2023屆安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟高三上學期11月冬季聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合A中元素，注意它是由整數(shù)構成的集合；集合B是函數(shù)的定義域，注意真數(shù)要大于0，最后求交集.【詳解】所以.故選：B.2．復數(shù)，則共軛復數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復數(shù)乘方、模、除法運算求得，進而求得，從而求得的虛部.【詳解】，，，，，其虛部為.故選：D3．在古代，斗笠作為擋雨遮陽的器具，用竹篾夾油紙或竹葉棕絲等編織而成，其形狀可以看成一個圓錐體，在《詩經》有“何蓑何笠”的句子，說明它很早就為人所用.已知某款斗笠如圖所示，它的母線長為，側面展開圖是一個半圓，則該斗笠的底面半徑為（    ）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】側面展開圖一個半圓，則此半圓的弧長等于底面圓周長，由此求出底面半徑.【詳解】設底面半徑為，底面圓周長，斗笠母線長，側面展開圖一個半圓，則此半圓的弧長， 所以，故選：C.4．已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足，設數(shù)列中不在數(shù)列中的項按從小到大的順序構成數(shù)列，則數(shù)列的前50項和為（    ）A．3017 B．3018 C．3065 D．3066【答案】D【分析】利用求得，進而求得，根據的構成求得正確答案.【詳解】設，當時，，當時，，，，也符合上式，所以，， 所以，又，所以的前50項和為：.故選：D5．已知為銳角，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據求得，根據求得，再根據正切的差角公式求解即可.【詳解】因為為銳角，所以所以，因為，所以，.故選：C.6．已知定義域為的偶函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且在上單調遞增，則在區(qū)間上的零點個數(shù)為（    ）A．100 B．102 C．200 D．202【答案】A【分析】結合函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性和零點的知識求得正確答案.【詳解】令，得，即，因為為偶函數(shù)，所以，，，所以是以4為周期的函數(shù)，因為在上單調遞增，則在上遞減，所以在一個周期內有兩個零點，故在區(qū)間上的零點個數(shù)為.故選：A7．將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，再將其圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)在區(qū)間上恰有8個零點，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角函數(shù)圖象變換的知識求得，由在區(qū)間上的零點個數(shù)列不等式，從而求得的取值范圍.【詳解】將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得，再將其圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到函數(shù)，由，可得，即，顯然當時，零點在內，當時，，即；當時，，即綜上可得，.故選：B8．已知函數(shù)的5個零點分別為，則的值為（    ）A．14 B．24 C．60 D．85【答案】D【分析】根據零點定義寫出，再由多項式乘法法則確定的系數(shù)．【詳解】由題意知所以故選：D. 二、多選題9．下圖是中華人民共和國國家統(tǒng)計局發(fā)布的2012年至2021年居民人均可支配收入（單位：元）的變化情況，則（    ）A．2012年至2021年，人均年收入逐年上升B．這10年居民人均年收入的平均數(shù)超過23821C．這10年居民人均年收入的極差為18608D．這10年居民人均年收入的分位數(shù)為30733【答案】AB【分析】根據圖象對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】根據圖象可知：2012年至2021年，一年比一年高，即人均年收入逐年上升，A選項正確.這年居民人均年收入的平均數(shù)為：，所以B選項正確.這10年居民人均年收入的極差為，故C項錯誤；，所以這10年居民人均年收入的分位數(shù)為2019年和2020年居民人均可支配收入的平均值，即，所以D選項錯誤.故選：AB10．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且都在軸的上方，（為坐標原點），記的面積分別為，則（    ）A．直線的斜率為 B．直線的斜率為C． D．【答案】BC【分析】結合拋物線定義求出兩點的坐標，利用兩點坐標求直線的斜率，判斷選項A，B，根據三角形面積公式求，判斷C，D.