?五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編5-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含解析）

一、單選題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（????）
A． B． C． D．1
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（????）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（????）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（????）
A． B． C． D．
6．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（????）

A． B．
C． D．
7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（????）
A． B． C． D．
8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（????）
A． B．
C． D．
9．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（????）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
10．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（????）
A． B．
C． D．
11．（2019·天津·高考真題）已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為
A． B． C． D．
12．（2019·全國·高考真題）曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π，–1)處的切線方程為
A． B．
C． D．
13．（2019·全國·統(tǒng)考高考真題）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則
A． B． C． D．
14．（2018·浙江·高考真題）已知成等比數(shù)列，且．若，則
A． B． C． D．
15．（2018·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為(　　)
A． B． C． D．
16．（2018·全國·高考真題）函數(shù)的圖像大致為
A． B．
C． D．

二、多選題
17．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（????）
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間有兩個極值點(diǎn)
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
18．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（????）
A．有兩個極值點(diǎn) B．有三個零點(diǎn)
C．點(diǎn)是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
19．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（????）
A． B． C． D．

三、填空題
20．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．
21．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．
22．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．
23．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．
①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù)．
24．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①若，恰 有2個零點(diǎn)；
②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個零點(diǎn)；
③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個零點(diǎn)；
④存在正數(shù)，使得恰有3個零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號是_______．
25．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．
26．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小值為______.
27．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點(diǎn)，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．
28．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．若，則a=_________．
29．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為______________.
30．（2019·天津·高考真題） 曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.
31．（2019·全國·高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________．
32．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.
33．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.
34．（2018·全國·高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則________．
35．（2018·全國·高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．
36．（2018·江蘇·高考真題）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為__________．
37．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)，則的最小值是_____________．
38．（2018·全國·高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．
39．（2018·天津·高考真題）已知函數(shù)f(x)=exlnx，為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則的值為__________．

四、解答題
40．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若和有公共點(diǎn)，
（i）當(dāng)時，求的取值范圍；
（ii）求證：．
41．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對任意的，有．
42．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：
（?。┤?，則；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
43．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
44．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．
45．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范圍．
46．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點(diǎn)，則．
47．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．
48．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
49．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
50．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．
（1）已知，求；
（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；
（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．
51．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點(diǎn)
①；
②．
52．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
53．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，滿足.
(注：是自然對數(shù)的底數(shù))
54．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．
55．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
56．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若的圖象與軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.
57．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍．
58．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）求曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．
59．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
60．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，
（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）當(dāng)時，求證：對任意的，且，有．
61．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
62．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；
（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：
（?。?；
（ⅱ）．
63．（2020·海南·高考真題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
64．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上).經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點(diǎn)B到的距離為40米.

（1）求橋AB的長度；
（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點(diǎn)).橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0).問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低?
65．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．
（1）若，求h(x)的表達(dá)式；
（2）若，求k的取值范圍；
（3）若求證：．
66．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．
（1）求b．
（2）若有一個絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．
67．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有三個零點(diǎn)，求的取值范圍．
68．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.
69．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
70．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；
（2）設(shè)a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．
71．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.
（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；
（2）證明：；
（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
72．（2019·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時，證明；
（Ⅲ）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，證明.
73．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).證明：
（1）存在唯一的極值點(diǎn)；
（2）有且僅有兩個實(shí)根，且兩個實(shí)根互為倒數(shù).
74．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).
（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點(diǎn)；
（2）設(shè)x0是f(x)的一個零點(diǎn)，證明曲線y=ln x 在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線的切線.
75．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）有且僅有2個零點(diǎn)．
76．（2019·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.
77．（2019·浙江·高考真題）已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意均有 求的取值范圍.
注：為自然對數(shù)的底數(shù).
78．（2019·江蘇·高考真題）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.
（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；
（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時，都有成立，求m的最大值．
79．（2019·江蘇·高考真題）設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；
（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．
80．（2019·北京·高考真題）已知函數(shù).
（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時，求證：；
（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時，求a的值．
81．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.
82．（2019·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，
（i）證明恰有兩個零點(diǎn)
（ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.
83．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；
（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
84．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)=[]．
（1）若曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與軸平行，求；
（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．
85．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a；
（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.
86．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；
（2）若是的極大值點(diǎn)，求．
87．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）證明：當(dāng)時，．
88．（2018·浙江·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；
（2）若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)．

89．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：只有一個零點(diǎn)．
90．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時，．
91．（2018·江蘇·高考真題）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點(diǎn)”．
（1）證明：函數(shù)與不存在“點(diǎn)”；
（2）若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值；
（3）已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”，并說明理由．
92．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，證明：當(dāng)時，；
（2）若在只有一個零點(diǎn)，求的值.
93．（2018·天津·高考真題）已知函數(shù)，，其中a>1.
（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn) 處的切線平行，證明：；
（III）證明：當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.
94．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個極值點(diǎn)，證明：．
95．（2018·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中,且是公差為的等差數(shù)列.
（I）若 求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（II）若，求的極值；
（III）若曲線與直線有三個互異的公共點(diǎn)，求d的取值范圍.

五、雙空題
96．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為____________，____________．
97．（2019·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ae?x（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．

參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.

2．D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.
【詳解】，
所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；
在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，
又，，，
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.
故選：D

3．A
【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.
【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
因?yàn)楫?dāng)
故，故，所以；
設(shè)，
，所以在單調(diào)遞增，
故，所以，
所以，所以，故選A
[方法二]：不等式放縮
因?yàn)楫?dāng)，
取得：，故
，其中，且
當(dāng)時，，及
此時，
故，故
所以，所以，故選A
[方法三]：泰勒展開
設(shè)，則，，
，計(jì)算得，故選A.
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)
因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，
故選：A．
[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮
因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；因?yàn)楫?dāng)，取得，故，所以．
故選：A．
【整體點(diǎn)評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．

4．C
【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,

[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，
當(dāng)時，得，則
當(dāng)時，球心在正四棱錐高線上，此時，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是

5．C
【分析】構(gòu)造函數(shù)， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構(gòu)造法
設(shè)，因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設(shè)，則,
令，，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調(diào)遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，所以
故

6．D
【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.
【詳解】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；
對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；
對于C，，則，
當(dāng)時，，與圖象不符，排除C.
故選：D.
7．D
【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).
【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故.
有和兩個不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.
當(dāng)時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.
當(dāng)時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.
綜上所述，成立.
故選：D
【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.



8．D
【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；
解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，
由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，
令，則.
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點(diǎn)，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點(diǎn).
故選：D.
解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.



9．D
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.
【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，
設(shè)直線的方程為，即，
由于直線與圓相切，則，
兩邊平方并整理得，解得，（舍），
則直線的方程為，即.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.
10．B
【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.
【詳解】，，，，
因此，所求切線的方程為，即.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題
11．C
【解析】先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．
【詳解】∵，即，
（1）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故當(dāng)時，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，則，
當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，
故，所以．當(dāng)時，在上恒成立；
綜上可知，的取值范圍是，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行綜合分析．
12．C
【分析】先判定點(diǎn)是否為切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.
【詳解】當(dāng)時，，即點(diǎn)在曲線上．則在點(diǎn)處的切線方程為，即．故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學(xué)生易在非切點(diǎn)處直接求導(dǎo)數(shù)而出錯，首先證明已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)，若是切點(diǎn)，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解；若不是切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)，再求導(dǎo)，然后列出切線方程．
13．D
【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得．
【詳解】詳解：
，
將代入得，故選D．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到方程關(guān)系．
14．B
【分析】先證不等式，再確定公比的取值范圍，進(jìn)而作出判斷.
【詳解】令則，令得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，
若公比，則，不合題意；
若公比，則
但，
即，不合題意；
因此，
，選B.
【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)對不等式進(jìn)行放縮，進(jìn)而限制參數(shù)取值范圍，是一個有效方法.如

15．D
【詳解】分析：利用奇函數(shù)偶次項(xiàng)系數(shù)為零求得，進(jìn)而得到的解析式，再對求導(dǎo)得出切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.
詳解：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
化簡可得，故選D.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)曲線在某個點(diǎn)處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時利用到結(jié)論多項(xiàng)式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項(xiàng)，偶函數(shù)不存在奇次項(xiàng)，從而求得相應(yīng)的參數(shù)值，之后利用求導(dǎo)公式求得，借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式求得結(jié)果.
16．D
【詳解】分析：根據(jù)函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由排除法可得結(jié)果.
詳解：函數(shù)過定點(diǎn)，排除，
求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
由得，
得或，此時函數(shù)單調(diào)遞增，排除，故選D.
點(diǎn)睛：本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識點(diǎn)較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除.
17．AD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項(xiàng)，即可解出．
【詳解】由題意得：，所以，，
即，
又，所以時，，故．
對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；
對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；
對C，當(dāng)時，，，直線不是對稱軸；
對D，由得：，
解得或,
從而得：或,
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，
切線方程為：即．
故選：AD．

18．AC
【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，
當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù)有一個零點(diǎn)，故B錯誤；
令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 則是奇函數(shù)，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，故D錯誤.
故選：AC.

