一、單選題
1．直線的傾斜角為
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出．
【詳解】設(shè)直線x+y﹣1=0的傾斜角為α．
直線x+y﹣1=0化為．
∴tanα=﹣．
∵α∈[0°，180°），
∴α=150°．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
2．已知橢圓，則該橢圓的焦距為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用橢圓的性質(zhì)以及即可求解.
【詳解】由，則，，
所以，
所以，
所以該橢圓的焦距為.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了基本知識(shí)的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.
3．已知直線：，與：平行，則a的值是（ ）
A．3B．C．3或D．3或5
【答案】D
【分析】利用直線與直線平行列式計(jì)算并判斷即可作答.
【詳解】由解得或，
當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，有，
當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，有，
所以a的值是3或5.
故選：D
4．已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圖形可得，根據(jù)比例關(guān)系可得，，再根據(jù)向量減法，代入整理并代換為基底向量．
【詳解】
即
故選：D．
5．如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意將三棱柱補(bǔ)成如圖所示長(zhǎng)方體，連接，CD，則可得即為異面直線與所成角（或補(bǔ)角），然后在中利用余弦定理可求得結(jié)果
【詳解】把三棱柱補(bǔ)成如圖所示長(zhǎng)方體，連接，CD，則，
所以即為異面直線與所成角（或補(bǔ)角）．
由題意可得，
，，
所以．
故選：B．
6．若直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖，直線恒過點(diǎn)，曲線表示出以為圓心，2為半徑的右半圓，求出直線與圓相切時(shí)的斜率和直線過點(diǎn)的斜率，從而可求出答案.
【詳解】如圖，直線恒過點(diǎn)，曲線表示出以為圓心，2為半徑的右半圓，
設(shè)直線與半圓相切于點(diǎn)，則
，解得（舍去）或，
所以，
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)橹本€與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，
所以，
故選：A
7．已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn).則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，再由，判斷點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于6的橢圓，再寫出橢圓的方程.
【詳解】圓，圓心為，半徑為6，
由垂直平分線的性質(zhì)得：，
，
又，
點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于6的橢圓，
，，
即，，
，
點(diǎn)的軌跡方程是；
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓中的軌跡問題，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
8．如圖所示，橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，直線與BF交于點(diǎn)D，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)左頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)，由兩點(diǎn)間斜率公式求出直線的斜率與直線的斜率，由題意，直線的斜率與直線的斜率的積為，聯(lián)立橢圓中，即可求出橢圓的離心率．
【詳解】解：設(shè)左頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)
則直線的斜率為，直線的斜率為，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
又，所以，
所以，解得，
因?yàn)?，所以?br>故選：B．
二、多選題
9．口袋里裝有2紅，2白共4個(gè)形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，事件“取出的兩球同色”，“第一次取出的是紅球”，“第二次取出的是紅球”，“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的（ ）
A．A與B相互獨(dú)立.B．A與D互為對(duì)立.C．B與C互斥.D．B與D相互獨(dú)立；
【答案】ABD
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的事件的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷AD，根據(jù)對(duì)立事件，互斥事件的定義可判斷BC.
【詳解】由題可得，，，
，，
所以，，
所以 A 與 B 相互獨(dú)立，B 與 D 相互獨(dú)立，故AD正確；
對(duì)于B，由題意知，取出兩個(gè)球要么顏色相同，要么顏色不同，即 A 與 D 互為對(duì)立事件，故B正確；
對(duì)于C， “第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”， C 與 D 可能同時(shí)發(fā)生，故C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
10．下列四個(gè)命題中真命題有（ ）
A．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率
B．已知直線與直線平行，則平行線間的距離是1
C．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為
D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為
【答案】AC
【分析】對(duì)A：根據(jù)直線傾斜角和斜率的相關(guān)知識(shí)，即可判斷；對(duì)B：根據(jù)直線平行求得參數(shù)，再利用平行線之間的距離公式求解兩平行直線之間的距離，即可判斷；對(duì)C：設(shè)出所求對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線，以及直線斜率之間的關(guān)系，即可求得結(jié)果，從而判斷；對(duì)D：考慮直線經(jīng)過原點(diǎn)的情況，即可判斷；
【詳解】對(duì)A：任意一條直線都有傾斜角，但直線傾斜角為時(shí)，沒有斜率，故A正確；
對(duì)B：直線與直線平行，故可得，解得，
則直線，即，則兩平行線之間的距離，B錯(cuò)誤；
對(duì)C：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，且，
解得，故點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，C正確；
對(duì)D：經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1
B．直線的方程為
C．線段的長(zhǎng)為
D．取圓上點(diǎn)，則的最大值為
【答案】BD
【分析】對(duì)A：求得到直線的距離，結(jié)合圓的半徑，即可判斷；對(duì)B：根據(jù)兩圓相交弦方程的求解，結(jié)合已知條件，求解即可；對(duì)C：根據(jù)弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；對(duì)D：求得的參數(shù)表達(dá)形式，結(jié)合三角函數(shù)的最值，即可求得結(jié)果.
