2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．雙曲線的漸近線方程是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的漸近線方程為進(jìn)行求解.【詳解】雙曲線中，，故漸近線方程為，即.故選：2．已知圓，圓，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（    ）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【分析】求出兩圓圓心距，與兩圓半徑和與差的絕對(duì)值比較大小，可得出結(jié)論.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)?/span>，則，故這兩個(gè)圓相交.故選：C.3．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為（    ）A．63里 B．126里 C．192里 D．228里【答案】C【分析】由題意知，每天走的路程構(gòu)成一個(gè)公比為等比數(shù)列，已知和求首項(xiàng)，代入公式即可得到.【詳解】由已知，設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為，    公比為,，則 ，等比數(shù)列首項(xiàng).故選：C.4．已知橢圓與軸交于點(diǎn)A，B，把線段AB分成6等份，過每個(gè)分點(diǎn)做的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)，，，，，是橢圓C的右焦點(diǎn)，則（    ）A．20 B． C．36 D．30【答案】D【分析】由題意知與，與分別關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，從而，，利用即可求解．【詳解】由題意，知與，與分別關(guān)于y軸對(duì)稱設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由已知a=6,則，同時(shí)∴故選：D．5．在等比數(shù)列中，，，則與的等比中項(xiàng)是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通過等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算，進(jìn)而可得其等比中項(xiàng).【詳解】由已知所以與的等比中項(xiàng)是，故選：A6．直線l與圓相切，且l在x軸、y軸上的截距相等，則直線l的方程不可能是（    ）A．x＋y＝0 B．C．x－y＝0 D．x＋y－4＝0【答案】B【分析】由題意，根據(jù)截距相等，設(shè)出直線方程為或，結(jié)合直線與圓相切求解即可.【詳解】由于直線l在x軸、y軸上的截距相等，設(shè)直線為：或，由于直線l與圓相切，故圓心（2，0）到直線的距離等于半徑，所以，解得或或，解得．故直線的方程為：，，，所以直線l的方程不可能是故選：B．7．某數(shù)學(xué)愛好者以函數(shù)圖像組合如圖“愛心”獻(xiàn)給在抗疫一線的白衣天使，向他們表達(dá)崇高的敬意！愛心輪廓是由曲線與構(gòu)成，若a，，c依次成等比數(shù)列，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由“愛心”圖經(jīng)過點(diǎn),可求出，再由“愛心”圖過點(diǎn)與，可求出，再由a，，c，依次成等比數(shù)列可得代入即可求出答案.【詳解】解：由“愛心”圖知經(jīng)過點(diǎn)，即，．由“愛心”圖知必過點(diǎn)與，所以，得，，若a，，c，依次成等比數(shù)列，則，從而，所以．故選:A．8．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，以AB為直徑的圓恰好過右焦點(diǎn)F，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，由題意推得四邊形為矩形，可設(shè)，則，分別在直角三角形和直角三角形中，運(yùn)用勾股定理，結(jié)合離心率公式可得所求值．【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，由以AB為直徑的圓恰好過右焦點(diǎn)F可得AF⊥BF，由雙曲線的對(duì)稱性得四邊形為矩形，可設(shè)，則，在直角三角形中，可得，即為，解得，又在直角三角形中，，即為，即為，即有，故選：B． 二、多選題9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l：y=x-2與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則（    ）A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為B．點(diǎn)F到直線l的距離為C．∠AOBD．【答案】AB【分析】根據(jù)拋物線方程求得準(zhǔn)線、焦點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式、向量垂直、弦長等知識(shí)求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，A選項(xiàng)正確.直線，即，到的距離為，B選項(xiàng)正確.由解得或，不妨設(shè)，則，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，的前n項(xiàng)和為則下列說法正確的是（    ）A．?dāng)?shù)列的公差為2 B．C．?dāng)?shù)列是公比為4的等比數(shù)列 D．【答案】AB【分析】因?yàn)?/span>為等差數(shù)列，，，可得，從而可得A正確；根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得，從而可得B正確；由題意可得，，從而可得C錯(cuò)誤；根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得D錯(cuò)誤.【詳解】解：因?yàn)?/span>為等差數(shù)列，，，所以公差，故A正確；所以，所以，故B正確；又因?yàn)?/span>，，所以數(shù)列是公比為16的等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列是公比為16的等比數(shù)列，且，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．在正方體中，分別是的中點(diǎn)，下列說法正確的是（    ）A．四邊形是菱形B．直線與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值是D．平面與平面所成角的余弦值是【答案】AC【分析】利用正方體中的平行、垂直關(guān)系求解各選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，選項(xiàng)A：因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，易得，，又因?yàn)?/span>，所以四邊形是菱形，正確；選項(xiàng)B：如圖所示因?yàn)?/span>，所以直線與所成角即為與所成角，因?yàn)?/span>，所以直線與所成的角為，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：如圖所示因?yàn)?/span>平面，所以直線與平面所成角即為，因?yàn)?/span>，所以，正確；選項(xiàng)D：如圖所示，設(shè)交于，由正方體，得為中點(diǎn)，，所以，，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以即為平面與平面所成角，因?yàn)?/span>，，所以，錯(cuò)誤，故選：AC.12．已知數(shù)列是等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的為（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，設(shè)出公比，得到，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由得到，從而得到；C選項(xiàng)，由得到，從而得到；D選項(xiàng)，根據(jù)得到，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)計(jì)算，結(jié)合基本不等式得到.