一、單選題
1．已知空間向量，且，則x=（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】C
【分析】利用向量平行列方程直接求得.
【詳解】因為空間向量，且，
所以，解得：.
故選：C
2．直線的一個方向向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結果.
【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量為，
又因為與共線，所以的一個方向向量可以是，
故選：A.
3．雙曲線的焦距等于（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】D
【分析】由題意可知， ，，解出，即可知焦距.
【詳解】由題意可知： ， ，
，解得，
即雙曲線的焦距等于，
故選：D.
4．圓與圓的公共弦長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】兩圓的一般方程相減得到公共弦所在直線的方程，可與任一圓聯(lián)立方程求出交點坐標，根據(jù)兩點間距離公式得到公共弦長.
【詳解】聯(lián)立方程：，
兩式相減可得公共弦方程，
方法一：聯(lián)立方程：
得，得 ，，即公共弦的端點坐標為，
根據(jù)點到直線距離公式可得公共弦長為
方法二：圓的圓心坐標為，半徑為
圓心到公共弦的距離為，公共弦長為
故選:B
5．袋內裝有大小、形狀完全相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，設事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說法中正確的是（ ）
A．A與B是互斥事件B．A與B不是相互獨立事件
C．B與C是對立事件D．A與C是相互獨立事件
【答案】B
【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件和相互獨立事件的定義判斷即可.
【詳解】根據(jù)題意可知，事件和事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯；
不放回摸球，第一次摸球對第二次摸球有影響，所以事件和事件不相互獨立，故B正確；
事件的對立事件為“第二次摸到黑球”，故C錯；
事件與事件為對立事件，故D錯.
故選：B.
6．在正四面體ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AC的中點，則異面直線AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出輔助線，找到異面直線AE，F(xiàn)G所成角，設出正四面體的邊長，表達出其他邊長，利用余弦定理求出答案.
【詳解】連接DE，因為點F，G分別為棱CD，AC的中點，
所以FGAD，
所以或其補角為異面直線AE，F(xiàn)G所成角，
設正四面體的邊長為a，
則，，
由余弦定理得：，
所以異面直線AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為.
故選：C
7．已知橢圓C：的左、右焦點分別為(-c，0)，(c，0)，若橢圓C上存在一點M使得的內切圓半徑為，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用的面積相等，得到，得到，消去b，整理化簡求出離心率的取值范圍.
【詳解】的面積為.
因為的內切圓半徑為，所以的面積可表示為.
所以，所以.
因為，所以.
兩邊平方得：，
而，所以，整理得：,
因為離心率，所以，解得：.
故選：A.
8．如圖，三棱柱滿足棱長都相等且平面，D是棱的中點，E是棱上的動點．設，隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是（ ）
A．先增大再減小B．減小C．增大D．先減小再增大
【答案】D
【分析】以中點為坐標原點，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標系.
設所有棱長均為2，則，通過空間向量來求二面角的，故在上單增， 上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.即可得出結果.
【詳解】
以中點為坐標原點，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標系.
設所有棱長均為2，則，,，，設平面BDE法向量,
則，令有，
故.
又平面ABC的法向量，故平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角的余弦值
，又，故在上單增， 上單減，
即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.
故選：D.
【點睛】本題考查了用空間向量求二面角的余弦值，考查了解決問題能力和計算能力，屬于中檔題目.
二、多選題
9．甲、乙兩人在高二的6次數(shù)學成績統(tǒng)計的折線圖如圖所示，下列說法中正確的是（ ）
A．若甲、乙兩組成績的平均數(shù)分別為，，則
B．若甲、乙兩組成績的方差分別為，則
C．甲成績的中位數(shù)大于乙成績的中位數(shù)
D．甲成績的極差大于乙成績的極差
【答案】AC
【分析】對四個選項一一判斷：根據(jù)折線圖直接判斷選項A、B、D；分析甲乙的中位數(shù)，判斷C.
【詳解】由折線圖可知,甲同學除第二次考試成績略低于乙同學,其他次考試成績都高于乙同學,所以.故選項A正確；
由折線圖的變化趨勢可知,甲同學的成績比乙同學的成績穩(wěn)定,由方差的意義可得.故選項B錯誤；
由折線圖可得甲同學的成績的第3和第4均大于90，乙同學的成績的第3和第4均小于90，所以甲成績的中位數(shù)大于乙成績的中位數(shù). 故選項C正確；
因為極差為數(shù)據(jù)樣本的最大值與最小值的差,所以甲同學成績的極差小于乙同學成績的極差,故選項D錯誤.
故選:AC
10．如圖，已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為，，其頂點都在同一球面上，且該球的表面積為，則側棱長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)球的表面積公式可求得球的半徑；作出截面，設外接球球心為，棱臺底面的中心分別為，分別討論在四邊形內和在四邊形外兩種情況，結合勾股定理可求得棱臺的高，進而可得側棱長.
