一、單選題
1．直線的傾斜角是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化直線一般式方程為斜截式，求出直線的斜率，由傾斜角的正切值等于直線的斜率求得傾斜角.
【詳解】由，得，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
，故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜截式方程的應(yīng)用以及直線斜率與直線傾斜角的關(guān)系，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于簡(jiǎn)單題.
2．冰糖葫蘆是中國(guó)傳統(tǒng)小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫蘆如圖1所示，若將山楂看成是大小相同的圓，竹簽看成一條線段，如圖2所示，且山楂的半徑（圖2中圓的半徑）為1，竹簽所在直線方程為，則與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行關(guān)系設(shè)直線方程為，利用直線與圓相切，則圓心到直線距離為圓半徑得到方程，解出即可.
【詳解】由題可設(shè)知與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為，
則與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為.
故選：B.
3．已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)重合，分別是的離心率，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線離心率的定義及之間的關(guān)系，即可求解.
【詳解】由橢圓的方程可得，
由橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)得，
則，
所以.
故選：C.
4．已知雙曲線，過點(diǎn)的直線與該雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．該直線不存在
【答案】D
【分析】設(shè)，代入雙曲線方程作差可得，若是線段的中點(diǎn)，則，則可得直線方程，檢驗(yàn)直線方程與雙曲線方程交點(diǎn)是否存在，即可確定直線的方程.
【詳解】解：設(shè)，且，代入雙曲線方程得，兩式相減得：
若是線段的中點(diǎn)，則，所以，即直線的斜率為，
所以直線方程為：，即；
但聯(lián)立，得，則，方程無(wú)解，所以直線不存在.
故選：D.
5．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，在線段上，且，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】建立空間直接坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間中點(diǎn)到平面距離公式即可求解.
【詳解】
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
.
設(shè)為平面的法向量，且，
則
即
取,
故點(diǎn)到平面的距離.
故選：B.
6．已知空間非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．既不充分也不必要條件
C．充要條件D．必要不充分條件
【答案】A
【分析】證明充分性則將代入等式即可，而若兩兩垂直，則等式成立，但，故必要性不成立，即可得到答案.
【詳解】充分性：當(dāng)時(shí)，成立；
不必要性：若兩兩垂直，則成立，但.
故選：A.
7．已知是函數(shù)的圖像上一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值（ ）
A．與有關(guān)，且與有關(guān)B．與有關(guān)，但與無(wú)關(guān)
C．與無(wú)關(guān)，但與有關(guān)D．與無(wú)關(guān)，且與無(wú)關(guān)
【答案】B
【分析】表示的是橢圓的部分，而是橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，為直線的傾斜角，則由橢圓的性質(zhì)和定義可得結(jié)論
【詳解】解：表示的是橢圓的部分，而是橢圓的左焦點(diǎn)，
設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，為直線的傾斜角，則
，當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)取等號(hào)，則只與有關(guān)，
故選：B
8．在棱長(zhǎng)為6的正方體中，為側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，若，三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正方體中面平面得在線段上，設(shè)，在中，由余弦定理得值，在三棱錐中設(shè)和外接圓的圓心分別為，由它們找出三棱錐外接球的球心（三棱錐外接球球心在過各面外心且與該面垂直的直線上），求得球半徑，從而得球表面積．
【詳解】如圖1，作平面，
正方體中，，平面，平面，則平面，同理平面，又，平面，
所以平面平面，
由題可得，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為6，
所以與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形.
設(shè)，在中，由余弦定理可得，解得或.
當(dāng)時(shí)，
外接圓的半徑外接圓的半徑.
如圖2，設(shè)和外接圓的圓心分別為，三棱錐外接球的球心為，半徑為，
平面,平面,平面與交點(diǎn)為,是中點(diǎn)，
由線面垂直的性質(zhì)定理得，，都與直線垂直，由與為平面中兩個(gè)相交直線得平面，
從而與平面內(nèi)的兩條直線垂直，是二面角的平面角，此二面角顯然是直二面角，
因此，即，所以是矩形，
則，
所以，代入數(shù)據(jù)得，
所以三棱錐外接球的表面積為.