19．BC
【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究
對于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；
對于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.
由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因?yàn)?，均為偶函?shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，
又，且函數(shù)可導(dǎo)，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
【整體點(diǎn)評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．

20．
【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.
【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)
因?yàn)椋苑匠痰膬蓚€根為，
即方程的兩個根為，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，
因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時，，即圖象在上方
當(dāng)時，，即圖象在下方
，圖象顯然不符合題意，所以．
令，則，
設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，
則切線的斜率為，故切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，

所以，解得，又，所以，
綜上所述，的取值范圍為．
[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)
=0的兩個根為
因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
設(shè)函數(shù)，則，
若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在
上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)
且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；
若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿足，，即故，所以.
【整體點(diǎn)評】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；
法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．

21．
【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.
【詳解】∵，∴，
設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點(diǎn)，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：

22．
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡即可得解.
【詳解】由題意，，則，
所以點(diǎn)和點(diǎn)，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運(yùn)算即可得解.
23．（答案不唯一，均滿足）
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.
【詳解】取，則，滿足①，
，時有，滿足②，
的定義域?yàn)椋?br /> 又，故是奇函數(shù)，滿足③.
故答案為：（答案不唯一，均滿足）
24．①②④
【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對于①，當(dāng)時，由，可得或，①正確；
對于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，存在，使得只有一個零點(diǎn)，②正確；
對于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時，，解得，
所以，當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，
若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個交點(diǎn)，
直線與曲線有一個交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，
因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點(diǎn)，③錯誤；
對于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，④正確.

故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．

25．
【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．
【詳解】由題，當(dāng)時，，故點(diǎn)在曲線上．
求導(dǎo)得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
26．1
【分析】由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.
【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)椋?br /> ∴當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞增；
又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，
∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；
∴
故答案為：1.
27．
【分析】根據(jù)條件得,再用圓心到直線距離表示三角形PAB面積，最后利用導(dǎo)數(shù)求最大值.
【詳解】
設(shè)圓心到直線距離為，則，
所以點(diǎn)P到AB的距離為或，且
所以
令（負(fù)值舍去）
當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此當(dāng)時，取最大值，即取最大值為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.
28．1
【分析】由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可確定實(shí)數(shù)a的值
【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，
則：，據(jù)此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題.
29．
【分析】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.
【詳解】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，
，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，
所求的切線方程為，即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.
30．
【分析】利用導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程．
【詳解】，
當(dāng)時其值為，
故所求的切線方程為，即．
【點(diǎn)睛】曲線切線方程的求法：
(1)以曲線上的點(diǎn)(x0，f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：
①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；
②求切線的斜率f′(x0)；
③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．
(2)如果已知點(diǎn)(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，y0)，解方程組得切點(diǎn)(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程．
31．.
【分析】本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程
【詳解】詳解：
所以，
所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計(jì)算錯誤．求導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求．
32．.
【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則.又，
當(dāng)時，，
點(diǎn)A在曲線上的切線為，
即，
代入點(diǎn)，得，
即，
考查函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題：
一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．
二是直線與曲線公共點(diǎn)的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點(diǎn)．
33．4.
【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)與直線之間的距離，然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點(diǎn)坐標(biāo)可得最小距離
【詳解】當(dāng)直線平移到與曲線相切位置時，切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P到直線的距離最小.
由，得，，
即切點(diǎn)，
則切點(diǎn)Q到直線的距離為，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.
34．
【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可．
【詳解】解：
則
所以
故答案為-3.
【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
35．
【分析】求導(dǎo)，可得斜率，進(jìn)而得出切線的點(diǎn)斜式方程.
【詳解】由，得，
則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，
則所求切線方程為，即.
【點(diǎn)睛】求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟：①求出函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率；②寫出切線的點(diǎn)斜式方程；③化簡整理.
36．
【分析】方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，確定零點(diǎn)位置，求出參數(shù),再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性確定函數(shù)最值，即可解出.
【詳解】［方法一］：【通性通法】單調(diào)性法
求導(dǎo)得，
當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)；
當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，只需，解得．
于是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以最大值與最小值之和為．
故答案為：．
［方法二］： 等價轉(zhuǎn)化
由條件知有唯一的正實(shí)根，于是．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，．
只需直線與的圖像有一個交點(diǎn)，故，下同方法一．
［方法三］：【最優(yōu)解】三元基本不等式
同方法二得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
要滿足條件只需，下同方法一．
［方法四］：等價轉(zhuǎn)化
由條件知有唯一的正實(shí)根，即方程有唯一的正實(shí)根，整理得，即函數(shù)與直線在第一象限內(nèi)有唯一的交點(diǎn)．于是平移直線與曲線相切時，滿足題意，如圖2．

設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)?，于是，解得?br /> 下同方法一．
【整體點(diǎn)評】方法一：利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在上的單調(diào)性，確定零點(diǎn)位置，求出參數(shù)，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上的最值問題，從而解出，是該類型題的通性通法；
方法二：利用等價轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，從而求出參數(shù)，使問題得解；
方法三：通過三元基本不等式確定取最值條件，從而求出參數(shù)，使問題得解，是該題的最優(yōu)解；
方法四：將函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與曲線相切，從而求出參數(shù)，使問題得解．
37．
【分析】方法一：由，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，減區(qū)間，從而確定出函數(shù)的最小值點(diǎn)，代入求得函數(shù)的最小值.
【詳解】［方法一］： 【通性通法】導(dǎo)數(shù)法

．
令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
則．
故答案為：.
［方法二］： 三元基本不等式的應(yīng)用
因?yàn)椋?br /> 所以

．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．
根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是，此時．
故答案為：.
［方法三］： 升冪公式＋多元基本不等式
，

，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，．
根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是．
故答案為：.
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放縮

，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
故答案為：.
［方法五］：萬能公式＋換元+導(dǎo)數(shù)求最值
設(shè)，則可化為，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，對分母求導(dǎo)后易知，
當(dāng)時，有最小值．
故答案為：.
［方法六］： 配方法


，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，取最小值．
故答案為：.
［方法七］：【最優(yōu)解】周期性應(yīng)用＋導(dǎo)數(shù)法
因?yàn)椋裕?br /> 即函數(shù)的一個周期為，因此時，的最小值即為函數(shù)的最小值．
當(dāng)時，，
當(dāng)時， 因?yàn)?br /> ，令，解得或，由，，，所以的最小值為．
故答案為：.
【整體點(diǎn)評】方法一：直接利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出極值點(diǎn)，從而求出最小值，是求最值的通性通法；
方法二：通過對函數(shù)平方，創(chuàng)造三元基本不等式的使用條件，從而解出；
方法三：基本原理同方法三，通過化同角利用多元基本不等式求解，難度較高；
方法四：通過化同角以及化同名函數(shù)，放縮，再結(jié)合多元基本不等式求解，難度較高；
方法五：通過萬能公式化簡換元，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值，該法也較為常規(guī)；
方法六：通過配方，將函數(shù)轉(zhuǎn)化成平方和的形式，構(gòu)思巧妙；
方法七：利用函數(shù)的周期性，縮小函數(shù)的研究范圍，再利用閉區(qū)間上的最值求法解出，解法常規(guī)，是該題的最優(yōu)解．
38．
【分析】先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.
【詳解】
【點(diǎn)睛】求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn).
39．e
【分析】首先求導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.
【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，
則，
即的值為e，故答案為.
點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
40．(1)
(2)（i）；（ii）證明見解析

【分析】（1）求出可求切線方程；
（2）（i）當(dāng)時，曲線和有公共點(diǎn)即為在上有零點(diǎn)，求導(dǎo)后分類討論結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求.
（ii）曲線和有公共點(diǎn)即，利用點(diǎn)到直線的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.
【詳解】（1），故，而，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.
（2）（i）當(dāng)時，
因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，故有解，
設(shè)，故，故在上有解，
設(shè)，故在上有零點(diǎn)，
而，
若，則恒成立，此時在上無零點(diǎn)，
若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，
而，，故在上無零點(diǎn)，
故，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，，
故在上存在唯一零點(diǎn)，
且時，；時，；
故時，；時，；
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故，
因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，
而，故即，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，故.
（ii）因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，
所以有解，其中，
若，則，該式不成立，故.
故，考慮直線，
表示原點(diǎn)與直線上的動點(diǎn)之間的距離，
故，所以，
下證：對任意，總有，
證明：當(dāng)時，有，故成立.
當(dāng)時，即證，
設(shè)，則（不恒為零），
故在上為減函數(shù)，故即成立.
綜上，成立.
下證：當(dāng)時，恒成立，
，則，
故在上為增函數(shù)，故即恒成立.
下證：在上恒成立，即證：，
即證：，即證：，
而，故成立.
故，即成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下零點(diǎn)問題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理來處理，而多變量的不等式的成立問題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來證明目標(biāo)不等式.
41．(1)
(2)在上單調(diào)遞增.
(3)證明見解析

【分析】（1）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；
（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問題即得解；
（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以?br /> 即切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
（2）解：因?yàn)椋????
所以，
令，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增.
（3）解：原不等式等價于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調(diào)遞增，
∴，
∴
∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br /> ∴，所以命題得證.