【詳解】設，過點分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義可得，所以，，所以，故A項錯誤；B項正確；，所以，C正確，D錯誤，故選：BC.11．在棱長為2的正方體中，點在線段上運動，則（    ）A．三棱錐的體積為定值B．的最小值為C．D．直線與所成角的取值范圍是【答案】CD【分析】證明平面，由此可得，結合錐體體積公式求三棱錐的體積，判斷A；將旋轉至平面內，結合平面幾何結論判斷B；根據正方體與其外接球的關系判斷C；根據異面直線夾角的定義判斷D.【詳解】對于：因為，平面，平面，所以平面，又點在線段上運動，所以點到平面的距離與點到平面的距離相等，所以三棱錐的體積等于三棱錐的體積，由正方體的性質可得平面，所以，故A錯誤； 對于B：將旋轉至平面內，如圖所示，旋轉到，當三點共線時，取得最小值，且最小值為，故B錯誤；對于：正方體的外接球是以為直徑的球，線段在該外接球的內部或剛好在外接球上，所以，故C正確；對于D：因為，異面直線與所成角轉化為直線與所成角，是正三角形，當點與線段的端點重合時，異面直線與所成角取得最小值為，當點為線段的中點時，所成角取得最大值為，故異面直線與所成角的取值范圍是，D正確.故選：CD.12．已知函數(shù)，若存在，使得成立，則（    ）A．B．的最小值為1C．當時，的取值范圍為D．當時，的最小值為【答案】AD【分析】利用導數(shù)分析和的單調性、最值并畫出圖象，根據圖象對選項進行分析，利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)判斷出正確選項.【詳解】在上單調遞減，在上，單調遞增，的最小值為，，，在上，單調遞減，在上單調遞增，的最小值為，.畫出和的大致圖象如下圖所示：由成立，則，故A正確；當時，的最小值顯然不為1，故B錯誤；由，可知當或時，，令，當時，，當時，，所以上單調遞減，在上單調遞增，所以，故C錯誤；，令在上單調遞減，在上單調遞增，所以，故D正確；故選：AD【點睛】求解函數(shù)的單調區(qū)間、最值或范圍等，可利用導數(shù)先求得函數(shù)的單調區(qū)間，然后根據單調區(qū)間求得函數(shù)的最值或或范圍.研究不等式能成立、恒成立問題，可轉化為最值問題來求解. 三、填空題13．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為__________.【答案】【分析】根據題意，對平方，結合，求出向量的夾角的余弦值，即得與的夾角.【詳解】由，平方可得，即，又，整理可得，所以與的夾角為.故答案為：.14．為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取1000個零件，并測量其尺寸（單位：）.根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件尺寸服從正態(tài)分布，則可估計所抽取的1000個零件中尺寸高于24的個數(shù)大約為__________.（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則.【答案】23【分析】根據正態(tài)分布的對稱性以及原則求得正確答案.【詳解】由正態(tài)分布可知：，，尺寸高于22的個數(shù)大約為.故答案為：2315．已知時，不等式恒成立，則的最大值是__________.【答案】【分析】轉化不等式，通過構造函數(shù)，結合導數(shù)研究所構造函數(shù)的單調性，由此列不等式來求得的取值范圍，進而求得的最大值.【詳解】由題意，可得恒成立，令，，當時，單調遞增，所以，，當時，單調遞增，當時，單調遞減，又，要使不等式恒成立，必有，即.故答案為：【點睛】利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，關鍵點在于“劃歸與轉化”，將恒成立的不等式轉化后，利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)研究函數(shù)的單調性、范圍等來對問題進行求解.16．設雙曲線的左?右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，且直線的傾斜角為的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【分析】結合雙曲線的定義、圓的切線長定理列方程，化簡求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設內切圓與分別切于點,因為在雙曲線的右支上，所以，又，由切線長定理可知，.，故點在雙曲線上，所以的內切圓的圓心必在直線上，，所以，即，解得.故答案為： 四、解答題17．在中，角所對的邊分別為，滿足.(1)求角；(2)若，，的面積為，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理、正弦和角公式，以及，即可求出角；（2）利用三角形面積公式可得，再利用正弦定理可得，即可求出的值.