當(dāng)時(shí)，同理可求得三棱錐外接球的表面積為，
當(dāng)或時(shí)，三棱錐的外接球?yàn)閮蓚€(gè)半徑相等的球體（等球體）.
故選：B．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，（1）常常由空間直線、平面間的位置關(guān)系確定，如利用面面平行得線面平行，由線面垂直得線線垂直從而得動(dòng)點(diǎn)是該平面與幾何體表面的交線；（2）與線段長(zhǎng)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)，則常常得出動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離相等，從而動(dòng)點(diǎn)在球面上，動(dòng)點(diǎn)軌跡中球面與幾何體表面的交線；（3）與角度有關(guān)的軌跡，常常確定動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)圓錐的側(cè)面上，動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓錐側(cè)面與幾何體表面的交線．
二、多選題
9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．該圓的圓心為B．該圓的半徑為
C．該圓過定點(diǎn)D．該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可直接判斷圓的圓心和半徑，從而可直接判斷A，B選項(xiàng)，再結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷C選項(xiàng)，最后求出圓與軸的交點(diǎn)，從而可求得弦長(zhǎng)，即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以A正確，B不正確；又因?yàn)?，所以該圓過原點(diǎn)，所以C正確；
在圓的方程中，令，則，即，得或，所以兩交點(diǎn)為和，因此該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，故D正確.
故選：ACD
10．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若向量共面，則它們所在的直線共面
B．若是四面體的底面的重心，則
C．若，則四點(diǎn)共面
D．若向量，則稱為在基底下的坐標(biāo)，已知在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為
【答案】BD
【分析】根據(jù)向量共面向量的性質(zhì)判斷A選項(xiàng)；根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即三角形重心坐標(biāo)公式判斷B選項(xiàng)；根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件及其推論判斷C選項(xiàng)；根據(jù)空間向量基底坐標(biāo)定義判斷D選項(xiàng).
【詳解】解：對(duì)于A，三個(gè)向量共面，所在直線不一定在一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令，又是底面的重心，
所以
，所以成立，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，而，由四點(diǎn)共面的推論可知，所以四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在基底下的坐標(biāo)為，則，故在基底下的坐標(biāo)為，故D正確.
故選：BD.
11．已知拋物線是該拋物線上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若直線過點(diǎn)，則
B．若，則線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1
C．若，則的最小值為
D．若，則
【答案】BCD
【分析】對(duì)A選項(xiàng)設(shè)，與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理即可判斷，對(duì)B選項(xiàng)利用拋物線定義和梯形中位線即可判斷，對(duì)C選項(xiàng)，利用拋物線定義和基本不等式即可得到最值，對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得到一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理兩根之積求出值，即求出直線所過定點(diǎn)，再結(jié)合面積表達(dá)式和基本不等式即可求出最值.
【詳解】設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，
A錯(cuò)誤.
，
則，
線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為B正確.
過焦點(diǎn)，即，
由A選項(xiàng)可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立，C正確.
，,
相乘得，聯(lián)立上式解得，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立
，得，
直線過定點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確.
故選：BCD.
12．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，其中，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．以為球心，為半徑的球面與底面的交線的長(zhǎng)度為
B．若直線與平面所成角的正弦值為，則
C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為
D．過三點(diǎn)作正方體的截面為截面上一點(diǎn)，則線段的最小值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)分析可得球面與底面的交線是以為圓心，1為半徑的弧，計(jì)算即可，即可判斷A，在圖中作出線面夾角，利用相似比得到，解出即可，即可判斷B，利用三棱錐體積公式和線段比以及面積比即可求出棱錐體積，即可判斷C，對(duì)D選項(xiàng)作出圖形，利用面面平行的性質(zhì)定理及平行四邊形性質(zhì)得到點(diǎn)位置，在利用三棱錐體積公式和等體積法求出三棱錐的高，即為點(diǎn)到平面的最小值.
【詳解】在正方體中，平面
平面與球的截面的圓心為，半徑為
以為球心，為半徑的球面與底面的交線是以為圓心，
1為半徑的段弧，
則交線的長(zhǎng)度為A正確.