42．(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)（?。┮娊馕?；（ⅱ）見解析.

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.
（2）（?。┯深}設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個不同的解可證明不等式成立，（ⅱ） ，，則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.
【詳解】（1），
當(dāng)，；當(dāng)，，
故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.
（2）（?。┮?yàn)檫^有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為，
故，
故方程有3個不同的根，
該方程可整理為，
設(shè)，
則
，
當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
因?yàn)橛?個不同的零點(diǎn)，故且，
故且，
整理得到：且，
此時，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，故，
故.
（ⅱ）當(dāng)時，同（ⅰ）中討論可得：
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)，則，
因?yàn)橛?個不同的零點(diǎn)，故且，
故且，
整理得到：，
因?yàn)?，故?br /> 又，
設(shè)，，則方程即為：
即為，
記
則為有三個不同的根，
設(shè)，，
要證：，即證，
即證：，
即證：，
即證：，
而且，
故，
故，
故即證：，
即證：
即證：，
記，則，
設(shè)，則，所以，
，
故在上為增函數(shù)，故，
所以，
記，
則，
所以在為增函數(shù)，故，
故即，
故原不等式得證：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)方程的解的個數(shù)問題，而復(fù)雜方程的零點(diǎn)性質(zhì)的討論，應(yīng)該根據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.

43．(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)
(3)見解析

【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.
（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.
（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當(dāng)時，有，????
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.

44．(1)
(2)

【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以，此時函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當(dāng)時，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時，
由（1）得當(dāng)時，，，所以，
此時
存在，使得，
所以在有一個零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.

45．(1)3
(2)

【分析】（1）先由上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；
（2）設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由和及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，
即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；
（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，
設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，
則，整理得，
令，則，令，解得或，
令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：




0

1



0

0

0










則的值域?yàn)椋实娜≈捣秶鸀?

46．(1)
(2)證明見的解析

【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.
【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)
的定義域?yàn)?，則

令,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構(gòu)處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
由題知,一個零點(diǎn)小于1,一個零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)
要證,即證
因?yàn)?即證
又因?yàn)?故只需證
即證
即證
下面證明時，
設(shè)，
則

設(shè)
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令

所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解
又因?yàn)橛袃蓚€零點(diǎn)，故
兩邊取對數(shù)得：，即
又因?yàn)?，故，?br /> 下證
因?yàn)?br /> 不妨設(shè)，則只需證
構(gòu)造，則
故在上單調(diào)遞減
故，即得證
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛 ：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式
這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握

47．(1)
(2)

【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可
（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究
【詳解】（1）的定義域?yàn)?br /> 當(dāng)時,,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
（2）

設(shè)
若,當(dāng),即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意
若,當(dāng),則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意
若
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增

所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
所以
當(dāng)
當(dāng)
所以在上有唯一零點(diǎn)
又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)
(2)當(dāng)
設(shè)

所以在單調(diào)遞增

所以存在,使得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增,
又
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減
有
而,所以當(dāng)
所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)
即在上有唯一零點(diǎn)
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn),求的取值范圍為

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.

48．(1)
(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.
（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時，的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，而?br /> 若，則，此時無最小值，故.
的定義域?yàn)?，?
當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，
故.
當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，
故.
因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?br /> 故，整理得到，其中，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值為.
當(dāng)時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).
設(shè)，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
設(shè)，其中，則，
故在上為增函數(shù)，故，
故，故有兩個不同的零點(diǎn)，即的解的個數(shù)為2.
設(shè)，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
有兩個不同的零點(diǎn)即的解的個數(shù)為2.
當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個解，
當(dāng)時，由（1）討論可得、均無根，
故若存在直線與曲線、有三個不同的交點(diǎn)，
則.
設(shè)，其中，故，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
所以，所以在上為增函數(shù)，
而，，
故上有且只有一個零點(diǎn)，且：
當(dāng)時，即即，
當(dāng)時，即即，
因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點(diǎn)，
故，
此時有兩個不同的根，
此時有兩個不同的根，
故，，，
所以即即，
故為方程的解，同理也為方程的解
又可化為即即，
故為方程的解，同理也為方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
①時，此時，顯然與兩條曲線和
共有0個交點(diǎn)，不符合題意；
②時，此時，
故與兩條曲線和共有2個交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；
③時，首先，證明與曲線有2個交點(diǎn)，
即證明有2個零點(diǎn)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，，?br /> 令，則，
所以在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為
其次，證明與曲線和有2個交點(diǎn)，
即證明有2個零點(diǎn)，，
所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，，?br /> 令，則，
所以在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為
再次，證明存在b，使得
因?yàn)?，所以?br /> 若，則，即，
所以只需證明在上有解即可，
即在上有零點(diǎn)，
因?yàn)?，?br /> 所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，
此時取
則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，
最后證明，即從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，
因?yàn)?br /> 所以，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，
同理，因?yàn)椋?br /> 又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，
又因?yàn)?，所以?br /> 即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.

49．（I）；（II）證明見解析；（III）
【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；
（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.
【詳解】（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，當(dāng)時，，畫出大致圖像如下：

所以當(dāng)時，與僅有一個交點(diǎn)，令，則，且，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；
（III）由（II）知，此時，
所以，
令，
若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，
，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個交點(diǎn)；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.
50．（1）1；（2）見解析；（3）見解析.
【分析】（1）利用公式計(jì)算可得.
（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點(diǎn)的范圍可得的最小正零點(diǎn).
（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.
【詳解】（1）.
（2）設(shè)，
因?yàn)?，故?br /> 若，則，故.
，
因?yàn)?，?br /> 故有兩個不同零點(diǎn)，且，
且時，；時，；
故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，
而當(dāng)時，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，
故為的一個最小正實(shí)根，
若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個最小正實(shí)根，
綜上，若，則.
若，則，故.
此時，，
故有兩個不同零點(diǎn)，且，
且時，；時，；
故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
而，故，
又，故在存在一個零點(diǎn)，且.
所以為的一個最小正實(shí)根，此時，
故當(dāng)時，.
（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.
51．(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；
(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點(diǎn).



，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當(dāng)時，，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點(diǎn).
當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時：
，
當(dāng)時，，
取，則，
即：，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點(diǎn).



，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
52．（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.
【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；
（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，，
此時，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）因?yàn)椋瑒t，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：













增
極大值
減
極小值
增

所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以，，.
53．(1)時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
(2)將原問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)方法一：結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進(jìn)行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.
【詳解】(1)，
①若，則，所以在上單調(diào)遞增；
②若，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增.
綜上可得，時，在上單調(diào)遞增；
時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
(2)有2個不同零點(diǎn)有2個不同解有2個不同的解，
令，則，
記，
記，
又，所以時，時，，
則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，
.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)[方法一]【最優(yōu)解】：
有2個不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).
由(2)可知有2個不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，
，
注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，又由知，
，
要證，只需，
且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以只需證，
只需證，
只需證，
，只需證在時為正，
由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，
又，故在時為正，
從而題中的不等式得證.
[方法二]：分析+放縮法
有2個不同零點(diǎn)，不妨設(shè)，由得（其中）．
且．
要證，只需證，即證，只需證．
又，所以，即．
所以只需證．而，所以，
又，所以只需證．
所以，原命題得證．
[方法三]：
若且，則滿足且，由（Ⅱ）知有兩個零點(diǎn)且．
又，故進(jìn)一步有．
由可得且，從而．．
因?yàn)椋?br /> 所以，
故只需證．
又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故只需證，即，注意時有，故不等式成立．
【整體點(diǎn)評】本題第二、三問均涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題，其中第三問難度更大，涉及到三種不同的處理方法，
方法一：直接分析零點(diǎn)，將要證明的不等式消元，代換為關(guān)于的函數(shù)，再利用零點(diǎn)反代法，換為關(guān)于的不等式，移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析范圍.
方法二：通過分析放縮，找到使得結(jié)論成立的充分條件，方法比較冒險！
方法三：利用兩次零點(diǎn)反代法，將不等式化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為與0比較大小，代入函數(shù)放縮得到結(jié)論.
54．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；
（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.
【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值
由題意知，，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則．
所以．
從而有．
因?yàn)?，所以?dāng)時，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值
拋物線的焦點(diǎn)為，，
所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；
（2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長求面積法
拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，
設(shè)點(diǎn)、、，
直線的方程為，即，即，
同理可知，直線的方程為，
由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，
所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以，，
，
由已知可得，所以，當(dāng)時，的面積取最大值.
[方法二]【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值
同方法一得到．
過P作y軸的平行線交于Q，則．
．
P點(diǎn)在圓M上，則
．
故當(dāng)時的面積最大，最大值為．
[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法
設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．
設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．
判別式，即，且．
拋物線C的方程為，即，有．
則，整理得，同理可得．
聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即．
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得．
由弦長公式得．
點(diǎn)P到直線的距離為．
所以，
其中，即．
當(dāng)時，．
【整體點(diǎn)評】（1）方法一利用兩點(diǎn)間距離公式求得關(guān)于圓M上的點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而求得的值；方法二，利用圓的性質(zhì)，與圓上點(diǎn)的距離的最小值，簡潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，由切點(diǎn)弦方程思想得到直線的坐標(biāo)滿足方程，然手與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，利用弦長公式求得的長，進(jìn)而得到面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，利用圓的方程轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的二次函數(shù)最值問題；方法二，同方法一得到，，過P作y軸的平行線交于Q，則．由求得面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，并利用三角函數(shù)換元求得面積最大值，方法靈活，計(jì)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三直接設(shè)直線，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理判別式得到，且．利用點(diǎn)在圓上，求得的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而利用弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式求得面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；
55．（1）；（2）證明見詳解
【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；
（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解
【詳解】（1）由，，
又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；
（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)
由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋?br /> 要證，即證，即證．
（ⅰ）當(dāng)時，，，即證．令，因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．
（ⅱ）當(dāng)時，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．
綜合（?。áⅲ┯校?br /> [方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)
由（1）得，，且，
當(dāng) 時，要證，， ，即證，化簡得；
同理，當(dāng)時，要證，， ，即證，化簡得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時，，單減，故；
當(dāng)時，，單增，故；
綜上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明
令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．故當(dāng)且時，且，，即，所以．
（?。┊?dāng)時，，所以，即，所以．
（ⅱ）當(dāng)時，，同理可證得．
綜合（?。áⅲ┑?，當(dāng)且時，，即．
【整體點(diǎn)評】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時，成立和當(dāng)時，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.


