2022-2023學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)合體高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,以及虛部的定義,即可求解.【詳解】故的虛部為-2.故選：2．某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名。現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為，依題意可得，解得.故選：C.3．若，則的值等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦二倍角公式,即可求得式子的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以故選:.4．若數(shù)列為等比數(shù)列，且是方程的兩根，則的值等于（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得,,故所以故選: .5．圓與圓的公切線的條數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，從而判斷出公切線的條數(shù).【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，，所以兩圓相交，公切線有條.故選：B6．已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)，且最小值為，則雙曲線離心率取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別討論經(jīng)過焦點(diǎn)的直線與雙曲線的交點(diǎn)在同一支上和直線與雙曲線的交點(diǎn)在兩支上這兩種情況,列出不等式,計(jì)算即可得到范圍．【詳解】①當(dāng)經(jīng)過焦點(diǎn)的直線與雙曲線的交點(diǎn)在同一支上,可得雙曲線的通徑最小,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，過的直線與雙曲線左支相交于，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為可得,即有，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，消去，得，，由，解得或，所以，所以當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，的長(zhǎng)最小，即最小值為②當(dāng)直線與雙曲線的交點(diǎn)在兩支上,可得當(dāng)直線的斜率為0時(shí), 最小為由①②及題意可得,即為,即有,則離心率.故選: .7．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，則當(dāng)時(shí)，直線的斜率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先設(shè)直線,把直線與拋物線聯(lián)立,結(jié)合,找到 與關(guān)系式,計(jì)算即可得到斜率.【詳解】由題意知,設(shè)直線:,聯(lián)立方程,可得,即得 ①又因?yàn)?/span>,可得,②結(jié)合①②,可得,因?yàn)?/span>,,又因所以即可得故選:.8．在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)在矩形所在平面內(nèi)，且滿足.若，則的取值不可能為（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)已知條件建系計(jì)算,結(jié)合向量運(yùn)算和輔助角公式,計(jì)算范圍即可【詳解】根據(jù)矩形,,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,分別為軸,則,又因，則,即設(shè)且，所以可取-1,1,2；又，所以的取值不可能為3.故選:. 二、多選題9．在某市高二舉行的一次期中考試中，某學(xué)科共有2000人參加考試.為了了解本次考試學(xué)生成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（成績(jī)均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本容量為.按照的分組作出頻率分布直方圖，如圖所示.其中，成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16.則下列結(jié)論正確的有（    ）A．樣本容量B．圖中C．估計(jì)該市全體學(xué)生成績(jī)的平均分為分D．該市要對(duì)成績(jī)由高到低前的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)，則成績(jī)?yōu)?/span>78分的學(xué)生肯定能得到此稱號(hào)【答案】BC【分析】根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系即可判斷A；根據(jù)頻率之和等于，即可判斷B；根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)的求解方法即可判斷C；根據(jù)題意得，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)槌煽?jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，所以樣本容量，故A不正確；對(duì)于B：因?yàn)?/span>，解得，故B正確；對(duì)于C：學(xué)生成績(jī)平均分為：，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?/span>，即按照成績(jī)由高到低前的學(xué)生中不含分的學(xué)生，所以成績(jī)?yōu)?/span>分的學(xué)生不能得到此稱號(hào)，故D不正確.故選： .10．已知正方體，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則下述正確的有（    ）A．與平面所成角為B．C．二面角的余弦值為D．平面【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)三棱錐為正三棱錐，得到平面，即可得到為與平面所成角，然后求角即可；B選項(xiàng)：根據(jù)正方體的性質(zhì)得到，，即可推出平面，，同理得到，根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得到；C選項(xiàng)：根據(jù)，得到為二面角的平面角，然后求二面角的余弦值即可；D選項(xiàng)：根據(jù)平面∥平面和面面平行的性質(zhì)即可得到∥平面.【詳解】A選項(xiàng)：設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，取中點(diǎn)，連接，為靠近的三等分點(diǎn)，根據(jù)題意可得，，所以三棱錐為正三棱錐，F為正三角形BC1D中心，所以 平面，為與平面所成角，，所以，所以與平面所成角不是，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：連接，因?yàn)?/span>為正方體，所以，平面，因?yàn)?/span>平面，所以，因?yàn)?