2022-2023學(xué)年河南省洛陽市宜陽縣第一高級中學(xué)高二（清北園）上學(xué)期第三次能力達(dá)標(biāo)數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．為橢圓上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：.因為，即，所以的范圍是.故選C.【解析】橢圓和定義及性質(zhì)、圓的性質(zhì)、向量運算.2．直線過點且與橢圓相交于，兩點，若點為弦的中點，則直線的斜率為（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)點為弦的中點，利用“點差法”求解.【詳解】設(shè)， 因為點A，B在橢圓上，所以，兩式相減得，即，因為點為弦的中點，所以直線的斜率為，故選：A3．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，可知為等腰三角形，取的中點，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，，則，所以，，由橢圓的定義可得，取的中點，因為，則，由勾股定理可得，所以，.故選：B.4．已知雙曲線的離心率為，則其兩條漸近線所成的銳角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得漸近線的斜率，然后結(jié)合向量的夾角公式求得正確答案.【詳解】因為C的離心率為，所以它的漸近線方程為，即漸近線的斜率分別為，，即直線的傾斜角大于，則可取兩條漸近線上的向量，，漸近線所成的銳角即這兩個向量的夾角，.故選：A5．若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實數(shù)m的值為（    ）A． B．9 C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的求法，利用直線平行斜率相等即可求解.【詳解】的漸近線方程滿足，所以漸進(jìn)線與平行，所以漸近線方程為，故故選：A6．設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件和雙曲線的性質(zhì)，在三角形值尋找等量關(guān)系，得到之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】依題意，可知三角形是一個等腰三角形，F2在直線PF1的投影是其中點，由勾股定理知可知，根據(jù)雙曲定義可知，整理得，代入整理得，求得；∴．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率問題，正確解題的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，以及尋找判斷三角形中邊的關(guān)系.7．已知雙曲線的焦點為F1、F2， 點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為A． B． C． D．【答案】C【詳解】不妨又所以，即；所以則M到x軸的距離故選C8．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線(，)的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值為A． B． C． D．【答案】B【解析】利用雙曲線的簡單性質(zhì)，以及點到直線的距離列出方程，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】雙曲線(，)的右焦點到一條漸近線的距離為可得： 可得 ，即 所以雙曲線的離心率為： .故選:B.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，焦點坐標(biāo)，漸近線方程，還運用雙曲線中焦點到漸近線的距離為以及點到直線的距離公式：.9．已知橢圓的右焦點，是橢圓上任意一點，點，則的周長最大值為（    ）A． B． C．14 D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，，，利用，即可得出．【詳解】如圖所示設(shè)橢圓的左焦點為，，則，，的周長，當(dāng)且僅當(dāng)三點，，共線時取等號．的周長最大值等于14．故選：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義將三角形周長轉(zhuǎn)化為求解，解答與橢圓焦點有關(guān)的試題時往往用到橢圓的定義：.10．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則值為A．2 B．3 C．4 D．【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程，結(jié)合漸近線與直線垂直，得出化簡即可.【詳解】解：因為雙曲線的漸近線方程為，又其一條漸近線與直線垂直，直線的斜率為，所以故選：C.【點睛】求雙曲線的漸近線的方法：求雙曲線的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令，得.反之，已知漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為．11．圖1展示的是某電廠的冷卻塔，其塔口的直徑是塔身最窄處直徑的2倍，且塔身最窄處到塔口的高度等于塔身最窄處的直徑．已知該冷卻塔的軸截面是中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的雙曲線的一部分（圖2），則該雙曲線的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，代入到雙曲線方程中，求出，進(jìn)而求出離心率.【詳解】如圖，設(shè)該雙曲線的方程為，則，，，從而，解得，則該雙曲線的離心率．故選：B12．已知橢圓的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且軸，直線交y軸于點P，若，則橢圓的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用幾何關(guān)系，得，即可求得橢圓的離心率.【詳解】由條件可知，，即.故選：B 二、填空題13．已知方程，若該方程表示橢圓方程，則k取值范圍是_______；【答案】或【分析】先將方程寫成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再列出不等式組，可求得答案.【詳解】因為方程，所以，所以有，解得或，故答案為：或.【點睛】本題考查二次方程表示成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的條件，注意分母不相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.14．設(shè)橢圓上一點P到左焦點F的距離為4，若點M滿足，則___________.【答案】3【分析】利用橢圓的定義可得，再由題可得M為的中點，進(jìn)而可得即得.【詳解】由橢圓得，，設(shè)橢圓的右焦點為，則，又點P到左焦點F的距離為4，所以，因為，則M為的中點，又O為的中點，∴，即3.故答案為：3.15．已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為1，且與橢圓有公共焦點．