56．（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.
（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 又，
因?yàn)?，故?br /> 當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）因?yàn)榍业膱D與軸沒有公共點(diǎn)，
所以的圖象在軸的上方，
由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，
故即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式的恒成立問題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化中注意等價轉(zhuǎn)化.
57．（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.
【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)等價轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，,
令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
,設(shè)函數(shù),
則,令，得,
在內(nèi),單調(diào)遞增；
在上,單調(diào)遞減；
,
又，當(dāng)趨近于時，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,
所以的取值范圍是.
[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)
由與直線有且僅有兩個交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．
構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．
當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時，，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
由于，
當(dāng)時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點(diǎn)知，所以，即．
構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的解為且．
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
[方法三]分離法：一曲一直
曲線與有且僅有兩個交點(diǎn)等價為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．
因?yàn)?，所以兩邊取對?shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點(diǎn)．
①當(dāng)時，與只有一個交點(diǎn)，不符合題意．
②當(dāng)時，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．
當(dāng)與為同一直線時有得
直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點(diǎn)．
記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所當(dāng)且時有．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
[方法四]：直接法
．
因?yàn)?，由得?br /> 當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；
當(dāng)時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
因?yàn)?，且，所以，即，即，兩邊取對?shù)，得，即．
令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．
故實(shí)數(shù)a的范圍為．]
【整體點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，
方法一：將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
方法二：將問題取對，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.
方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點(diǎn)的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．
方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.
58．(1)答案見解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；
(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
導(dǎo)函數(shù)的判別式，
當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，的解為：，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
綜上可得：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在，上
單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)由題意可得：，，
則切線方程為：，
切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則：,
整理可得：，即：，
解得：，則，
切線方程為：,
與聯(lián)立得，
化簡得,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為
解得,
，
綜上，曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和.
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點(diǎn)所做曲線的切線問題，注意單調(diào)性研究中對導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點(diǎn)的不同情況進(jìn)行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)時，要注意除了已經(jīng)求出的切點(diǎn)，還可能有另外的公共點(diǎn)(交點(diǎn)),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實(shí)數(shù)根是求出的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.
59．（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.
【分析】(1) 首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.
(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)的定義域?yàn)椋?br /> 由得，，
當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br /> 于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因?yàn)椋孕枳C．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)椋?，?br /> 又因?yàn)?，所以?br /> 即．
因?yàn)?，所以，即?br /> 綜上，有結(jié)論得證．
【整體點(diǎn)評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.
方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.

60．（Ⅰ）（i）；（ii）的極小值為，無極大值；（Ⅱ）證明見解析.
【分析】(Ⅰ) (i)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）首先確定導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后令，將原問題轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的函數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(Ⅰ) (i) 當(dāng)k=6時，，.可得，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
(ii) 依題意，.
從而可得，
整理可得：，
令，解得.
當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：









單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)；
g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值.
（Ⅱ）證明：由，得.
對任意的，且，令，則



.????????①
令.
當(dāng)x>1時，，
由此可得在單調(diào)遞增，所以當(dāng)t>1時，，即.
因?yàn)?，，?br /> 所以
.????????②
由(Ⅰ)(ii)可知，當(dāng)時，，即，
故?????????③
由①②③可得.
所以，當(dāng)時，任意的，且，有
.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：
(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
61．（Ⅰ），（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.
【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以?br /> 設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，
由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.
（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，
令，得，令，得，
所以，
不妨設(shè)時，結(jié)果一樣，
則，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上遞減，在上遞增，
所以時，取得極小值，
也是最小值為.
[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法
??．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，不妨設(shè)，，
令，則．
令，則面積為，只需求出的最小值．
．
因?yàn)?，所以令，得?br /> 隨著a的變化，的變化情況如下表：
a





0


減
極小值
增

所以．
所以當(dāng)，即時，．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時，．
綜上，當(dāng)時，的最小值為32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．
所以當(dāng)，即時，．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時，．
綜上，當(dāng)時，的最小值為32．
[方法四]：兩次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整體點(diǎn)評】（Ⅱ）的方法一直接對面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡化了運(yùn)算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運(yùn)算較為簡潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識最少，配湊巧妙，技巧性較高.
62．（I）證明見解析，（II）（i）證明見解析，（ii）證明見解析.
【分析】（I）方法一：先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明結(jié)論；
（II）（i）先根據(jù)零點(diǎn)化簡不等式，轉(zhuǎn)化求兩個不等式恒成立，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最值，即可證得不等式；
（ii）方法一：先根據(jù)零點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化：，再根據(jù)放縮，轉(zhuǎn)化為證明不等式，最后構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.
【詳解】（I）[方法一]：單調(diào)性+零點(diǎn)存在定理法
在上單調(diào)遞增，
，
所以由零點(diǎn)存在定理得在上有唯一零點(diǎn)．
[方法二]【最優(yōu)解】：分離常數(shù)法
??函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)等價于方程在內(nèi)有唯一實(shí)根，又等價于直線與只有1個交點(diǎn)．
記，由于在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，故．
因此，當(dāng)時，直線與只有1個交點(diǎn)．
（II）（i），
，
令
一方面： ，
在單調(diào)遞增，，
，
另一方面：，
所以當(dāng)時，成立，
因此只需證明當(dāng)時，，
因?yàn)?br /> 當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，
在單調(diào)遞減，，，
綜上，.
（ii）[方法一]：分析+構(gòu)造函數(shù)法
，
，，
，因?yàn)?，所以?br /> ，
只需證明，
即只需證明，
令，
則，
，即成立，
因此.
[方法二]【最優(yōu)解】：放縮轉(zhuǎn)化法
．
設(shè)，則由得．
從而只要證．
上式左邊．
使用不等式可得
【整體點(diǎn)評】（Ⅰ）方法一：直接研究函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)零點(diǎn)存在定理證得結(jié)論，為通性通法；方法二：先分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明水平直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個數(shù)問題，為最優(yōu)解；
（Ⅱ）（?。┩ㄟ^分析，轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造函數(shù)證得；
（ⅱ）方法一：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求得最小值，然后根據(jù)條件放縮轉(zhuǎn)化為證明不等式．利用作差法構(gòu)造關(guān)于實(shí)數(shù)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得此不等式，為該題的通性通法；方法二：利用放縮判定的導(dǎo)函數(shù)大于零，確定單調(diào)性，得到其最小值，轉(zhuǎn)化為，然后利用不等式放縮證明，運(yùn)算相對簡潔，為最優(yōu)解.
63．（1）（2）
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)切線方程，即可得到坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；
（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a=1時，由得,符合題意；當(dāng)a>1時，可證，從而存在零點(diǎn)，使得，得到，利用零點(diǎn)的條件，結(jié)合指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當(dāng)時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.
【詳解】（1），，.
，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),
∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,
切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
∴所求三角形面積為．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
設(shè),則
∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，,∴,∴成立.
當(dāng)時， ，，,
∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
當(dāng)時， ∴不是恒成立.
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)
由得，即，而，所以．
令，則，所以在R上單調(diào)遞增．
由，可知，所以，所以．
令，則．
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減．
所以，則，即．
所以a的取值范圍為．
［方法三］：換元同構(gòu)
由題意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．
令，所以．
當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時，取得最大值為．所以．
［方法四］：
因?yàn)槎x域?yàn)椋?，所以，即?br /> 令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以時，有，即．
下面證明當(dāng)時，恒成立．
令，只需證當(dāng)時，恒成立．
因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．
因此要證明時，恒成立，只需證明即可．
由，得．
上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．
當(dāng)時，因?yàn)?，顯然不滿足恒成立．
所以a的取值范圍為．
【整體點(diǎn)評】（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；
方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；
方法三：通過先換元，令，再同構(gòu)，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進(jìn)行充分性證明即可．
64．（1）120米（2）米
【分析】（1）根據(jù)A,B高度一致列方程求得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意列總造價的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得
米
（2）設(shè)總造價為萬元，，設(shè)，