/span>，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，同理可得，因?yàn)?/span>，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，故B正確；C選項(xiàng)：連接，因?yàn)?/span>，為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，，平面平面，所以為二面角的平面角，又，，所以，故C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?/span>為正方體，所以，，又，平面，，平面，所以∥平面，∥平面，因?yàn)?/span>，，平面，所以平面∥平面，因?yàn)?/span>平面，所以∥平面，故D正確.故選：BCD.11．如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，.設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則（    ）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)由累加法可得，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)可判斷A.B.C,根據(jù)裂項(xiàng)相消法則可判斷D.【詳解】由題意得，，，，…，，以上個(gè)式子累加可得，又滿足上式，所以，由已知，，，，，得,故正確;因?yàn)?/span>,則,故錯(cuò)誤; 由通項(xiàng)公式得,故正確；由，得，故D正確.故選：.12．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，則下列命題正確的有（    ）A．若直線的斜率為，直線的斜率，則B．若有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)使得為等腰直角三角形，則C．取值范圍為D．周長(zhǎng)的最大值為8【答案】BCD【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)斜率、等腰直角三角形、向量數(shù)量積、三角形的周長(zhǎng)、橢圓的定義 知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)，不妨設(shè)在軸的上方，，A選項(xiàng)，,，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若等腰三角形中，，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，只能是上下頂點(diǎn)，由，但只有一個(gè)值，不符合題意.若，，則，，依題意，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)根舍去）.當(dāng)時(shí)，同理可求得，此時(shí).綜上所述，若有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)使得為等腰直角三角形，則，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，由于，所以，，所以取值范圍為，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為,其中，當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)等號(hào)成立，所以的周長(zhǎng)的最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】本小題是考查橢圓有關(guān)知識(shí)的多選題，每個(gè)選項(xiàng)都可以作為一個(gè)獨(dú)立的小問.四個(gè)選項(xiàng)都涉及到的坐標(biāo)，這是貫穿整個(gè)題目的.在研究斜率、向量數(shù)量積時(shí)，可利用坐標(biāo)運(yùn)算來進(jìn)行求解，在求周長(zhǎng)的最值時(shí)，可利用定義法去轉(zhuǎn)化. 三、填空題13．已知數(shù)列滿足前項(xiàng)和，則通項(xiàng)公式為___________.【答案】【分析】利用當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), ,即可得出.【詳解】根據(jù)已知條件當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), 綜上,可得故答案為: 14．若雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的取值為___________.【答案】5【分析】根據(jù)雙曲線的定義分點(diǎn)在左支上和右支上兩種情況求即可.【詳解】根據(jù)雙曲線的定義可得，，所以點(diǎn)可以在左支上，此時(shí)，解得；，所以點(diǎn)不可能在右支上，綜上可得.故答案為：5.15．在三棱錐中，，則三棱錐的外接球表面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)外接球半徑與底面外接圓半徑，高度的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>,由余弦定理得,由題由正弦定理得，外接圓直徑為，得，因?yàn)?/span>由勾股定理得又因?yàn)?/span>由勾股定理得,平面,平面,,所以平面設(shè)球心到平面的距離為，所以，所以三棱錐的外接球半徑為，則三棱錐的外接球表面積為故答案為: 16．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，則四邊形面積最大值為___________.【答案】##【分析】設(shè)直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，設(shè)，由韋達(dá)定理表示，令，轉(zhuǎn)化為求利用配方法求的最值可得答案.【詳解】圓，，由題意直線的斜率不為， 設(shè)直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立得，，設(shè)，所以，所以，所以，令，則，則，當(dāng)時(shí)有最大值，所以有最大值，此時(shí)，即.故答案為：. 四、解答題17．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若的面積為，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件及正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式的逆用及三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)的特殊角即可求解.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的面積公式及余弦定理即可求解.【詳解】（1）由及正弦定理，得，即因?yàn)樵?/span>中，，所以又因?yàn)?/span>，所以，又，所以.（2）由（1）知，，因?yàn)?/span>的面積為，所以，即，由余弦定理，又，所以.18．江蘇省高考目前實(shí)行“3+1+2”模式，其中“3”指的是語(yǔ)文?數(shù)學(xué)，外語(yǔ)這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理?歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治?