2022-2023學年廣東省廣州市真光中學、深圳二中教育聯(lián)盟高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p=（    ）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.2．橢圓的一個焦點坐標為，則實數(shù)m的值為（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】由焦點坐標得到，求解即可.【詳解】根據(jù)焦點坐標可知，橢圓焦點在y軸上，所以有，解得．故選：C.3．設(shè)z為任一實數(shù)，則點表示的圖形是（    ）A．z軸 B．與平面xOy平行的一直線C．平面xOy D．與平面xOy垂直的一直線【答案】D【分析】在空間直角坐標系中畫出動點表示的圖形后可得正確的選項.【詳解】在空間直角坐標系中畫出動點表示的圖形如圖所示：故點表示的圖形為與平面xOy垂直的一直線，故選：D.4．若圓與圓有3條公切線，則（    ）A．3 B．3 C．5 D．3或3【答案】D【分析】根據(jù)公切線的條數(shù)可判斷兩圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】因為兩圓有3條公切線,所以兩圓的位置關(guān)系為外切,則圓心距等于兩圓半徑之和,即,解得或,故選:D.5．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.6．如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的加、減運算即可求解.【詳解】由題意可得 .故選：D     7．已知平面的法向量為，點在平面內(nèi)，點到平面的距離為，則（    ）A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-21【答案】C【分析】根據(jù)點到平面距離的向量法公式求解即可.【詳解】，而，    即，解得或－11.故選：C8．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【詳解】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點滿足，由拋物線定義可知，當且僅當（或）時，取等號.點睛:對于拋物線弦長問題，要重點抓住拋物線定義，到定點的距離要想到轉(zhuǎn)化到準線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點掌握.考查最值問題時要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進行解決.此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以. 二、多選題9．下列命題是真命題的有（    ）A．A，B，M，N是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過三點是平面α的法向量，則【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空間位置關(guān)系的向量證明依次判斷4個選項即可.【詳解】對于A，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則共面，可得A，B，M，N共面，A正確；對于B，，故，可得l與m垂直，B正確；對于C，，故，可得l在α內(nèi)或，C錯誤；對于D，，易知，故，故，D正確.故選：ABD.10．已知曲線的方程為，下列說法正確的是（    ）A．若曲線為焦點在軸上的橢圓，則 B．曲線可能是圓C．若，則曲線一定是雙曲線 D．若為雙曲線，則漸近線方程為【答案】BD【分析】根據(jù)各選項及曲線的特征一一判斷即可；【詳解】解：因為曲線的方程為，對于A：曲線為焦點在軸上的橢圓，則，即，故A錯誤；對于B：當時曲線表示圓，故B正確；對于C：若，滿足，曲線為，表示圓，故C錯誤；對于D：若為雙曲線，則，當時，表示焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，當時，表示焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，故D正確；故選：BD11．已知圓和圓的交點為A，B，則（    ）A．兩圓的圓心距B．直線AB的方程為C．圓上存在兩點P和Q使得D．圓上的點到直線AB的最大距離為【答案】BD【分析】求出兩圓圓心距，可判斷A選項；將兩圓方程作差即得公共弦AB的方程，可判斷B選項；求出，可判斷C選項；求出圓上的點到直線的最大距離，可判斷D選項.【詳解】對于A，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，所以，，A不正確；對于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦AB的方程為，故B正確；對于C選項，圓心到直線的距離為，所以，對于圓上的任意兩點、，，C不正確；對于D選項，圓心到直線的距離的最大值為，D正確.故選：BD.12．如圖，菱形邊長為2，，E為邊AB的中點.將沿DE折起，使A到，且平面平面，連接，.則下列結(jié)論中正確的是（    ）A． B．四面體的外接球表面積為C．BC與所成角的余弦值為 D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】BCD【分析】將沿折起，使到，且平面平面，連接，，則，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結(jié)果．【詳解】解：將沿折起，使到，且平面平面，連接，，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，對于，，0，，，，，，0，， 2，，，，，，，，，，與不垂直，故錯誤；對于，取中點，連接，，，過作平面，四面體的外接球球心在直線上，設(shè)，由，得，解得，，四面體的外接球表面積為：，故正確；對于，，，，，，，設(shè)與所成角的為，則，與所成角的余弦值為，故正確；對于，，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，直線與平面所成角的正弦值為：，故正確．故選：． 三、填空題13．若為圓的弦的中點，則直線的方程為______．【答案】【分析】根據(jù)條件可知，利用兩直線的位置關(guān)系求直線方程.【詳解】設(shè)圓的圓心， ,則，由條件可知，則的斜率為1，所以直線的方程為，即.故答案為：.14．已知向量，，，若向量，，共面，則實數(shù)的值為______．【答案】【分析】根據(jù)題意：存在實數(shù)使得，再根據(jù)坐標運算解方程求解即可.【詳解】因為向量共面，所以存在實數(shù)使得，即所以，解得故答案為:15．設(shè)、是橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于、兩點，則的最大值為______.