(0舍去)
當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此當(dāng)時，取最小值，
答：當(dāng)米時，橋墩CD與EF的總造價最低.
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際成本問題、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
65．（1）；（2）；（3）證明詳見解析
【分析】（1）方法一：根據(jù)一元二次不等式恒成立問題的解法，即可求得的表達(dá)式；
（2）方法一：先由，求得的一個取值范圍，再由，求得的另一個取值范圍，從而求得的取值范圍.
（3）方法一：根據(jù)題意可得兩個含參數(shù)的一元二次不等式在區(qū)間上恒成立，再結(jié)合放縮，即可利用導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.
【詳解】（1）[方法一]:判別式法
由可得在R上恒成立，
即和，
從而有即，
所以，
因此，．所以．
[方法二]【最優(yōu)解】：特值+判別式法
由題設(shè)有對任意的恒成立.
令，則，所以.
因此即對任意的恒成立，
所以，因此.
故.
（2）[方法一]
令，.
又.
若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.
當(dāng)時，，符合題意.
當(dāng)時， 在上遞減，在上遞增，則，
即，符合題意.
綜上所述，.
由
當(dāng)，即時，在為增函數(shù)，
因?yàn)椋?br /> 故存在，使，不符合題意.
當(dāng)，即時，，符合題意.
當(dāng)，即時，則需，解得.
綜上所述，的取值范圍是.
[方法二]【最優(yōu)解】：特值輔助法
由已知得在內(nèi)恒成立；
由已知得，
令，得，∴(*)，
令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時在內(nèi)恒成立；
由在內(nèi)恒成立，由(*)知，∴，∴，解得.
∴的取值范圍是.
（3）[方法一]：判別式+導(dǎo)數(shù)法
因?yàn)閷θ我夂愠闪ⅲ?br /> ①對任意恒成立，
等價于對任意恒成立.
故對任意恒成立.
令，
當(dāng)，，
此時，
當(dāng)，，
但對任意的恒成立.
等價于對任意的恒成立.
的兩根為，
則，
所以.
令，構(gòu)造函數(shù)，，
所以時，，遞減，.
所以，即.
[方法二]：判別式法
??由，從而對任意的有恒成立，等價于對任意的①，恒成立．
（事實(shí)上，直線為函數(shù)的圖像在處的切線）
同理對任意的恒成立，即等價于對任意的恒成立．????②
當(dāng)時，將①式看作一元二次方程，進(jìn)而有，①式的解為或（不妨設(shè)）；
當(dāng)時，，從而或，又，從而成立；
當(dāng)時，由①式得或，又，所以．
當(dāng)時，將②式看作一元二次方程，進(jìn)而有．
由，得，此時②式的解為不妨設(shè)，從而．
綜上所述，．
[方法三]【最優(yōu)解】：反證法
假設(shè)存在，使得滿足條件的m，n有．
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)閷愠闪ⅲ杂?br /> ．則有
，???③
，????④
解得．
由③+④并化簡得，．
因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增，且，
所以，．
由對恒成立，即有????⑤
對恒成立，將⑤式看作一元二次方程，進(jìn)而有．
設(shè)，則，
所以在區(qū)間上遞減，所以，即．
設(shè)不等式⑤的解集為，則，這與假設(shè)矛盾．從而．
由均為偶函數(shù)．同樣可證時，也成立．
綜上所述，．
【整體點(diǎn)評】（1）的方法一利用不等式恒成立的意義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，使用判別式得到不等式組，求解得到；方法二先利用特值求得的值，然后使用判別式進(jìn)一步求解，簡化了運(yùn)算，是最優(yōu)解；（2）中的方法一利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，使用分類討論思想分別求得的取值范圍，然后取交集；方法二先利用特殊值進(jìn)行判定得到，然后在此基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證不等式的一側(cè)恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得不等式的另一側(cè)也成立的條件，進(jìn)而得到結(jié)論，是最優(yōu)解；（3）的方法一、方法二中的分解因式難度較大，方法三使用反證法，推出矛盾，思路清晰，運(yùn)算簡潔，是最優(yōu)解.
66．（1）；（2）證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；
（2）方法一：由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，由題意，，即：，則．
（2）［方法一］：通性通法
由（1）可得，，
令，得或；令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
且，
若所有零點(diǎn)中存在一個絕對值大于1的零點(diǎn)，則或，
即或.
當(dāng)時，，
又，
由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個零點(diǎn)，
即在上存在唯一一個零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，
此時不存在絕對值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；
當(dāng)時，，
又，
由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個零點(diǎn)，
即在上存在唯一一個零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，
此時不存在絕對值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；
綜上，所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.
［方法二］【最優(yōu)解】：
設(shè)是的一個零點(diǎn)，且，則．
從而．
令，由判別式，可知在R上有解，的對稱軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為（當(dāng)時，），進(jìn)而有，所以的所有零點(diǎn)的絕對值均不大于1．
［方法三］：
設(shè)是函數(shù)的一個絕對值不大于1的零點(diǎn)，且．設(shè)，則，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又，于是的值域?yàn)椋?br /> 設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則必有，于是，所以解得，即．
綜上，的所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．
［方法四］：
由（1）知，，令，得或．則在區(qū)間內(nèi)遞增，在區(qū)間內(nèi)遞減，在區(qū)間內(nèi)遞增，所以的極大值為的極小值為．
（?。┤?，即或，有唯一一個零點(diǎn)，顯然有，不滿足題意；
（ⅱ）若，即或，有兩個零點(diǎn)，不妨設(shè)一個零點(diǎn)為，顯然有，此時，，則，另一個零點(diǎn)為1，滿足題意；同理，若一個零點(diǎn)為，則另一個零點(diǎn)為．
（ⅲ）若，即，有三個零點(diǎn)，易知在區(qū)間內(nèi)有一個零點(diǎn)，不妨設(shè)為，顯然有，又，，所以在內(nèi)有一個零點(diǎn)m，顯然，同理，在內(nèi)有一個零點(diǎn)n，有．
綜上，所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．
［方法五］：
設(shè)是的一個零點(diǎn)且，則是的另一個零點(diǎn)．
．
則，設(shè)，由判別式，所以方程有解．
假設(shè)實(shí)數(shù)滿足．
由，得．與矛盾，假設(shè)不成立．
所以，所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．
【整體點(diǎn)評】（2）方法一：先通過研究函數(shù)的單調(diào)性，得出零點(diǎn)可能所在區(qū)間，再根據(jù)反證法思想即可推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零點(diǎn)的定義以及零點(diǎn)存在性定理即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：利用零點(diǎn)的定義結(jié)合題意求出的范圍，然后再由零點(diǎn)定義以及的范圍即可求出所有零點(diǎn)的范圍，從而證出；方法四：由函數(shù)的單調(diào)性討論極大值極小值的符號，得出的范圍，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可證出；方法五：設(shè)函數(shù)的一個零點(diǎn)為，滿足，再設(shè)另一個零點(diǎn)為，通過零點(diǎn)定義找到的關(guān)系，再根據(jù)一元二次方程存在解的條件以及反證法即可推出矛盾，從而證出．
67．（1）詳見解析；(2).
【分析】（1），對分和兩種情況討論即可；
（2）有三個零點(diǎn)，由（1）知，且，解不等式組得到的范圍，再利用零點(diǎn)存在性定理加以說明即可.
【詳解】（1）由題，，
當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令，得，令，得，
令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在
，上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，有三個零點(diǎn)，則，且
即，解得，
當(dāng)時，，且，
所以在上有唯一一個零點(diǎn)，
同理，，
所以在上有唯一一個零點(diǎn)，
又在上有唯一一個零點(diǎn)，所以有三個零點(diǎn)，
綜上可知的取值范圍為.
【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及已知零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的范圍問題，考查學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.
68．（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.
【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）若有兩個零點(diǎn)，即有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個解，令，求導(dǎo)研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
令，解得，令，解得，
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
（2）若有兩個零點(diǎn)，即有兩個解，
從方程可知，不成立，即有兩個解，
令，則有，
令，解得，令，解得或，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，，
而時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)有兩個解時，有，
所以滿足條件的的取值范圍是：.
【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，也可以利用數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為曲線和直線有兩個交點(diǎn)，利用過點(diǎn)的曲線的切線斜率，結(jié)合圖形求得結(jié)果.
69．（1）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2）
【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.
(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】(1)當(dāng)時，，，
由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增.
(2) [方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
由得，，其中，
①.當(dāng)x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；
②.當(dāng)時，分離參數(shù)a得，，
記，，
令，
則，，
故單調(diào)遞增，，
故函數(shù)單調(diào)遞增，，
由可得：恒成立，
故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
因此，,
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
[方法二]：特值探路
當(dāng)時，恒成立．
只需證當(dāng)時，恒成立．
當(dāng)時，．
只需證明⑤式成立．
⑤式，
令，
則，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)單調(diào)遞增；
當(dāng)單調(diào)遞減．
從而，即，⑤式成立．
所以當(dāng)時，恒成立．
綜上．
[方法三]：指數(shù)集中
當(dāng)時，恒成立，
記，
，
①.當(dāng)即時，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，不合題意；
②.若即時，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，
所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時，成立；
③當(dāng)即時，，又由②可知時，成立，所以時，恒成立，
所以時，滿足題意.
綜上，.
【整體點(diǎn)評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：
方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；
方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險性；
方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進(jìn)行分類討論，具有一定的技巧性！
70．（1）；（2）在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間
【分析】（1）[方法三]不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最大值，進(jìn)而進(jìn)行求解即可；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，把導(dǎo)函數(shù)的分子構(gòu)成一個新函數(shù) ，再求導(dǎo)得到，根據(jù)的正負(fù)，判斷 的單調(diào)性，進(jìn)而確定的正負(fù)性，最后求出函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】（1）
[方法一]【最優(yōu)解】：
等價于．
設(shè)，則．
當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
故，所以，即，所以c的取值范圍是．
[方法二]：切線放縮
若，即，即當(dāng)時恒成立，
而在點(diǎn)處的切線為，從而有，
當(dāng)時恒成立，即，則．所以c的取值范圍為．
[方法三]：利用最值求取值范圍
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，
設(shè)，則有 ，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范圍為．
（2）且
因此，設(shè) ，
則有，
當(dāng)時，，所以， 單調(diào)遞減，因此有，即
，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以， 單調(diào)遞增，因此有，即 ，所以單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間和 上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.
【整體點(diǎn)評】(1)方法一：分類參數(shù)之后構(gòu)造函數(shù)是處理恒成立問題的最常用方法，它體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時是的導(dǎo)數(shù)的工具也得到了充分利用；
方法二：切線放縮體現(xiàn)了解題的靈活性，將數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到了解題過程之中，掌握常用的不等式是使用切線放縮的基礎(chǔ).
方法二：利用最值確定參數(shù)取值范圍也是一種常用的方法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
71．（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.
（2）證明見解析；
（3）證明見解析.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定其在各個區(qū)間上的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；
(2)[方法一]由題意將所給的式子進(jìn)行變形，利用四元基本不等式即可證得題中的不等式；
(3)[方法一]將所給的式子進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造出(2)的形式，利用(2)的結(jié)論即可證得題中的不等式.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：

