2022-2023學年河南省洛陽市高二上學期期中數(shù)學（理）試題 一、單選題1．直線在y軸上的截距是（    ）A．5 B．－5 C．10 D．－10【答案】D【分析】根據(jù)截距的概念結(jié)合條件即得.【詳解】因為直線，令，可得，所以直線在y軸上的截距是.故選：D.2．已知，，則線段AB的長為（    ）A．39 B．7 C．5 D．【答案】B【分析】根據(jù)空間兩點間距離公式即得.【詳解】因為，，所以.故選：B.3．已知直線：與：垂直，則實數(shù)a的值為（    ）A．0或3 B．0或-3 C．-3 D．0【答案】B【分析】利用兩直線垂直的充要條件，列式計算作答.【詳解】因直線：與：垂直，則，解得或，所以實數(shù)a的值為0或-3.故選：B4．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量可以構(gòu)成空間另一個基底的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根據(jù)空間向量共面定理可知ABD選項中的向量共面，無法作為一組基底；假設(shè)C中向量共面，可知不存在滿足條件的實數(shù)，由此知假設(shè)錯誤，則C中向量可以作為基底.【詳解】對于A，，共面，不能作為空間一組基底，A錯誤；對于B，，共面，不能作為空間一組基底，B錯誤；對于C，假設(shè)共面，則可設(shè)，方程組無解，不共面，可以作為空間一組基底，C正確；對于D，，共面，不能作為空間一組基底，D錯誤.故選：C.5．已知直線 l：和圓C：交于A，B兩點，則弦 AB所對的圓心角的大小為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)弦長公式可得弦長，根據(jù)的邊長關(guān)系，確定圓心角的大小.【詳解】由圓C：，可得，圓心，半徑為，又直線l：，所以，又，所以，圓心角，即弦 AB 所對的圓心角的大小為.故選：C.6．已知四面體，分別是的中點，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量加減和數(shù)乘運算直接求解即可.【詳解】分別為中點，.故選：A.7．已知，當變化時，直線過定點（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線方程整理為，由此可得方程組，解方程組即可求得定點坐標.【詳解】由得：，由得：，直線恒過定點.故選：A.8．已知直線AB的方向向量為，平面的法向量為，給出下列命題：①若則直線．②若，則直線．③記直線AB與平面所成角的為，則．④若，，則點C到平面的距離．其中真命題的個數(shù)是（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)空間向量證明線面位置關(guān)系，空間向量法表示線面夾角正弦值公式以及空間向量計算點到平面的距離公式即可判斷.【詳解】對A選項，若，有可能直線平面內(nèi)，故錯誤，對B選項，符合利用空間向量判定線面垂直關(guān)系，由線線平行推出線面垂直，故B正確，對C選項，因為可能為負值，而，故錯誤，其正確形式應(yīng)為，故C錯誤，對D選項，根據(jù)C選項公式，故，故D正確.故真命題有2個，故選：C.9．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，利用點關(guān)于直線對稱點的求法可求得對稱圓的圓心，由兩圓半徑相同可得圓的方程.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；設(shè)圓心關(guān)于的對稱點為，則，解得：，所求對稱圓的圓心為，半徑為，所求對稱圓的方程為：.故選：B.10．已知點D在確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點，實數(shù)x，y滿足，則：的最小值為（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)空間向量共面可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因為，所以，又點D在確定的平面內(nèi)，所以，即，所以，所以當時，的有最小值.故選：A.11．在四面體中，平面平面DBC，且，，則直線BC與平面ABD所成角的余弦值為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知條件可得與為正三角形，且互相垂直，則可以建立空間直角坐標系，求平面ABD的法向量，代入余弦公式即可.【詳解】因為，且，所以均為正三角形，因為平面平面DBC，平面平面，取的中點，則，所以平面，以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示：設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，，.設(shè)直線BC與平面ABD所成角為，則，所以.故選：D12．若圓上至少有三個不同的點到直線l：的距離為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出圓心和半徑，由題可得圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，進而可得的取值范圍，然后根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即得．【詳解】由圓的標準方程，則圓心為，半徑為，因為圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，∴，整理得，解得，設(shè)直線的傾斜角為，即，又由，，即，所以直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：B． 二、填空題13．已知是直線l的方向向量，是平面的法向量．若，則______．【答案】27【分析】根據(jù)線面垂直的概念，結(jié)合法向量的性質(zhì)可得，進而求得，即得.【詳解】∵，∴，∴，故，解得，∴．故答案為：.14．已知，兩點到直線l：的距離相等，則______．【答案】1或【分析】利用點到直線的距離公式列方程求解可得.【詳解】由題意得，即，所以或，解得或． 故答案為：1或.15．在棱長為的正方體中，是底面內(nèi)動點，且平面，當最大時，三棱錐的體積為______．