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義，化簡得，進而得到，結(jié)合橢圓的焦點弦的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，根據(jù)橢圓的定義，可得，則，所以，當垂直于軸時，取得最小值，此時取得最大值，此時，所以的最大值為.故答案為：.16．在平面直角坐標系中，已知，為雙曲線的左?右焦點，，為C的左?右頂點，C的離心率等于2，P為C左支上一點，若平分，直線與的斜率分別為，，且，則等于___________.【答案】【分析】根據(jù)結(jié)合直線與的斜率分別為，的斜率關(guān)系，角平分線定理以及雙曲線的定義，可得，又由離心率得，又在焦點三角形中用余弦定理得直線傾斜角的余弦值，從而可得直線的斜率的值.【詳解】解：由題意得下圖：則，，，，雙曲線的離心率，所以，則又直線與的斜率分別為，，且，且在第二象限所以，則，因為平分，由角平分線定理得：，結(jié)合，即可得，所以又在雙曲線中有，所以則在中，由題意，可得為銳角，所以則.故答案為：. 四、解答題17．如圖，在邊長是2的正方體中，E，F分別為AB，的中點．(1)求證： 平面；(2)證明：EF與平面不垂直．【答案】(1)見解析(2)見解析 【分析】（1）連結(jié)，連結(jié)，先利用平行四邊形證得，再利用線面平行的判定定理得到平面；（2）建立坐標系求出點的坐標，表示出，因為，所以不垂直，則EF與平面不垂直．【詳解】（1）如圖，連結(jié)，連結(jié)，因為在正方體中，面是正方形，所以，是的中點，又因為是的中點，所以且，因為是的中點，所以，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，故，又面，面，所以平面；（2）建立以為坐標原點，，，分別為，，軸的空間直角坐標系如圖：則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，分別為，的中點，，1，，，1，，所以，而，故不垂直，則EF與平面不垂直．18．已知圓C以為圓心，被直線截得的弦長為．(1)求圓C的方程；(2)若點，點P為在圓C上任一點，當最小時，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出到圓心距離，結(jié)合弦長，可得圓半徑.（2）當且僅當PB與圓相切時，最小.則【詳解】（1）直線到圓心距離為：，又弦長為，則圓半徑為：.故圓C方程為：.（2）由題可得，當且僅當PB與圓相切時，最小.則此時，，故.19．如圖，已知直線，直線，C是夾在兩直線中的動點，過點C作任意直線交于點A，交于點B，且都滿足．(1)求動點C的軌跡方程；(2)已知點，是否存在點C，使得﹖若存在，求出點C的坐標、若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在點C，使得，且或. 【分析】（1）設(shè)，，由題意可得，代入消去可得動點C的軌跡方程；（2）設(shè)，，解方程即可得出答案.【詳解】（1）因為分別在直線和直線上，所以設(shè)，設(shè)，因為，所以，而，所以，即消去可得：.所以動點C的軌跡方程為：.（2）由（1）知，在直線上，可設(shè)，而，則，則，解得：或.當時，，當時，.故存在點C，使得，且或.20．三棱柱中已知側(cè)面．(1)求證：平面ABC；(2)E是棱上的一點，若平面與平面的夾角為，求CE的長．【答案】(1)證明見解析；(2)2. 【分析】（1）由側(cè)面，可得，在中利用余弦定理可得，然后利用勾股定理的逆定理可得，再由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）由（1）可知兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，令，然后分別表示出平面和的法向量，再由已知條件列方程可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：因為側(cè)面，平面，所以，在中，，則由余弦定理得，所以，所以，所以，因為，平面，所以平面；（2）解：由（1）可知兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，所以，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，，令，則，所以，因為側(cè)面，所以是平面的一個法向量，因為平面與平面的夾角為，所以，所以，化簡得，解得或（舍去），所以.21．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，B在x軸的上方，且點B到F的距離為5，且B的縱坐標為．(1)求拋物線C的標準方程與點B的坐標；(2)設(shè)點M為拋物線C上異于A，B的點，直線MA與MB分別交拋物線C的準線于E，G兩點，x軸與準線的交點為H，求證：為定值，并求出定值．【答案】(1)，(2)定值為4，證明見解析 【分析】（1）由拋物線的焦半徑公式可得，代入拋物線方程解得即可；（2）由（1）直線l的方程：，聯(lián)立拋物線方程可得，再設(shè)點，可得直線MA方程，進而可得，同理，即可得定值.【詳解】（1）由題意得：，因為點B到F的距離為5，且B在x 軸的上方，且B的縱坐標為所以，故，即，因為得，故拋物線C的方程為：，此時.（2）由（1）得：，線方程，直線l的方程：，由，解得或，于是得．設(shè)點，又題意且，所以直線MA：，即，令，得，即.同理直線MB：，即，令，得，即，故．22．如圖，橢圓的下頂點為C，右頂點為D，且，左焦點為，過F且斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點，交y軸于點P，M為線段AB的中點，直線OM交CD于點N，過點P作交x軸于點E．(1)求橢圓的方程和直線CD的斜率；(2)當的面積為時，求的值．【答案】(1)；.(2) 【分析】（1）由題意可得，，可求出，即可得橢圓的方程，即可求出直線CD的斜率；（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達定理可求出的坐標，表示出直線的方程，可求出，再進一步表示出的面積可求出，可求出點的坐標，即可得出的值.【詳解】（1）由題意可得：，，又因為，解得：，所以橢圓的方程為：.則.故直線CD的斜率為.（2）設(shè)，，因為直線l過F且斜率為，設(shè)，由得，所以，，因為M為線段AB的中點，所以，，所以，又因為，所以，因為在直線上，令，所以，所以直線的方程為：，令，所以，，所以，到直線的距離為：，所以的面積為：，化簡得：，則，解得：即，所以，則直線的方程為：，而則.所以直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與的方程可得：，所以. 

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