【詳解】正四棱臺的外接球表面積，解得：，即球的半徑為；
，，
作出截面，設外接球球心為，棱臺底面的中心分別為，
若在四邊形內，如下圖所示，
，，
，
，即棱臺側棱長為；
若在四邊形外，如下圖所示，
，，
，
，即棱臺側棱長為；
綜上所述：側棱長為或.
故選：AD.
11．設圓O，直線，P為l上的動點．過點P作圓O的兩條切線PA，PB，切點為A，B，則下列說法中正確的是（ ）
A．直線l與圓O相交
B．直線AB恒過定點
C．當P的坐標為時，最大
D．當最小時，直線AB的方程為
【答案】BCD
【分析】求出圓心O到直線的距離.對于A：由直接判斷；對于B：設.求出以為直徑的圓D的方程，得到直線AB：.證明直線AB恒過定點.對于C：先判斷出
要使最大，只需最大.在直角中，由.求出最小時P ，即可判斷；對于D：利用面積相等得到要使最小，只需最小，即時，得到P的坐標為，求出直線AB.
【詳解】圓O的半徑.
設圓心O到直線的距離為d，則.
對于A：因為，所以直線l與圓O相離.故A錯誤；
對于B：P為上的動點，可設.
因為PA，PB為過點P作圓O的兩條切線，所以.
所以四點共圓，其中為直徑.
設的中點為,則,
所以圓D為，即.
所以直線AB為圓D和圓O的相交弦，兩圓方程相減得：.
即直線AB：.
由解得：，所以直線AB恒過定點.故B正確；
對于C：因為和為直角三角形，且,所以，
所以，所以.
要使最大，只需最大.
在直角中，.
要使最大,只需最小，所以當時，最小，此時，所以，所以直線.
由，解得：，即當P的坐標為時，最大.故C正確；
對于D：因為直線AB為圓D和圓O的相交弦，所以，且被平分.
所以四邊形的面積為.
而四邊形的面積還可以表示為
所以.
要使最小，只需最小，即時，得到P的坐標為.
所以圓,
兩圓相減得到直線AB：.故D正確.
故選：BCD.
12．給定兩個不共線的空間向量與，定義叉乘運算：．規(guī)定：①為同時與，垂直的向量；②，，三個向量構成右手系（如圖1）；③ ．如圖2，在長方體中，
則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)新定義空間向量的叉乘運算依次判斷選項即可.
【詳解】在長方體中，AB=AD=2，，
A：同時與垂直，，
又因為，所以，且，構成右手系，
故成立，故A正確；
B：根據(jù)三個向量構成右手系，可知，，
則，故B錯誤；
C：，且與同向共線，
，且與同向共線，
又，且與同向共線，即與同向共線，所以，且與同向共線，
所以，故C正確；
D：長方體的體積，
，所以，故D正確.
故選：ACD
三、填空題
13．雙曲線的漸近線方程是_________________.
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程的求法，求得雙曲線的漸近線.
【詳解】雙曲線的漸近線為，所以雙曲線的漸近線方程是.
故答案為
【點睛】本小題主要考查雙曲線漸近線方程的求法，屬于基礎題.
14．在平行六面體中，°，則=___________．
【答案】
【分析】利用空間向量基本定理，得到，即可求出.
【詳解】在平行六面體中，.
因為，所以.
所以
.
故答案為：
15．甲?乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲?乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響，則“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率為___________.
【答案】
【分析】兩輪活動猜對3個成語,相當于事件“甲猜對1個,乙猜對2個”、事件“甲猜對2個,乙猜對1個”的和事件發(fā)生,根據(jù)獨立事件概率求法,即可得解.
【詳解】解：設分別表示甲兩輪猜對1個,2個成語的事件,分別表示乙兩輪猜對1個,2個成語的事件.根據(jù)獨立事件的性質,可得
設A=“兩輪活動‘星隊’猜對3個成語”,則,且與互斥,與,與分別相互獨立,
所以
因此,“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是.
故答案為：
16．矩形ABCD中，，，現(xiàn)將沿對角線AC向上翻折，設二面角的平面角為，當在內變化時，BD的范圍為______.
【答案】
【分析】分別過點，作，根據(jù)，計算，得到答案.
【詳解】如圖1，分別過點，作，垂足分別為F，E，
則在四面體中也滿足．
因為，，所以，，
則，．
在四面體ABCD中，，
因為二面角的平面角為θ，且，
所以和的夾角為，
所以
因為，所以，則．
故答案為：
四、解答題
17．在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，，求△ABC的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行求解即可；
（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式進行求解即可.
【詳解】（1）由正弦定理可得，
又，所以，因此，
又，所以；
（2）由余弦定理，得，
所以，
所以△ABC的面積.