【詳解】對(duì)A：到直線的距離，又圓的半徑，
故圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，A錯(cuò)誤；
對(duì)B：圓和圓相交于兩點(diǎn)，
故直線的方程為：，即，故B正確；
對(duì)C：圓心到直線的距離，故，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：圓，即，
因?yàn)樵趫A上，故可設(shè)，
則，
又的最大值為，故的最大值為，D正確.
故選：BD.
12．正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若面，則下列說法正確的是（ ）
A．過點(diǎn)，，的截面為菱形
B．三棱錐的體積為定值
C．與平面所成角正切值的最小值為
D．三棱錐外接球的表面積為
【答案】BC
【分析】畫出圖形，由面，可確定在線段上，然后結(jié)合平行的性質(zhì)，體積公式，線面角的求法，外接球的表面積求法逐一判斷即可
【詳解】如圖：
取，分別為的中點(diǎn)，
連接，
則易知四邊形為平行四邊形，為平行四邊形，
進(jìn)而有 ，又易知，
從而可證明平面平面，
由題意面，可知在線段上；
對(duì)于A：過點(diǎn)，，的截面為平行四邊形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，由，在線段，
可知為定值，又到平面的距離也為定值，
所以為定值，故B正確；
對(duì)于C：設(shè)與平面所成角為，
則，易知當(dāng)最大時(shí)，最小，
結(jié)合圖象可知，
所以的最小值為，故C正確；
對(duì)于D：三棱錐外接球，相當(dāng)于長(zhǎng)方體的外接球，
且此時(shí)外接球的半徑滿足：，
所以三棱錐外接球的表面積為，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
三、填空題
13．在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)關(guān)于Oxy坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則的坐標(biāo)為______．
【答案】
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱性，即可得坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意知：,,所以，
故答案為：
14．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)作為的坐標(biāo)，則點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率_________.
【答案】
【詳解】基本事件總數(shù)為，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等．記事件為“點(diǎn)落在圓內(nèi)”，則事件所包含的基本事件為，共8個(gè)，故．
15．已知圓，直線，若在直線上任取一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則最小時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意，最小時(shí)可轉(zhuǎn)化為最小，即，此時(shí)四邊形為正方形，據(jù)此可求出結(jié)果.
【詳解】由可得，
即半徑，圓心，如圖，
由切線性質(zhì)可知，
，
則最小時(shí)，最大，即最小，
所以，
，故四邊形為正方形，
所以，又，故共線，
所以原點(diǎn)到直線的距離為.
故答案為：
16．如圖，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為_______．
【答案】
【分析】連接，設(shè)（），則.利用橢圓的定義表示出，由勾股定理求出，即可得到，進(jìn)而求出直線的斜率.
【詳解】如圖，連接.
設(shè)（），則.
因?yàn)椋?，所以?
在中，，所以，即，整理得，所以，所以直線的斜率為．
故答案為：-2.
四、解答題
17．平面直角坐標(biāo)系中，已知△三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.
(1)求邊所在的直線方程；
(2)求△的面積.
【答案】(1)；
(2)5.
【分析】（1）根據(jù)已知兩點(diǎn)，求得直線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求得直線的方程；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得三角形的高，再結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式以及三角形面積公式，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）直線的斜率，故直線的方程為，
即.
