2021-2022學(xué)年山東省臨沂市臨沂第四中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．命題“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】該題考查了特稱命題及否定形式知識，量詞要改變，結(jié)論要否定．【詳解】根據(jù)特稱命題的否定形式得，“，”的否定是：，，故A，B，C錯誤.故選：D．2．已知集合，，若，則實數(shù)的值為（    ）A． B．0C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)，得到，再由集合元素的互異性求解.【詳解】因為，所以，又，所以且，所以，所以或（舍去），此時滿足.故選：A.【點睛】本題主要考查了集合的交集的概念，集合中元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題.3．“是鈍角”是“是第二象限角”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)鈍角和第二象限角的定義，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因為是鈍角，所以，因此是第二象限角，當(dāng)是第二象限角時，例如是第二象限角，但是顯然不成立，所以“是鈍角”是“是第二象限角”的充分不必要條件，故選：A4．下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（    ）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】對于A，根據(jù)兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同可知不表示同一個函數(shù)；對于B，利用對數(shù)的性質(zhì)化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同可知不表示同一個函數(shù)；對于C，根據(jù)兩個函數(shù)的定義域不同可知不表示同一個函數(shù)；對于D，利用對數(shù)的性質(zhì)化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和定義域都相同可知表示同一個函數(shù)；【詳解】對于A，函數(shù)與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，不表示同一個函數(shù)，故A不正確；對于B，函數(shù)與的對應(yīng)關(guān)系不同，不表示同一個函數(shù)，故B不正確；對于C，函數(shù)與的定義域不同，不表示同一個函數(shù)，故C不正確；對于D，函數(shù)與的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，表示同一函數(shù)，故D正確.故選：D5．函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的零點存在定理判斷.【詳解】因為，，.所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，故選：C6．設(shè)，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷的范圍，利用和判斷出，，再結(jié)合正切函數(shù)判斷出，即可求解.【詳解】由，可得，故，即，，即，又時，，，故，綜上.故選：D.7．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若，則的最小值為（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用圖象的變換可得，進(jìn)而可得，即求.【詳解】由題可得，又，∴函數(shù)為偶函數(shù)，∴，即，,∴時，有最小值為.故選：B8．在標(biāo)準(zhǔn)溫度和壓力下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度（單位：，記作）和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度（單位：，記作）的乘積等于常數(shù).已知值的定義為，健康人體血液值保持在7.35～7.45之間，則健康人體血液中的可以為（參考數(shù)據(jù)：，）A．5 B．7 C．9 D．10【答案】B【分析】首先根據(jù)題意，求出所求式子的常用對數(shù)，結(jié)合題中所給的條件，將其轉(zhuǎn)化為與相關(guān)的量，借助于題中所給的范圍以及兩個對數(shù)值，求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，，且，所以，因為，所以，，分析比較可知，所以可以為7，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)健康人體血液中的的求值問題，該題屬于現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用型，在解題的過程中，需要認(rèn)真審題，明確題意，借助于題中所給的兩個對數(shù)值，尋求解題思路，屬于較難題目. 二、多選題9．中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”．1930年美國人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義，已知集合，給出下列四個對應(yīng)法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【解析】對A,B利用特殊值即可判斷；對C，D利用函數(shù)的定義逐一驗證即可.【詳解】解：對A，當(dāng)時，，故A錯誤；對B，當(dāng)時，，故B錯誤；在C中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即任取，總有，故C正確；在D中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即任取，總有，故D正確．故選：CD．10．已知實數(shù)，滿足等式，則下列不等式可能成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，分，兩種情況求解.【詳解】作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖，當(dāng)時，根據(jù)圖像得，故A選項正確；當(dāng)時，根據(jù)圖像得，故D選項正確；故選：AD.11．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，衛(wèi)星圖片可以看成一個圓形，如果將其一分為二成兩個扇形，設(shè)其中一個扇形的面積為，圓心角為，天壇中剩余部分扇形的面積為，圓心角為，當(dāng)與的比值為時，則裁剪出來的扇形看上去較為美觀，那么（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】理解題意，根據(jù)扇形的面積公式化簡，對選項依次判斷【詳解】設(shè)天壇的圓形的半徑為，由，故D正確；由，所以，解得，故C正確；由，則，所以，所以，故A正確，B錯誤．故選：ACD12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．是奇函數(shù)B．函數(shù)與坐標(biāo)軸有且僅有兩個交點C．函數(shù)的零點大于D．函數(shù)有且僅有4個零點【答案】AB【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)一一分析分析即可；【詳解】解：因為，所以，即，解得，即函數(shù)的定義域為，且，故為奇函數(shù)，故A正確，又在上單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞減，則與只有一個交點，即與軸有一個交點，又，所以與坐標(biāo)軸有兩個交點，故B正確；令，則，因為，所以，所以函數(shù)的零點小于，故C錯誤；因為在定義域上單調(diào)遞減，且，則令，即，解得，，即函數(shù)有無數(shù)個零點，故D錯誤；故選：AB 三、填空題13．已知冪函數(shù)的圖像過點，則____________．【答案】【詳解】試題分析：設(shè)冪函數(shù)，代入點，得，所以，所以答案應(yīng)填：．【解析】冪函數(shù)．14．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，并且滿足，當(dāng)時，，則__________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件，可求函數(shù)的周期性，對稱性，以及的值，利用函數(shù)函數(shù)的周期性，奇偶性進(jìn)行計算即可.【詳解】解：因為，故，則函數(shù)的周期是2，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則；則，，當(dāng)時，，則，則.故答案為：.15．2020年12月4日，我國科學(xué)家宣布構(gòu)建了76個光子（量子比特）的量子計算原型機(jī)“九章”．