，
在上的根為：，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增.
(2)[方法一]【最優(yōu)解】：基本不等式法
由四元均值不等式可得
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即或時等號成立．
所以．
[方法二]：構(gòu)造新函數(shù)+齊次化方法
因?yàn)?，令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值．
求導(dǎo)得，令，得．
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以函數(shù)的最大值為，故．
[方法三]：結(jié)合函數(shù)的周期性進(jìn)行證明
注意到，
故函數(shù)是周期為的函數(shù)，
結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：，
，，
據(jù)此可得：，，
即.
(3)利用(2)的結(jié)論
由于，
所以．
【整體點(diǎn)評】(2)方法一：基本不等式是證明不等式的重要工具，利用基本不等式解題時一定要注意等號成立的條件；
方法二：齊次化之后切化弦是一種常用的方法，它將原問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的問題，然后構(gòu)造函數(shù)即可證得題中的不等式；
方法三：周期性是三角函數(shù)的重要特征，結(jié)合函數(shù)的周期性和函數(shù)的最值證明不等式充分體現(xiàn)了三角函數(shù)有界限的應(yīng)用.
(3)方法一：利用(2)的結(jié)論體現(xiàn)了解答題的出題思路，逐問遞進(jìn)是解答題常見的設(shè)問方式；
72．（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見證明
【分析】(Ⅰ)由題意求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)果和導(dǎo)函數(shù)的符號求解函數(shù)的最小值即可證得題中的結(jié)論；
(Ⅲ)令，結(jié)合(Ⅰ)，(Ⅱ)的結(jié)論、函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的性質(zhì)放縮不等式即可證得題中的結(jié)果.
【詳解】(Ⅰ)由已知，有.
當(dāng)時，有，得，則單調(diào)遞減;
當(dāng)時，有，得，則單調(diào)遞增.
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
的單調(diào)遞減區(qū)間為.
(Ⅱ)記.依題意及(Ⅰ)有：，
從而.當(dāng)時，，故
.
因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而.
所以，當(dāng)時，.
(Ⅲ)依題意，，即.
記，則.
且.
由及(Ⅰ)得.
由(Ⅱ)知，當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，
因此.
又由(Ⅱ)知，故：
.
所以.
【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算?不等式證明?運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查函數(shù)思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查抽象概括能力?綜合分析問題和解決問題的能力.
73．（1）見詳解；（2）見詳解
【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到存在唯一，使得，進(jìn)而可得判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可確定其極值點(diǎn)個數(shù)，證明出結(jié)論成立；
（2）先由（1）的結(jié)果，得到，，得到在內(nèi)存在唯一實(shí)根，記作，再求出，即可結(jié)合題意，說明結(jié)論成立.
【詳解】（1）由題意可得，的定義域?yàn)椋?br /> 由，
得，
顯然單調(diào)遞增；
又，，
故存在唯一，使得；
又當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
因此，存在唯一的極值點(diǎn)；
（2）
[方法一]【利用對稱性轉(zhuǎn)化為研究兩個函數(shù)根的問題】
的根的情況問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像在區(qū)間內(nèi)的交點(diǎn)情況．．
當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；又因?yàn)?，所以?dāng)時，，則時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則當(dāng)時，單調(diào)遞增．又，所以函數(shù)與的圖像，如圖8所示，只有兩個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為和，且，即和為的兩個實(shí)根．

又因?yàn)?，?dāng)時，，由于，所以，即，所以兩個實(shí)根互為倒數(shù)．
[方法二]【分類討論】
由（1）知，．又，所以有且僅有兩個實(shí)根，可令．
下面證明，
由，得，顯然有， ．（*）
（1）當(dāng)時，，（*）式不成立；
（2）當(dāng)時，，（*）式不成立；
（3）當(dāng)時，，（*）式成立．
綜上，有且僅有兩個實(shí)根，且兩個實(shí)根互為倒數(shù)．
[方法三]【利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理】
的定義域?yàn)椋@然不是方程的根，
所以有兩個實(shí)根等價于有兩個零點(diǎn)，且定義域?yàn)椋?br /> 而，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
當(dāng)時，，，
所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即，
所以 ．
結(jié)合單調(diào)性知在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，所以有且僅有兩個零點(diǎn)，且兩個零點(diǎn)互為倒數(shù)，
即有且僅有兩個實(shí)根，且兩個實(shí)根互為倒數(shù)．
【整體點(diǎn)評】(2)方法一：對稱性是函數(shù)的重要性質(zhì)，利用函數(shù)的對稱性研究函數(shù)體現(xiàn)了整體思想；
方法二：分類討論是最常規(guī)的思想，是處理導(dǎo)數(shù)問題最常規(guī)的手段；
方法三：函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理的綜合運(yùn)用使得問題簡單化.
74．（1）函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；
（2）證明見解析.
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先求出曲線在處的切線，然后求出當(dāng)曲線切線的斜率與斜率相等時，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，因此函?shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)，時，，而，顯然當(dāng)，函數(shù)有零點(diǎn)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；
當(dāng)時，，
因?yàn)椋院瘮?shù)在必有一零點(diǎn)，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)
綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個零點(diǎn)；
（2）[方法一]【最優(yōu)解：分別求得兩條方程，比較常數(shù)項(xiàng)說明切線重合】
設(shè)在點(diǎn)處的斜率為．
切線的方程為，即．
由，得．
所以曲線上斜率為的切線的切點(diǎn)為．
切線的方程為，即．
由于，故曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.
[方法二]【利用切線的斜率相等進(jìn)行證明】
由題設(shè)知，即，曲線在點(diǎn)處的切線l的方程為．
設(shè)在曲線上取一點(diǎn)，若其在點(diǎn)B處的斜率與直線l的斜率相等，
則有，即，故．
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線l的方程中，
，整理得，上式顯然成立．
則直線l過點(diǎn)B，即曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
[方法三]【利用不同的方法計(jì)算斜率證明切線重合】
因?yàn)?，所以由，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，解得．
因此，曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是．
因?yàn)?，所以?br /> 因此，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
[方法四]【構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性證明切線重合】
因?yàn)椋?br /> 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是．
構(gòu)造函數(shù)，由得．
因?yàn)楫?dāng)時，；
當(dāng)時，，所以．
因此，函數(shù)只有一個零點(diǎn)．
所以曲線與曲線在點(diǎn)處的切線只有一個交點(diǎn)．
又，因此，曲線與直線相切于，
即曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
【整體點(diǎn)評】(2)方法一：分別求得兩條切線方程比較切線方程的形式是最直接思路；
方法二：考查切線斜率相等時證明切線重合的必要思路；
方法三：利用不同的方法計(jì)算切線方程是證明切線重合的有效方法；
方法四：構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
75．（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出，使得，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知為在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時，首先可判斷出在上無零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到在上的單調(diào)性，可知，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時，利用零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性可判斷出存在唯一一個零點(diǎn)；當(dāng)，可證得；綜合上述情況可證得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意知：定義域?yàn)椋呵?br /> 令，
，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減
在上單調(diào)遞減
又，
，使得
當(dāng)時，；時，
即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減
則為唯一的極大值點(diǎn)
即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).
（2）由（1）知：，
①當(dāng)時，由（1）可知在上單調(diào)遞增
????在上單調(diào)遞減
又
為在上的唯一零點(diǎn)
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
又????
在上單調(diào)遞增，此時，不存在零點(diǎn)
又
，使得
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
又，
在上恒成立，此時不存在零點(diǎn)
③當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減
在上單調(diào)遞減
又，
即，又在上單調(diào)遞減
在上存在唯一零點(diǎn)
④當(dāng)時，，

