行即可．【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：①檢查知，第四步開始出錯(cuò)，故答案為：四；②移項(xiàng)，得，配方，得，即， 兩邊開平方，得，解得：，，【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，配方法解一元二次方程等知識(shí)，掌握這兩個(gè)知識(shí)是關(guān)鍵．17．(1)(2) 【分析】（1）由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)及的面積可求得的長(zhǎng)；（2）由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義即可求得k的值．【詳解】（1）解：點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為6，，，，；（2）解：，，，由題意知，反比例函數(shù)的圖象在第四象限，．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，熟悉這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．(1)18(2)見解析 【分析】（1）由可得，由相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；（2）由，且公共，即可證明．【詳解】（1）解：，，，，，即的長(zhǎng)為18．（2）證明：，，，且公共，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題目靈活選取相似三角形的判定方法．19．(1)(2)見解析 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定得出是等邊三角形，，利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理確定，代入解析式求解即可確定函數(shù)解析式；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定，確定相應(yīng)k的值相等，即可證明【詳解】（1）解：∵軸，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，過點(diǎn)B作軸，∴，∴，∴；∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)B，∴．∴雙曲線的解析式為．（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴點(diǎn)C在雙曲線上．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，結(jié)合圖象，熟練運(yùn)用反比例函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．(1)見解析(2) 【分析】（1）由直徑所對(duì)的圓周角是直角，垂徑定理即可證得結(jié)論；（2）連接，證明，由相似三角形的性質(zhì)、勾股定理即可求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：是直徑，，是的中點(diǎn)，，；（2）解：連接，如圖，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，即，是直徑，，由勾股定理得：，．【點(diǎn)睛】本題是圓的簡(jiǎn)單綜合，考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同?。ǖ然。┧鶎?duì)的圓周角相等，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，題目雖然容易，關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用這些知識(shí)．21．(1)；；(2)或；(3)在y軸上存在一點(diǎn)P，使得與相似， 【分析】（1）把A坐標(biāo)代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；把B坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，確定出B坐標(biāo)，由A與B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定出直線AB解析式即可；（2）根據(jù)題意得出不等式的解集即為直線在反比例函數(shù)下面的部分，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果；（3）過點(diǎn)C作，交y軸于點(diǎn)P，根據(jù)直線解析式確定出C與D坐標(biāo)，得到的長(zhǎng)，由，得比例求出的長(zhǎng)，由求出的長(zhǎng)，即可確定出P坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把A代入反比例解析式得：，即，則反比例解析式為；∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，解得：，∴，把A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：由（1）得A，，∵，即為直線在反比例函數(shù)下面的部分，∴或；（3）解： P與O不重合，在y軸上存在一點(diǎn)P，使得與相似，理由為：過點(diǎn)C作，交y軸于點(diǎn)P，如圖所示，∵C、D兩點(diǎn)在直線上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴C、D的坐標(biāo)分別為，，∴，，，∵，∴=，即，解得：，∴，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上所示，P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定反比例解析式與一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．22．(1)，其中(2)280件(3)當(dāng)時(shí)，小黃獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3125元 【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）首先可判斷出購買的數(shù)量小于400而大于200，則由數(shù)量單價(jià)=付款額，列出關(guān)于x的一元二次方程即可求解；（3）分及兩種情況分別計(jì)算所獲的最大利潤(rùn)，再比較即可．【詳解】（1）解：由圖知，當(dāng)時(shí)，線段過點(diǎn)及，設(shè)過這兩點(diǎn)的線段解析式為：，則有：，解得：，即，其中；（2）解：由圖知，當(dāng)x=200時(shí)，所付款為：（元），當(dāng)x=400時(shí)，所付款為：（元），而，則購買數(shù)量位于200與400之間；由題意得：，即，解得：，（舍去），即此次批發(fā)量為280件；（3）解：當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，w有最大值，且最大值為3125；當(dāng)時(shí)，批發(fā)價(jià)固定，批發(fā)量越大，則利潤(rùn)越大，則當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為：（元）由于，所以當(dāng)時(shí)，小黃獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3125元．【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)與方程的綜合，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，正確理解題意，準(zhǔn)確列出方程或函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合．23．(1)見解析(2)(3)第三邊長(zhǎng)可為或或或 【分析】（1）直接根據(jù)“倍角三角形”求解即可；（2）構(gòu)造相似三角形來證明；延長(zhǎng)至D，是得；那么，再加上公共角，即可證得，由此得到所求的結(jié)論；（3）分6種情況根據(jù)（2）的結(jié)論直接計(jì)算即可．【詳解】（1）解：在中， ，，如圖，設(shè)，則，由勾股定理得： ∴． 在中， ，，如圖，∴設(shè)，則，由勾股定理得： ∴．（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，連接，∴為等腰三角形∴，，∴ 在和中∵ ∴，∴，∴，即∴，（3）由大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角可知，∵，∴，又∵三角形兩邊之和大于第三邊 ∴第三邊小于7 由（2）結(jié)論，①當(dāng)，時(shí)，，解得(舍去)②當(dāng)，時(shí)，，解得或（舍），∵，∴成立；③當(dāng)時(shí)，，解得：；∵，∴成立；④當(dāng)時(shí)，，解得或 (舍去)∵，∴成立； ⑤當(dāng)時(shí)，，解得或， ∵，∴成立； ⑥當(dāng)時(shí)，，解得或(舍去) ，∵，∴成立；∴第三邊長(zhǎng)可為或或或．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)得出（2）的結(jié)論是解本題的關(guān)鍵，要注意的是（3）題的情況較多，一定要分類討論，不要漏解． 

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