【答案】【分析】根據(jù)面面平行的判定可證得平面平面，由此可得點軌跡為線段；根據(jù)，可知當時，最大；利用體積橋，結(jié)合棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】，平面，平面，平面，同理可得：平面，又，平面，平面平面，平面平面，點軌跡為線段，平面，平面，，，則當最小時，最大；四邊形為正方形，當，即為中點時，最??；當為中點時，最大，平面，平面，    ，，平面，平面，，，.故答案為：.16．若點P在直線上移動，過P作圓的切線，切點分別為A，B，則的最小值為______．【答案】##【分析】設(shè)，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，然后根據(jù)點到直線的距離結(jié)合條件即得.【詳解】由，可知圓心，半徑為，則，設(shè)，則為的中點，且，所以，所以，又點到直線的距離為，所以，，即的最小值為.故答案為：. 三、解答題17．已知的三個頂點是，，．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)求經(jīng)過兩邊中點的直線的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)斜率公式可求得，由中點坐標公式可求得中點坐標，根據(jù)垂直關(guān)系可確定所求直線斜率為，根據(jù)直線點斜式方程可求得結(jié)果；（2）利用中點坐標公式可求得中點坐標，由直線兩點式方程可求得結(jié)果.【詳解】（1），中點為，邊的垂直平分線方程為：，即.（2）中點為，中點為，經(jīng)過兩邊中點的直線方程為：，即.18．如圖，平行六面體的底面是菱形，且，．(1)求的長；(2)求異面直線與所成的角．【答案】(1)(2)90°． 【分析】(1)因為三組不共線，則可以作為一組基底，用基底表示向量，平方即求得模長.(2) 求出兩條直線與的方向向量，用向量夾角余弦公式即可.【詳解】（1）設(shè)，，，構(gòu)成空間的一個基底．因為，所以，所以．（2）又，，所以∴∴異面直線與所成的角為90°．19．已知平面直角坐標系中有，，，四點．(1)判斷這四點是否共圓？若共圓，求出該圓的方程；若不共圓，說明理由；(2)一條光線從點射出，經(jīng)過x軸反射后與的外接圓相切．求反射光線所在直線的方程．【答案】(1)A，B，C，D四點共圓，；(2)或． 【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得經(jīng)過A，B，D三點的圓的標準方程，然后判斷是否在圓上，進而即得；（2）由題可得點關(guān)于x軸對稱的點，過向圓所作的兩條切線所在直線即為所求，然后利用點到直線的距離公式即得.【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過A，B，D三點的圓的標準方程是，將A，B，D三點坐標分別代入，得，∴，所以經(jīng)過A，B，D三點的圓的標準方程是，將代入上面方程左邊得，所以點C在經(jīng)過A，B，D三點的圓上，即A，B，C，D四點共圓，過A，B，C，D四點的圓的方程為；（2）根據(jù)光的反射原理，作與點關(guān)于x軸對稱的點，從M點發(fā)出的光線經(jīng)x軸反射后，反射光線所在直線就是由向圓所作的兩條切線所在直線，由題可知：，則切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為，即，所以，解得或，所以反射光線所在直線的方程為或，即或．20．在直角梯形ABCD中，，，，如圖（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如圖（2）．(1)求證：；(2)若M為線段BC的中點，求點M到平面ACD的距離．【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ABD，然后利用線面垂直的性質(zhì)即得；（2）利用坐標法，求出平面ACD的法向量，然后利用點到平面的距離的向量求法即得.【詳解】（1）在直角梯形ABCD中，，，，所以，，∴，∴，∵平面平面BCD，平面平面，平面BCD，∴平面ABD，又∵平面ABD，∴；（2）由題知，如圖以D為原點，DB，DC所在直線為x軸，y軸，建立空間直角坐標系， 由條件可得，，，，∴，，設(shè)平面ACD的法向量，則，，∴，即，令，可得平面ACD的一個法向量為），又，∴點M到平面ACD的距離為．21．已知兩定點，，動點P滿足，直線．(1)求動點P的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；(2)記動點P的軌跡為曲線E，把曲線E向右平移1個單位長度，向上平移1個單位長度后得到曲線，求直線被曲線截得的最短的弦長；(3)已知點M的坐標為，點N在曲線上運動，求線段MN的中點H的軌跡方程．【答案】(1)動點P的軌跡方程是，軌跡是以原點為圓心，半徑為2的圓；(2)；(3)． 【分析】（1）設(shè)點，由題可得，進而即得；（2）由題可得圓：，然后根據(jù)圓的性質(zhì)及弦長公式即得；（3）設(shè)，，根據(jù)坐標關(guān)系可得，代入曲線的方程進而即得.【詳解】（1）設(shè)點，由得，化簡得，∴動點 P 的軌跡方程是，軌跡是以原點為圓心，半徑為2的圓；（2）∵曲線E的方程為，∴曲線的方程為，圓心為在，半徑為2，又∵直線可化為，由，可得，∴直線恒過定點，由平面幾何知識可知，當直線垂直于時被截得的弦長最短，∵，半徑為2，∴最短弦長為；（3）設(shè)，，又點M的坐標為，所以，∴，∵點 N 在圓：上運動，∴，所以，即，∴點 H 的軌跡方程是．22．如圖，長方體中，，點E在棱上且平面．(1)求的值；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）建立空間坐標系，設(shè)，根據(jù)可求出的值，進而即得；（2）求出平面的法向量，然后利用向量的夾角公式即得.【詳解】（1）如圖，以D為原點，以DA，DC，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，，設(shè)，則，，，，，∴，，，∵平面，平面，∴，∴，解得，即，∴，∴；（2）由（1）可知為平面的法向量，又，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，∴，∴平面與平面夾角的余弦值為． 

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