即在上不存在零點(diǎn)
綜上所述：有且僅有個零點(diǎn)
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的問題.解決零點(diǎn)問題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來說明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.
76．(1)見詳解；(2) 或.
【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2) 根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值.
【詳解】(1)對求導(dǎo)得.所以有
當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.
(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以
若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；
此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立.
若，區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以，代入解得 .
若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.
即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為
而，故所以區(qū)間上最大值為.
即相減得，即，又因?yàn)?，所以無解.
若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.
即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為
而，故所以區(qū)間上最大值為.
即相減得，解得，又因?yàn)椋詿o解.
若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以有區(qū)間上單調(diào)遞減，所以區(qū)間上最大值為，最小值為
即解得.
綜上得或.
【點(diǎn)睛】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算．思考量不大，由計(jì)算量補(bǔ)充．
77．（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
(2)由題意首先由函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值得到a的取值范圍，然后證明所得的范圍滿足題意即可.
【詳解】(1)當(dāng)時，，函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br /> ，
因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)由，得，
當(dāng)時，，等價于，
令，則，
設(shè)，，
則，
（i）當(dāng)時，，
則，
記，
則
列表討論：
x

（）
1
（1，+∞）
p′（x）

﹣
0
+
P（x）
p（）
單調(diào)遞減
極小值p（1）
單調(diào)遞增


（ii）當(dāng)時，，
令，
則，
故在上單調(diào)遞增，，
由（i）得，
，
由（i）（ii）知對任意，
即對任意，均有，
綜上所述，所求的a的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
78．（1）見解析；
（2）①bn=n；②5.
【分析】（1）由題意分別求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比即可證得題中的結(jié)論；
（2）①由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，據(jù)此即可確定其通項(xiàng)公式；
②由①確定的值，將原問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值．
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.
由，得，解得．
因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.
（2）①因?yàn)?，所以?br /> 由得，則.
由，得，
當(dāng)時，由，得，
整理得．
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.
因此，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n.
②由①知，bk=k，.
因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q>0.
因?yàn)閏k≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.
當(dāng)k=1時，有q≥1；
當(dāng)k=2，3，…，m時，有．
設(shè)f（x）=，則．
令，得x=e.列表如下：
x

e
(e，+∞)

+
0
–
f（x）

極大值


因?yàn)?，所以?br /> 取，當(dāng)k=1，2，3，4，5時，，即，
經(jīng)檢驗(yàn)知也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
綜上，所求m的最大值為5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力．
79．（1）；
（2）的極小值為
（3）見解析.
【分析】（1）由題意得到關(guān)于a的方程，解方程即可確定a的值；
（2）由題意首先確定a,b,c的值從而確定函數(shù)的解析式，然后求解其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)即可確定函數(shù)的極小值.
（3）由題意首先確定函數(shù)的極大值M的表達(dá)式，然后可用如下方法證明題中的不等式：
解法一：由函數(shù)的解析式結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮即可證得題中的不等式；
解法二：由題意構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值，
因?yàn)?，所以?br /> 當(dāng)時，．
令，則．
令，得．列表如下：





+
0
–


極大值


所以當(dāng)時，取得極大值，且是最大值，故．
所以當(dāng)時，，因此．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)?，所以，解得?br /> （2）因?yàn)椋?br /> 所以，
從而．令，得或．
因?yàn)?，都在集合中，且?br /> 所以．
此時，．
令，得或．列表如下：




1


+
0
–
0
+


極大值

極小值


所以的極小值為．
（3）因?yàn)?，所以?br /> ．
因?yàn)?，所以?br /> 則有2個不同的零點(diǎn)，設(shè)為．
由，得．
列表如下：







+
0
–
0
+


極大值

極小值


所以的極大值．
解法一：




．因此．
解法二：
因?yàn)?，所以?br /> 當(dāng)時，．
令，則．
令，得．列表如下：





+
0
–


極大值


所以當(dāng)時，取得極大值，且是最大值，故．
所以當(dāng)時，，因此．
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力．
80．（Ⅰ）和.
（Ⅱ）見解析；
（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此求得切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程；
(Ⅱ)由題意分別證得和即可證得題中的結(jié)論；
(Ⅲ)由題意結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論分類討論即可求得a的值.
【詳解】（Ⅰ），令得或者.
當(dāng)時，，此時切線方程為，即；
當(dāng)時，，此時切線方程為，即；
綜上可得所求切線方程為和.
（Ⅱ）設(shè)，，令得或者，所以當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；
而，所以，即；
同理令，可求其最小值為，所以，即，綜上可得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以是中的較大者，
若，即時，；
若，即時，；
所以當(dāng)最小時，，此時.
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
81．(1)見詳解；(2) .
【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2) 討論的范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終求得的取值范圍.
【詳解】(1)對求導(dǎo)得.所以有
當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.
(2)
若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為.而，故所以區(qū)間上最大值為.
所以，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)當(dāng)時從而單調(diào)遞減.而，所以.即的取值范圍是.
若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.
所以，而，所以.即的取值范圍是.
綜上得的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】(1)這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少.考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算.思考量不大，由計(jì)算量補(bǔ)充.
82．（I）在內(nèi)單調(diào)遞增.；
（II）（i）見解析；（ii）見解析.
【分析】（I）；首先寫出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的符號，從而得到結(jié)果；
（II）（i）對函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得極值的符號，從而確定出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，得到結(jié)果；
（ii）首先根據(jù)題意，列出方程組，借助于中介函數(shù)，證得結(jié)果.
【詳解】（I）解：由已知，的定義域?yàn)椋?br /> 且，
因此當(dāng)時，，從而，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增.
（II）證明：（i）由（I）知，，
令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，
又，且，
故在內(nèi)有唯一解，
從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，
則，當(dāng)時，，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，
所以在內(nèi)單調(diào)遞減，
因此是的唯一極值點(diǎn).
令，則當(dāng)時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，
從而當(dāng)時，，所以，
從而，
又因?yàn)?，所以在?nèi)有唯一零點(diǎn)，
又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn).
（ii）由題意，，即，
從而，即，
因?yàn)楫?dāng)時，，又，故，
兩邊取對數(shù)，得，
于是，整理得，
【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法，考查函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查綜合分析問題和解決問題的能力.
83．（1）見解析；
（2）.
【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，設(shè)為進(jìn)行再次求導(dǎo)，可判斷出當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而得到單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理可判斷出唯一零點(diǎn)所處的位置，證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過二次求導(dǎo)可判斷出，；分別在，，和的情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性，從而確定恒成立時的取值范圍.
【詳解】（1）
令，則
當(dāng)時，令，解得：
當(dāng)時，；當(dāng)時，
在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減
又，，
即當(dāng)時，，此時無零點(diǎn)，即無零點(diǎn)
????，使得
又在上單調(diào)遞減????為，即在上的唯一零點(diǎn)
綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)
（2）若時，，即恒成立
令
則，
由（1）可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減
且，，
，
①當(dāng)時，，即在上恒成立
在上單調(diào)遞增
，即，此時恒成立
②當(dāng)時，，，
，使得
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
又，
在上恒成立，即恒成立
③當(dāng)時，，
，使得
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
時，，可知不恒成立
④當(dāng)時，
在上單調(diào)遞減????
可知不恒成立
綜上所述：
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.對于此類端點(diǎn)值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)最值與零之間的比較，進(jìn)而通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最值.
84．(1) 1??(2)（，）
【詳解】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進(jìn)行取舍，最后可得a的取值范圍．
詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)?[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由題設(shè)知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此時f (1)=3e≠0．
所以a的值為1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，則當(dāng)x∈(，2)時，f ′(x)0．
所以f (x)0時，令得.
①當(dāng)，即a=1時，，
∴在上單調(diào)遞增，
∴無極值，不合題意.
②當(dāng)，即01滿足題意.
（3）當(dāng)a0，設(shè)．
因?yàn)椋襤（x）的圖象是不間斷的，
所以存在∈（0，1），使得，令，則b>0．
函數(shù)，
則．
由f（x）與g（x）且f′（x）與g′（x），得
，即（**）
此時，滿足方程組（**），即是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個“S點(diǎn)”．
因此，對任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點(diǎn)”．
點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的零點(diǎn)問題、方程解的個數(shù)問題、函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)問題，一般先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.
92．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）方法一：構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;
（2）方法一：研究零點(diǎn)，等價研究的零點(diǎn)，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個討論點(diǎn)，一個是a與零，一個是x與2，當(dāng)時，，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時，先減后增，從而確定只有一個零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性，即得a的值.
【詳解】（1）［方法一］：【最優(yōu)解】指數(shù)找朋友
當(dāng)時，等價于．
設(shè)函數(shù)，則．
，所以在單調(diào)遞減．
而，故當(dāng)時，，即．
［方法二］：【通性通法】直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最小值
當(dāng)時，．
令，令，得．則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，從而，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，有．
［方法三］：【最優(yōu)解】指對等價轉(zhuǎn)化
當(dāng)時，．
令，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，有，故當(dāng)時，．
（2）［方法一］：指數(shù)找朋友
設(shè)函數(shù)，
在只有一個零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個零點(diǎn)．
（i）當(dāng)時，，沒有零點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
故是在的最小值．
①若，即，在沒有零點(diǎn)；
②若，即，在只有一個零點(diǎn)；
③若，即，由于，所以在有一個零點(diǎn)，
由（1）知，當(dāng)時，，所以．
故在有一個零點(diǎn)，因此在有兩個零點(diǎn)．
綜上，在只有一個零點(diǎn)時，．
［方法二］：等價轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)
令，得．
令．則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點(diǎn)時，．
［方法三］：等價轉(zhuǎn)化為二次曲線與指數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)
函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點(diǎn)等價于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)只有一個公共點(diǎn)．由與的圖象可知它們在區(qū)間內(nèi)必相切于y軸右側(cè)同一點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則，解方程組得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．
［方法四］：等價轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)
當(dāng)時，，原問題轉(zhuǎn)化為動直線與曲線在區(qū)間內(nèi)只有一個公共點(diǎn)．由得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)與的切點(diǎn)為，則，于是函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程為．由切線過原點(diǎn)可得，故．
［方法五］：【通性通法】含參討論
因?yàn)?，?br /> 當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，故無零點(diǎn)；
當(dāng)時，．
①當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，有在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，故無零點(diǎn)；
②當(dāng)時，令，得，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．，從而單調(diào)遞增．又，所以無零點(diǎn)．
③當(dāng)時，，又，所以存在，使得，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，則為函數(shù)的唯一零點(diǎn)，且滿足．所以，解得，則．
［方法六］：【最優(yōu)解】等價變形＋含參討論
當(dāng)時，，無零點(diǎn)；
當(dāng)時，，記，則；
當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則有，故無零點(diǎn)；
當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞誠，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故，得．
【整體點(diǎn)評】（1）方法一：根據(jù)指數(shù)找朋友，將不等式等價轉(zhuǎn)化為，這樣可以減少求導(dǎo)的次數(shù)，便于求最值，是該題的最優(yōu)解．；
方法二：常規(guī)的直接求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性求最值，是該題的通性通法；
方法三：利用指對互化，將不等式等價轉(zhuǎn)化為，這樣可以減少求導(dǎo)的次數(shù)，便于求最值，是該題的最優(yōu)解．
（2）方法一：根據(jù)指數(shù)找朋友，原函數(shù)在只有一個零點(diǎn)等價于在只有一個零點(diǎn)，再分類討論以及利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可解出；
方法二：利用函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)關(guān)系，等價轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)，即可解出；
方法三：利用函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)關(guān)系，等價轉(zhuǎn)化為二次曲線與指數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，即可解出；
方法四：同方法二；
方法五：直接含參討論函數(shù)的單調(diào)性確定最值，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可解出，是該類型題的通性通法；
方法六：易知當(dāng)時函數(shù)無零點(diǎn)，只需考慮時的情況，，再含參討論函數(shù)的單調(diào)性，研究其最值即可解出，是本題的最優(yōu)解．
93．(Ⅰ)單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)證明見解析.
【分析】（I）由題意可得，由以及即可解出；
（II）分別求出兩切線方程，根據(jù)直線平行的條件得，兩邊取對數(shù)即可證出；
（III）方法一：分別求出兩曲線的切線的方程，則問題等價于當(dāng)時，存在，，使得l1和l2重合，構(gòu)造函數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)存在零點(diǎn)，即可證出.
【詳解】（I）由已知，，有.
令，解得x=0.
由a>1，可知當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：
x