連接交與點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在平面的投影點(diǎn)為，連接，
即為直線與平面的所成的角，記為，，
由相似比得,則,，則,
，即
，解得B錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí)，，
，
C正確.
設(shè)截面與平面交于在上，
截面平面，平面平面，
同理可證截面為平行四邊形，即是的中點(diǎn)，
當(dāng)平面時(shí)，取得最小值，
即為四棱錐的高，設(shè)為，又，
，解得D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)關(guān)鍵是要找到線面角，再利用正切的定義和參數(shù)得到其角的正切值的表達(dá)式，則得到方程；D選項(xiàng)的關(guān)鍵點(diǎn)是要找到點(diǎn)的位置，然后利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然本題也可以通過建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解答.
三、填空題
13．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.
【答案】
【分析】設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)直線，又中點(diǎn)在直線上，列方程求解，即可得點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】解：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為，則可得，又直線的斜率為
所以，即①
又中點(diǎn)在直線上，所以，即②
聯(lián)立①②解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：.
14．某學(xué)習(xí)小組研究一種如圖1所示的衛(wèi)星接收天線，發(fā)現(xiàn)其軸截面為圖2所示的拋物線形，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星信號(hào)波束呈近似平行的狀態(tài)射入，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處，已知衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該衛(wèi)星接收天線軸截面所在的拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為___________.
【答案】2.25####
【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將圖中點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到方程，即得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到距離.
【詳解】由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)拋物線的方程為，
由題意可得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程可得，
解得，所以拋物線的方程為，
焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，
所以焦點(diǎn)到灶底（拋物線的頂點(diǎn)）的距離為.
故答案為：2.25.
15．已知正三棱柱，底面邊長(zhǎng)是2，高是1，過底面一邊作與底面成角的截面，則其面積是___________.
【答案】
【分析】首先確定截面應(yīng)為四邊形，設(shè)截面為且與側(cè)棱延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，在中，求出，從而求出，然后再利用、求出、 ，再由可求解.
【詳解】首先，取中點(diǎn)，連接，，，
所以，，，平面，
所以平面，平面，所以，則為平面與底面所成角，
由，，
所以，所以，
所以截面為四邊形，如圖，設(shè)分別與的交點(diǎn)為，則截面為ABDE，
連接，設(shè)交于，設(shè)截面與側(cè)棱延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，
連接，易知即為截面與底面所成角，即，，
在中，得，∴，
由，得，∴，
，所以，
又，，所以，
所以.
故答案為：.
16．已知正數(shù)滿足，則___________.
【答案】##.
【分析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件可得，，可得四邊形為正方形，設(shè)，從而可求出，進(jìn)而可求得答案.
【詳解】設(shè)，
則四邊形為矩形，
因?yàn)椋?br>所以，
而，即，即，
所以，又是等邊三角形，所以過的中點(diǎn)，
所以矩形為正方形，由整個(gè)圖形的對(duì)稱性可知.
設(shè)，得，
，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
四、解答題
17．已知，由確定兩個(gè)點(diǎn).
(1)寫出直線的方程（答案含）；
(2)在內(nèi)作內(nèi)接正方形，頂點(diǎn)在邊上，頂點(diǎn)在邊上.若，當(dāng)正方形的面積最大時(shí)，求的值.
【答案】(1)直線方程為；
(2)，
【分析】（1）首先計(jì)算，分和得到直線方程即可；
（2）根據(jù)題意得到點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入（1）中的直線方程得到，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可得到邊長(zhǎng)最大值，即面積最大值.
【詳解】（1）由題意知當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為.
直線的方程為.
（2）由和四邊形為正方形可知，
，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以，
所以，
而正方形的面積最大，即最大，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圖中陰影部分的面積最大.
18．如圖，在四面體中，設(shè).
(1)若是的中點(diǎn)，用表示；
(2)若兩兩垂直，證明：為銳角三角形.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由空間向量的線性運(yùn)算的法則求解；
（2）用表示題中向量，然后證明數(shù)量積都大于0即可．
【詳解】（1）.