（2）點(diǎn)A到直線的距離，
又，
則△的面積.
18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心在直線上，且圓與直線相切于點(diǎn).
（1）求圓的方程；
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）首先求出過點(diǎn)且與直線垂直的直線，則圓心必在此直線上；與聯(lián)立可求得圓心坐標(biāo)；再利用兩點(diǎn)間距離公式可求得；根據(jù)圓心和半徑可求得圓的方程；（2）根據(jù)直線被圓截得的弦長(zhǎng)可求得圓心到直線的距離：，分別在斜率存在和不存在兩種情況下求解直線方程，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為：
由，解得： 圓心的坐標(biāo)為
圓的半徑：
圓的方程為：
（2）因?yàn)橹本€被圓截得的張長(zhǎng)為
圓心到直線的距離：
若直線的斜率不存在，則為直線，此時(shí)圓心到的距離為，不符合題意；
若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，即
由，整理得：
解得：或
直線的方程為：或
【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，涉及到直線與圓相切、直線被圓截得的弦長(zhǎng)問題.
19．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若為等邊三角形，求C的離心率；
（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.
【答案】(1) ；（2），a的取值范圍為.
【分析】（1）先連結(jié)，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，即可求出結(jié)果；
（2）先由題意得到，滿足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，根據(jù)三個(gè)式子聯(lián)立，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知：在中，，，，
于是，
故橢圓C的離心率為；
（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，
即 ①
②
③
由②③以及得，又由①知，故；
由②③得，所以，從而，故；
當(dāng)，時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn).
故，a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點(diǎn)滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔試題.
20．甲、乙、丙三人組成一個(gè)小組參加電視臺(tái)舉辦的聽曲猜歌名活動(dòng)，在每一輪活動(dòng)中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯(cuò)，則活動(dòng)立即結(jié)束；若三人均猜對(duì)，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動(dòng).已知每一輪甲猜對(duì)歌名的概率是，乙猜對(duì)歌名的概率是，丙猜對(duì)歌名的概率是，甲、乙、丙猜對(duì)與否互不影響.
(1)求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率；
(2)該小組能進(jìn)入第三輪的概率；
(3)乙猜歌曲的次數(shù)不小于2的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）該小組未能進(jìn)入第二輪也即甲、乙、丙至少有一人未猜對(duì)，根據(jù)對(duì)立事件求解；
（2）該小組能進(jìn)入第三輪即前兩輪三人都猜對(duì)，根據(jù)事件積的概率計(jì)算即可；
（3）乙猜歌曲的次數(shù)不小于2即該組過第一輪且甲猜對(duì)，據(jù)此求概率即可．
【詳解】（1）解：設(shè)該小組未能進(jìn)入第二輪為事件A，
則，
故該小組未能進(jìn)入第二輪的概率為．
（2）解：設(shè)該小組能進(jìn)入第三輪為事件B，
則，
故該小組能進(jìn)入第三輪的概率為．
（3）解：設(shè)乙猜歌曲的次數(shù)不小于2為事件C，
．
故乙猜歌曲的次數(shù)不小于2的概率為．
21．如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．
【答案】(Ⅰ)見解析；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ)見解析.
【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個(gè)半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；
(Ⅲ)首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi).
【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，
由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向?yàn)閥軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
易知：，
由可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
由可得，
設(shè)平面AEF的法向量為：，則
，
據(jù)此可得平面AEF的一個(gè)法向量為：，
很明顯平面AEP的一個(gè)法向量為，
，
二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.
(Ⅲ)易知，由可得，
則，
注意到平面AEF的一個(gè)法向量為：，
其且點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).
22．已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且經(jīng)過點(diǎn).
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）的右頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，求面積的最大值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用已知條件，結(jié)合橢圓方程求出，即可得到橢圓方程．
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓與直線方程，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，列出三角形的面積，再利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】（1）解：由題意解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）點(diǎn)，右焦點(diǎn)，由題意知直線的斜率不為0，
故設(shè)的方程為，，，
聯(lián)立方程得消去，整理得，
∴，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)：，
所以面積的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)和方程的求法，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

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2022-2023學(xué)年湖北省十堰市普通高中聯(lián)合體高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

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