則雙曲線C的漸近線方程為_________【答案】【分析】求出橢圓的焦點坐標(biāo)，可得雙曲線的焦點坐標(biāo)，表示出雙曲線的漸近線方程，再利用點到直線的距離公式列方程可得，從而可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，橢圓的焦點為，所以雙曲線的焦點為，因為雙曲線的焦點到漸近線的距離為1，所以，化簡得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，故答案為：16．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，，為橢圓的兩焦點，如果C上存在點Q，使∠=120°，那么離心率e的取值范圍是_________．【答案】[，1）【分析】因為當(dāng)Q為橢圓上下頂點時∠F1QF2最大，設(shè)Q是橢圓上頂點，∠F1QF2≥120°，則∠F1QO≥60°，即可求得離心率取值范圍．【詳解】解：當(dāng)Q為橢圓上下頂點時∠F1QF2最大，所以120°≤∠F1QF2＜180°，則60°≤∠F1QO＜90°，所以sin60°≤sin∠F1QO＜sin90°，因為|F1Q|＝a，|F1O|＝c，所以1，即橢圓離心率的取值范圍為[，1），故選：D． 三、解答題17．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別是（0，－2），（0，2），并且橢圓經(jīng)過點；(2)經(jīng)過點，．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)橢圓上的點，結(jié)合橢圓的定義，求后，即可求得橢圓方程；（2）首先設(shè)橢圓的一般方程，代入兩點，即可求得橢圓方程.【詳解】（1）由題意知橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由橢圓的定義知，，即．又c＝2，所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)橢圓的方程為（，，且）．因為點，在橢圓上，所以代入橢圓的方程得，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18．已知雙曲線：的離心率為，且過點.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線：與雙曲線恒有兩個不同的交點，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先根據(jù)離心率可以得到a與b的關(guān)系是，應(yīng)用此關(guān)系將雙曲線方程化簡，接下來將點P的坐標(biāo)代入方程，整理后即可得到曲線C的方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線C的方程，消去y項，可以得到關(guān)于x的一元二次方程，直線與雙曲線有兩個不同的交點，則關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的解，于是可得關(guān)于k的不等式組，通過解不等式組求出k的取值范圍.【詳解】（1）由，可得，所以，故雙曲線方程可化為，將點代入雙曲線的方程，解得，所以雙曲線的方程為；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，，由題意得，，解得且，所以的取值范圍為.【點睛】本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題.19．（1）已知A，兩點的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是.求點的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀：（2）已知過雙曲線上的右焦點，傾斜角為 的直線交雙曲線于A，兩點，求.【答案】（1）軌跡方程為，軌跡為焦點在軸上的雙曲線，不含左右頂點；（2）.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出等式，化簡即可得軌跡方程，判斷軌跡形狀，即得答案；（2）求出直線方程，并和雙曲線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)弦長公式求出弦長即得答案.【詳解】（1）設(shè)，因為，，所以，整理得，故點的軌跡方程為，軌跡為焦點在軸上的雙曲線，不含左右頂點.（2）由得，，，所以,即，所以右焦點，因為直線的傾斜角是，且直線經(jīng)過右焦點，所以直線的方程為,由可得：，所以，，所以.20．設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別為，.直線，相交于點，且它們的斜率之積是，記動點的軌跡為.(1)求的方程；(2)設(shè)以為中點的弦所在直線為，求直線的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)斜率乘積為列式，化簡即可；（2）利用點差法解決弦中點問題.【詳解】（1）解：設(shè)點的坐標(biāo)為，因為點的坐標(biāo)是，所以直線的斜率同理，直線的斜率由已知，有化簡，得點的軌跡方程為（2）解：設(shè)直線與曲線交于，由題意得兩式相減，得，即所以直線的斜率因為點是線段的中點，所以，，所以.所以直線的方程為，即.21．已知橢圓經(jīng)過（1）求橢圓的方程；（2）若直線交橢圓于不同兩點是坐標(biāo)原點，求的面積.【答案】(1)；(2)．【分析】(1)將兩點坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出的值，可求出橢圓的方程；(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到一元二次方程，解這個方程，求出兩點的縱坐標(biāo)，設(shè)直線與軸交于點，利用進(jìn)行求解．【詳解】(1)由題意得: , 解得: 即軌跡E的方程為                           (2)記，的方程為由消去得，      所以   設(shè)直線與軸交于點22．已知橢圓：過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；    （2），是橢圓的兩個焦點，圓是以為直徑的圓，直線：與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點，，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意得a=2c，，再結(jié)合，可求出，從而可得橢圓方程，（2）由題意可得圓的方程為，再由直線與圓相切可得，設(shè)，，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出，而由可得，再將前面得到的式子代入化簡計算即可【詳解】（1）由橢圓的離心率為，得a=2c，又橢圓過點，則，解得 ， ，所以橢圓的方程：.（2）由題意，，圓是以為直徑的圓，則方程為 直線：與圓相切，則，即 設(shè)，，則由 ，有 所以 又，所以，解得，即. 

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