（2）證明：為銳角三角形，即證每一個(gè)角都是銳角，即證三對(duì)數(shù)量積都大于0，
因?yàn)閮蓛纱怪?，所以?br>因?yàn)?，?br>所以，
，
同理，所以為銳角三角形.
19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知關(guān)于的方程.
(1)當(dāng)為何值時(shí)，該方程表示圓？并求出半徑最大的圓的方程.
(2)已知，當(dāng)（1）中圓的半徑取最大時(shí)，該圓上是否存在點(diǎn)，滿足？若存在，求出點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)，
(2)存在，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2
【分析】（1）先將方程變形，然后由其表示圓可得，可求出的范圍，從而可求出半徑的最大值，進(jìn)而可求得圓的方程；
（2）由（1）知，圓，假設(shè)圓上存在點(diǎn)滿足條件，則可得，然后由兩圓的位置關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】（1）
，
當(dāng)，即時(shí)，方程表示圓.
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，半徑最大，
此時(shí)圓的方程為.
（2）由（1）知，圓，
假設(shè)圓上存在點(diǎn)，使得
∴，
，即得到圓的方程.
所以滿足圓和另一個(gè)圓的方程，
兩圓相交，
點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.
20．如圖1，在四邊形中，.將沿翻折到的位置，使得平面平面，如圖2所示.
(1)設(shè)平面與平面的交線為，證明：.
(2)若點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與端點(diǎn)重合），平面與平面夾角的正弦值為，求的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，得線面垂直，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)得線性垂直即可；
（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合空間坐標(biāo)運(yùn)算確定平面與平面夾角余弦公式求解，即可求的值.
【詳解】（1）證明：，且.
平面平面，且交線為，又平面，
平面，又是平面與平面的交線，
平面
.
（2）解：由（1）知，平面，平面平面，且交線為，又
平面，所以平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸?軸，過作，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，設(shè)，
則，
所以.
設(shè)是平面的法向量，
則，取.
由（1）知，平面
是平面的一個(gè)法向量.
平面與平面夾角的正弦值為
，
，整理得：，
解得，即.
21．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，且右頂點(diǎn)到漸近線的距離為是雙曲線上位于軸上方的兩點(diǎn)，且.
(1)求雙曲線的方程；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用點(diǎn)線距離公式求得右頂點(diǎn)到漸近線的距離，從而根據(jù)題意得到關(guān)于的方程組，解之即可求得雙曲線的方程；
（2）利用雙曲線的對(duì)稱性得到，從而將轉(zhuǎn)化為，再利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合韋達(dá)定理即可求得的值.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線為，即，
所以右頂點(diǎn)到漸近線的距離為，
所以，解得，
故雙曲線的方程為.
（2）因?yàn)?，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)，
由雙曲線的對(duì)稱性可知，
設(shè)，
所以，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去，得，
則，
由韋達(dá)定理得，
故，
，
所以.
22．已知橢圓，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，且兩切線垂直.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知橢圓的上頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過兩點(diǎn)的圓與交于兩點(diǎn)，直線分別交橢圓于異于的兩點(diǎn).證明：直線過定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)出切線方程，代入橢圓方程，由判別式等于0，得兩切線斜率 的積，由此可求得得橢圓方程；
（2）圓心在直線上，設(shè)，由求得，設(shè)直線方程為，直線方程代入橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后計(jì)算，由，，從而可求得參數(shù)值，即得直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）設(shè)切線方程為，代入得，
由，得，兩條切線的斜率分別為，則是方程的兩解，所以，，
由兩切線垂直得，．
故橢圓的方程為.
（2）證明：由題意圓心在直線上，設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，則.
由題意知直線的斜率存在，設(shè)方程為，
聯(lián)立得，
則，
.
因?yàn)椋?br>所以
，
即，解得或（舍去），
直線的方程為，過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中與曲線相交的直線過定點(diǎn)問題，一般采取“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)直線方程為，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程代入圓錐曲線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算其它量（如斜率、弦長(zhǎng)等）并利用其滿足的性質(zhì)求得參數(shù)值或參數(shù)關(guān)系后由直線方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)．

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