地理?化學(xué)?生物這4門再選科目中選擇2門.已知南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學(xué)?生物至少1門.(1)從所有選科組合中任意選取1個(gè)，求該選科組合符合南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率；(2)假設(shè)甲?乙?丙三人每人選擇任意1個(gè)選科組合是等可能的，求這三人中至少有兩人的選科組合符合南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用古典概型求概率的方法求概率即可；（2）根據(jù)互斥事件概率加法公式求概率即可.【詳解】（1）用分別表示“選擇物理”“選擇歷史”，用分別表示選擇“選擇化學(xué)”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間，，設(shè)“從所有選科組合中任意選取1個(gè)，該選科組合符合南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”則，，.（2）設(shè)甲?乙?丙三人每人的選科組合符合南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的事件分別是，由題意知事件相互獨(dú)立.由（1）知.記“甲?乙?丙三人中至少有兩人的選科組合符合南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，則易知以上子事件兩兩互斥，根據(jù)互斥事件概率加法公式得.19．如圖，是矩形所在平面外一點(diǎn)，且平面平面分別是線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)根據(jù)已知條件構(gòu)造平行四邊形證明線線平行,再根據(jù)線面平行判定定理可證.(2)根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得出是三棱錐的高,利用已知條件求相關(guān)量,應(yīng)用等體積法,計(jì)算即可求出【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，在中，因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，所以；因?yàn)?/span>是矩形邊中點(diǎn)，所以；所以；即四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)?/span>平面平面，故平面（2）如圖，設(shè)，連接，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面平面，故平面，即是三棱錐的高；由矩形邊，得所以因?yàn)?/span>，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由（1）知點(diǎn)到平面的距離也為因?yàn)?/span>，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.20．已知數(shù)列和滿足，且，設(shè).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，且，設(shè)的前項(xiàng)和為，判斷并證明的單調(diào)性.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增，證明見解析 【分析】(1)首先構(gòu)造等差數(shù)列,再應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求.(2)由(1)結(jié)合得到的通項(xiàng)公式,應(yīng)用錯(cuò)位相減法求得,再作差比較證明單調(diào)性即可.【詳解】（1）由，等式兩邊同除以得，即即又，所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故.（2）單調(diào)遞增，理由如下：由得，又故是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，又由（1）知則作差得故因?yàn)楫?dāng)時(shí)所以單調(diào)遞增.21．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且軸被圓所截得的弦長(zhǎng)恒為4，直線.(1)求圓心的軌跡方程；(2)若直線過點(diǎn)且與的軌跡交于兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的大小；(3)若的軌跡上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)已知條件及半徑的定義，再利用兩點(diǎn)的距離公式及點(diǎn)到線的距離公式，結(jié)合半徑、弦長(zhǎng)及弦心距的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)已知條件求出直線方程，直線與拋物線聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解；（3）根據(jù)已知條件設(shè)出直線的方程，直線與線聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理及判別式，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)在直線上即可求解.【詳解】（1）設(shè)，圓的半徑，圓心到軸的距離，由題意得，化簡(jiǎn)得.（2）由題，設(shè)，由,得，則，因?yàn)?/span>，，所以，即.（3）設(shè)點(diǎn)為的軌跡上關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn).則可設(shè)直線方程為，由得，應(yīng)有，即，此時(shí)，則，由題點(diǎn)應(yīng)在直線上，即，解得，所以的取值范圍為.22．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，橢圓上頂點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn)，且面積的最大值為，橢圓的離心率小于.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，問：是否存在過原點(diǎn)的直線，使得與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為，與直線交于點(diǎn)，且滿足.若存在，求出的方程，不存在請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】(1)由已知條件求出,寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可.(2)先設(shè)直線方程,再由已知條件結(jié)合弦長(zhǎng)公式分別求出,和,代入計(jì)算即可.【詳解】（1）由題，解得或，因?yàn)?/span>，所以所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）假設(shè)存在直線滿足題意，由題直線斜率，設(shè)直線由題直線方程為且由，可得，由弦長(zhǎng)公式可得，同理由題，即由得，由得故由得，即，所以直線方程為 

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