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得到，因?yàn)?/span>，所以，則，若，則，此時(shí)，A錯(cuò)誤；若，則，故，則，B正確；若，則，故，則，C錯(cuò)誤；若，則，不等式兩邊同除以，得到，所以，D正確.故選：BD 三、填空題13．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是______________．【答案】4【詳解】試題分析：拋物線的焦點(diǎn)是 ,準(zhǔn)線方程是,所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.【解析】拋物線性質(zhì).14．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則＝______．【答案】180【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)得：，，成等差數(shù)列，所以，得，解得.故答案為：15．?dāng)?shù)列滿足，，則______．【答案】【分析】利用累乘法求得正確答案.【詳解】，也符合上式，所以.故答案為：16．已知點(diǎn)P是橢圓上非頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是的平分線上一點(diǎn)，且，的取值范圍是______．【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，利用中位線定理和橢圓的定義即可得到，根據(jù)的取值范圍即可求解.【詳解】設(shè)與延長線交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，又是的平分線上一點(diǎn)，所以為的平分線，所以且為的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)?/span>所以因?yàn)?/span>或所以故答案為：. 四、解答題17．已知圓C：，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓交于，兩點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的長；(2)當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)，得直線斜率，又由直線與圓相交弦長公式即可得的長；（2）點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則，則可得斜率關(guān)系，從而可得直線的斜率，又點(diǎn)在直線上，即可得得直線的方程．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)直線方程為：，即．故圓心到直線AB的距離．又，所以．（2）解：點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則，所以，其中，所以．所以直線方程為，即．18．如圖，在直三棱柱中，AC⊥BC，E為的中點(diǎn)，．(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)直接利用線面垂直的判定來證明線線垂直(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，即可求解兩個(gè)平面的夾角余弦值.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以，又由題可知，AC⊥BC，，平面且，所以AC⊥平面，又因?yàn)?/span>平面，所以．（2）在直三棱柱中，平面ABC，AC，平面ABC，所以，，又AC⊥BC所以，，三條直線兩兩互相垂直如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建系如圖，由，，可得，則有，，，，設(shè)平面的一個(gè)方向量為，，所以，即，令，則，，所以，因?yàn)?/span>平面，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，，即平面與平面夾角的余弦值等于．19．已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l過雙曲線C的右焦點(diǎn)時(shí)，求弦長|AB|的值．【答案】(1)(2)24 【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.（2）求得直線的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合弦長公式求得.【詳解】（1）若焦點(diǎn)F（c，0），其到漸近線的距離，又因?yàn)殡p曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得a＝2，所以雙曲線C的方程為；（2）由（1）知雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線l方程為：設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立，得，所以，，從而.所以弦長|AB|的值為24．20．已知等差數(shù)列中，，，在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由等差數(shù)列的，即可求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式（2）表示出的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和【詳解】（1）解：設(shè)的公差為，則，所以解得，所以；由題設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題得，，∴，∴．所以．所以．（2）由題得．所以則兩式相減得所以．21．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)利用與之間的關(guān)系，可求出的通項(xiàng)公式，在利用等差數(shù)列的定義證明即可.(2)先通過通項(xiàng)公式判斷前5項(xiàng)小于0，第6項(xiàng)以后都是大于0，可以分，和，兩部分進(jìn)行求和，即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以時(shí)，，由①②相減可得，，，當(dāng)時(shí)，也滿足題意，故的通項(xiàng)公式為：．所以時(shí)，，所以時(shí)，總成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由(1)中結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而．22．已知平面內(nèi)的兩點(diǎn)，，，過點(diǎn)A的直線與過點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)C，若直線與直線的斜率乘積為，設(shè)點(diǎn)C的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)設(shè)P是E與x軸正半軸的交點(diǎn)，過P點(diǎn)作兩條直線分別與E交于點(diǎn)M，N，若直線PM，PN斜率之積為－2，求證：直線MN恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析， 【分析】（1）設(shè)，根據(jù)斜率公式計(jì)算化簡即可.（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)得到，解得答案.【詳解】（1）設(shè)，由直線與直線的斜率乘積為，可得，化為，即為．（2）設(shè)直線，則，，即，設(shè)，，而，，，則由，得，，則，即，整理得，解得或（舍去），所以直線，知直線MN恒過點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的軌跡方程，橢圓中的定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用韋達(dá)定理法解決問題是?？嫉姆椒ǎ枰炀氄莆?/span>. 

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