18．第19屆亞運會將在杭州舉行．某高校承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組[45，55），第二組[55，65），第三組[65，75），第四組[75，85），第五組[85，95），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．
(1)求a，b的值；
(2)估計這100名候選者面試成績的眾數(shù)、平均數(shù)和第60百分位數(shù)（精確到0.1）；
(3)在第四、五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自同一組的概率．
【答案】(1)；
(2)眾數(shù)：70，平均數(shù)等于，第60百分位數(shù)等于；
(3).
【分析】（1）因為第三、四、五組的頻率之和為0.7，求出；利用頻率和為1，求出；
（2）由頻率分布表進行數(shù)據(jù)分析，分別求出眾數(shù)，平均數(shù)和第60百分位數(shù)；（3）先判斷出從在第四、五兩組志愿者中分別抽取了4人和1人，利用古典概型的概率公式即可求解.
【詳解】（1）因為第三、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得.
由頻率和為1，即，解得：.
（2）由頻率分布表進行數(shù)據(jù)分析可得：眾數(shù)為70；
平均數(shù)等于，
第60百分位數(shù)等于：
（3）可知從在第四、五兩組志愿者中分別抽取了4人和1人．
故選出的兩人來自同一組的概率為．
19．已知圓C經(jīng)過點M（0，-2）和N（3，1），圓心C在直線上．直線l的方程為
(1)求圓C的標準方程；
(2)求直線l被圓C截得的弦長的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最長等于6；最短等于4
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出圓C的標準方程；（2）先判斷出直線l過定點P（2，-2），得到最長弦為直徑，利用垂徑定理求出最短弦.
【詳解】（1）因為圓心C在直線上，所以可設
由圓C經(jīng)過點M（0，-2）和N（3，1），可得：
解得：，即圓心坐標為，所以半徑.
所以圓C的標準方程.
（2）將直線l的方程整理為，
令得，故直線l過定點P（2，-2）.
又點P在圓C內，
故當直線l與直線PC重合時，弦長最長，等于直徑長為6；
當直線l與直線PC垂直時，弦長最短，此時圓心到l的距離為，由垂徑定理得，弦長為．
20．如圖，在棱長為 的正方體中，點 ，分別為棱， 的中點．
(1)求直線與直線 間的距離：
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)直線與直線 間的距離為：.
(2)直線與平面所成角的正弦值為：．
【分析】（1）根據(jù)題意可知四邊形 是菱形，運用勾股定理、菱形面積公式即可解得直線與直線 間的距離.
（2）建立空間直角坐標系，直接按照線面角的向量求法求解即可．
【詳解】（1）解： 在棱長為 的正方體中，點 ，分別為棱， 的中點．
由題意可知：，、、、四點共面，
根據(jù)勾股定理可得： ，
四邊形 是菱形，
， ，
，
，
直線與直線 間的距離為：.
（2）以 為原點，以所在的直線為 軸，以 所在的直線為軸， 所在的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.
則，， ，，，，
，，，
設平面的法向量為 ，
則，即 ，故令，則，，
平面的法向量為：，
，
設直線與平面所成角為 ，
則，，
直線與平面所成角的正弦值為：.
21．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，，且．
(1)求證：AC⊥平面BDEF：
(2)若M為線段DE上的一點，滿足直線AM與平面ABF所成角的正弦值為，求線段DM的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先做輔助線，再利用線面垂直判定定理判定定理證明.
（2）建立直角坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量，再通過直線與平面所成角的正弦值計算公式求解即可得到答案.
【詳解】（1）證明：設AC與BD相交于點O，連接FO．
∵四邊形ABCD為菱形， ∴
為中點，， ∴．
又，BD平面BDEF，F(xiàn)O平面BDEF
∴AC⊥平面BDEF．
（2）連接DF
∵四邊形BDEF為菱形，且，
∴為等邊三角形．
∵O為BD的中點，
∴
又，BD平面ABCD，AC平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD．
∴OA、OB、OF兩兩互相垂直
如圖，以O為坐標原點，OA、OB、OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴
∵△BDF為等邊三角形，
∴
設,則
設平面ABF的法向量為
則，令，則，故
則，
解得，即線段DM的長為.
故答案為.
22．在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為．點P是橢圓E上的一個動點，且P在第一象限．記的面積為S，當時，．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)如圖，，的延長線分別交橢圓于點M，N，記和的面積分別為和．求證：存在常數(shù)λ，使得成立．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題得關于的方程組，解方程組即得解；
（2）設，，，解方程組求出的值，再求出即得證.
【詳解】（1）由題得. 所以當時，.
由已知得，且，，
所以，從而，所以橢圓E的方程為.
（2）根據(jù)橢圓的對稱性，可設，，，
則即，
因為，直線PM與直線PN的斜率均不為零，
所以設直線PM的方程為（其中
直線PN的方程為（其中，
聯(lián)立，得，所以，
所以，所以，
由，得，所以
所以，所以，
所以，
所以
即存在常數(shù)，使得成立．
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.

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