“九章”得名于我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，書中有一個“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”其意思為“今有水池1丈見方（即尺），蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1尺．將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接（如圖所示）.設(shè)，則的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，將長度設(shè)為尺，則長度為尺，利用勾股定理求出得各邊長，得到的值，再利用二倍角公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意得，在中，，，設(shè)長度為尺，則長度為尺，所以，即，解得，即，所以，又因為，所以或，因為，所以，所以.故答案為：. 四、雙空題16．已知x>0，y>0，且x+2y=xy，若x+2y>m2+2m恒成立，則xy的最小值為_____，實數(shù)m的取值范圍為_____.【答案】     8     【解析】x+2y=xy等價于1，根據(jù)基本不等式得出xy≥8，再次利用基本不等式求出x+2y的最小值，進(jìn)而得出m的范圍.【詳解】∵x>0，y>0，x+2y=xy，∴1，∴1，∴xy≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x=4，y=2時取等號，∴x+2y=8(當(dāng)x=2y時，等號成立)，∴m2+2m<8，解得﹣4<m<2.故答案為：8；(﹣4，2)【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，還考查運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題. 五、解答題17．化簡求值：（1）；（2）．【答案】(1);(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算,化簡即可.（2）由對數(shù)的運(yùn)算化簡即可得解.【詳解】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算,化簡（2）由對數(shù)的運(yùn)算,化簡【點睛】本題考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算與化簡,對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過點.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義先求，再利用二倍角公式求解即可；（2）利用三角函數(shù)的定義先求，再利用余弦兩角和公式求解即可【詳解】（1）解：角以為始邊，終邊經(jīng)過點所以所以.（2）解：角以為始邊，終邊經(jīng)過點所以所以.19．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)．（1）解不等式；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】(1）先利用偶函數(shù)的定義求出，設(shè)，則不等式即為，再解關(guān)于x的不等式即可;(2）問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，設(shè)，(t <0) ，則在時恒成立，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）為偶函數(shù)恒成立，恒成立，即恒成立，，，，，設(shè)，則不等式即為，，所以原不等式解集為．（2）在上恒成立，即：在上恒成立，令，則，在時恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則．所以．20．研究發(fā)現(xiàn)，在分鐘的一節(jié)課中，注力指標(biāo)與學(xué)生聽課時間（單位：分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為.(1)在上課期間的前分鐘內(nèi)（包括第分鐘），求注意力指標(biāo)的最大值；(2)根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指標(biāo)大于時，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果最佳，現(xiàn)有一節(jié)分鐘課，其核心內(nèi)容為連續(xù)的分鐘，問：教師是否能夠安排核心內(nèi)容的時間段，使得學(xué)生在核心內(nèi)容的這段時間內(nèi)，學(xué)習(xí)效果均在最佳狀態(tài)？【答案】(1)；(2)不能.【解析】（1），，配方求出函數(shù)的對稱軸，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解；（2）求出時，不等式解的區(qū)間，求出區(qū)間長度與25對比，即可得出結(jié)論.【詳解】（1），，當(dāng)時，取最大值為，在上課期間的前分鐘內(nèi)（包括第分鐘），注意力指標(biāo)的最大值為82；（2）由得，或整理得或，解得或，的解為，而，所以教師無法在學(xué)生學(xué)習(xí)效果均在最佳狀態(tài)時，講完核心內(nèi)容.【點睛】本題考查函數(shù)應(yīng)用問題，考查函數(shù)的最值，以及解不等式，屬于中檔題.21．已知函數(shù)，直線是函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸.（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）已知函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再向左平移個單位長度得到的，若求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先化簡函數(shù)，再根據(jù)是函數(shù)的一條對稱軸，代入求，再求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先根據(jù)函數(shù)圖象變換得到，并代入后，得，再利用角的變換求的值.【詳解】（1），當(dāng)時，，得，，，即，令，解得：，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2），，得，，，， 【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)的圖象變換，以及的性質(zhì)，屬于中檔題型，的橫坐標(biāo)伸長（或縮短）到原來的倍，得到函數(shù)的解析式是，若向右（或左）平移（）個單位，得到函數(shù)的解析式是或.22．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求在區(qū)間上的值域；（Ⅱ）當(dāng)時，是否存在這樣的實數(shù)a，使方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個根？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.【解析】（Ⅰ）先把代入解析式，再求對稱軸，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求出值域；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象在內(nèi)有唯一交點，根據(jù)中是否為零，分類討論，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，，對稱軸為：，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；則，所以在區(qū)間上的值域為；（Ⅱ）由，令，可得，即，令，，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點，等價于兩個函數(shù)與的圖象在內(nèi)有唯一交點；①當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，而，所以函數(shù)與的圖象在內(nèi)有唯一交點.②當(dāng)時，圖象開口向下，對稱軸為，在上遞減，在上遞增，與的圖象在內(nèi)有唯一交點，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得，所以.③當(dāng)時，圖象開口向上，對稱軸為，在上遞減，在上遞增，與的圖象在內(nèi)有唯一交點，，即，解得，所以.綜上，存在實數(shù)，使函數(shù)于在區(qū)間內(nèi)有且只有一個點.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了求一元二次函數(shù)的值域問題，以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力. 

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