【詳解】（1）解：利用正弦定理得：，即，化簡得，由為的內角，得，可得，又為的內角，所以.（2）解：已知，則，，即①，由，可得，，利用正弦定理可得，，即②聯(lián)立①②可得.18．某校為了慶祝二十大的勝利召開，決定舉辦“學黨史·銘初心”黨史知識競賽.高三年級為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表年級參加學校比賽.已知甲?乙?丙3位同學通過初賽的概率均為，通過初賽后再通過決賽的概率依次為，假設他們之間通過與否互不影響.(1)求這3人中至少有1人通過初賽的概率；(2)從甲?乙?丙3位同學中隨機抽取一名，求他通過決賽的概率；(3)設這3人中通過決賽的人數(shù)為，求的分布列及期望.【答案】(1)(2)(3)分布列見解析， 【分析】（1）根據對立事件概率的求法求得正確答案.（2）根據全概率公式求得正確答案.（3）結合相互獨立事件概率計算公式，求得分布列并求得數(shù)學期望.【詳解】（1）3人都沒通過初賽的概率為，所以這三人中至少有1人通過初賽的概率.（2）設隨機抽中甲?乙?丙的事件分別記為，甲?乙?丙通過決賽的事件分別記為，隨機抽取一名學生，他通過決賽的事件記為，則，，由全概率公式，得（3）依題意可能取值為.所以的分布列為：0123 .19．如圖，直角梯形中，，點為的中點，沿著翻折至，點為的中點，點在線段上.(1)證明：平面平面；(2)若平面平面，平面與平面所成的銳二面角為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法，由平面與平面所成的銳二面角列方程，從而求得.【詳解】（1）由題意可得，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，所以，因為為的中點，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）平面平面，平面平面，平面，所以平面，以分別為軸建立空間直角坐標系，不妨設，設，，設平面的法向量為，，令，， 同理可求得平面的法向量為，設平面與平面所成的銳二面角為，，解得，所以的值為.20．已知數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）化簡已知的遞推關系式，結合等比數(shù)列的定義證得結論成立.（2）對分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進行分類討論，結合等比數(shù)列前項和公式求得正確答案.【詳解】（1）由題意，，且，所以數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時， 所以數(shù)列的前項和.21．如圖所示，為橢圓的左?右頂點，焦距長為，點在橢圓上，直線的斜率之積為.(1)求橢圓的方程；(2)已知為坐標原點，點，直線交橢圓于點不重合），直線交于點.求證：直線的斜率之積為定值，并求出該定值.【答案】(1)(2)證明見解析，定值為 【分析】（1）根據焦距、直線的斜率之積求得，從而求得橢圓的方程.（2）設出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關系，通過計算直線的斜率之積來證得結論成立，并求得定值.【詳解】（1）由題意，，設，，由題意可得，即，可得又，所以，解得所以，橢圓的方程為；（2）由題意知，直線的斜率存在，設直線，且聯(lián)立，得由，得，所以，設，由三點共線可得所以，直線的斜率之積為定值.22．已知函數(shù)，且恒成立.(1)求實數(shù)的最大值；(2)證明：.（參考數(shù)據：）【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）求出導函數(shù)，令，再一次求導，然后分類討論，確定單調性與正負，得參數(shù)范圍；（2）由（1）有，因此只要證明，令，分類時不等式成立，時，求出導函數(shù)，對導函數(shù)再求導函數(shù)，目的是確定的單調性與正負，從而確定的最值．得證不等式．【詳解】（1）由條件得，令，則，①當，即時，在上，，即單調遞增，所以，即，在上為增函數(shù)，，時滿足條件.②當時，令，解得，在上，單調遞減，當時，有，即，則在上為減函數(shù)，，不合題意.綜上，實數(shù)的最大值為.（2）由（1）可知，當時，令①當時，由題意知，所以成立；②當時，因為，所以，即令設，則， 所以即在上單調遞增，所以故在上單調遞增，所以綜上，.【點睛】思路點睛：本題考查不等式恒成立問題，用導數(shù)證明不等式，函數(shù)不等式的證明，一般轉化為求函數(shù)的最值，為此可設出新函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，對較為復雜的不等式特別是含有參數(shù)的函數(shù)，如果能利用不等式性質進行放縮，則可放縮為不含參數(shù)的不等式，對較為復雜的函數(shù)有時需要對導函數(shù)再一次求導即多次求導才能確定單調性與最值． 

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