0



0
+


極小值


所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（II）由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
因?yàn)檫@兩條切線平行，故有，即.
兩邊取以a為底的對數(shù)，得，所以.
（III）［方法一］：導(dǎo)數(shù)的幾何意義＋零點(diǎn)存在性定理
曲線在點(diǎn)處的切線l1：.
曲線在點(diǎn)處的切線l2：.
要證明當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，
只需證明當(dāng)時，存在，，使得l1和l2重合.
即只需證明當(dāng)時，方程組有解，
由①得，代入②，得.???③
因此，只需證明當(dāng)時，關(guān)于x1的方程③存在實(shí)數(shù)解.
設(shè)函數(shù)，
即要證明當(dāng)時，函數(shù)存在零點(diǎn).
，可知時，；
時，單調(diào)遞減，
又，，
故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.
由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
在處取得極大值.
因?yàn)?，故?br /> 所以
.
下面證明存在實(shí)數(shù)t，使得.
由（I）可得，當(dāng)時，
有
，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，
所以存在實(shí)數(shù)t，使得，
因此，當(dāng)時，存在，使得.
所以，當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.
［方法二］：
因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以直線l滿足如下條件：

．
記，則是關(guān)于t的減函數(shù)．
，
使，即，即．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，，由（Ⅰ）可得當(dāng)時，．
若．則，取，，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．
所以當(dāng)時，存在直線l，使l曲線的切線，也是曲線的切線．
【整體點(diǎn)評】（III）方法一：利用切線重合，建立等量關(guān)系，通過消元得出方程，根據(jù)方程有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)，由零點(diǎn)存在性定理證出；
方法二：根據(jù)斜率相等得出方程，引入新變元，構(gòu)建關(guān)于新變元的方程，再由方程有實(shí)根，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)有零點(diǎn)，即可證出．
94．（1）答案見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）首先確定函數(shù)的定義域，函數(shù)求導(dǎo)，再對進(jìn)行分類討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）方法一：根據(jù)存在兩個極值點(diǎn)，結(jié)合第一問的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個極值點(diǎn)是方程的兩個不等的正實(shí)根，利用韋達(dá)定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?
（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，所以在單調(diào)遞減.
（ii）若，令得，或.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）［方法一］：【通性通法】消元
由（1）知，存在兩個極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).
由于的兩個極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于
，
所以等價于.
設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時，，所以，即.
［方法二］：【通性通法】消元
由（1）知且是方程的兩根，不妨設(shè)，即．此時．
欲證不等式成立，只需證．
因?yàn)椋?，只需證．
令，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，即證．
［方法三］：硬算
因?yàn)椋?br /> 所以有兩個相異的正根（不妨設(shè)）．
則且即．
所以．
而，，所以．
設(shè)，則．
所以在上遞減，，問題得證．
［方法四］：【最優(yōu)解】對數(shù)平均不等式的應(yīng)用
由（1）知，存在兩個極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)．
由于的兩個極值點(diǎn)滿足，所以．不妨設(shè)，則．由于．
由對數(shù)平均不等式可得，即．
故．
【整體點(diǎn)評】（2）方法一：根據(jù)消元思想，先找到極值點(diǎn)之間的關(guān)系，再消元轉(zhuǎn)化為一個未知元的不等式恒成立問題，屬于通性通法；
方法二：同方法一，只是消元字母不一樣；
方法三：直接硬算出極值點(diǎn)，然后代入求證，計(jì)算稍顯復(fù)雜；
方法四：根據(jù)式子形式利用對數(shù)平均不等式放縮，證明簡潔，是該題的最優(yōu)解．
95．(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ) 的極大值為6，極小值為?6；(Ⅲ)
【分析】（Ⅰ）由題意可得f(x)=x3?x，=3x2?1，結(jié)合f(0)=0，=?1，可得切線方程為x+y=0；（Ⅱ）由已知可得：f(x)=x3?3t2x2+(3t22?9)x? t23+9t2.則= 3x2?6t2x+3t22?9.令=0，解得x= t2?，或x= t2+.據(jù)此可得函數(shù)f(x)的極大值為f(t2?)=6；函數(shù)極小值為f(t2+)=?6；（III）原問題等價于關(guān)于x的方程(x?t2+d) (x?t2) (x?t2?d)+ (x?t2)+ 6=0有三個互異的實(shí)數(shù)解，令u= x?t2，可得u3+(1?d2)u+6=0.設(shè)函數(shù)g(x)= x3+(1?d2)x+6，則y=g(x)有三個零點(diǎn).利用導(dǎo)函數(shù)研究g(x)的性質(zhì)可得的取值范圍是
【詳解】（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x?1)(x+1)=x3?x，
故=3x2?1，因此f(0)=0，=?1，
又因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y?f(0)=(x?0)，故所求切線方程為x+y=0．
（Ⅱ）由已知可得
f(x)=(x?t2+3)(x?t2)(x?t2?3)=(x?t2)3?9(x?t2)=x3?3t2x2+(3t22?9)x?t23+9t2．
故=3x2?6t2x+3t22?9．
令=0，解得x=t2?或x=t2+．
當(dāng)x變化時，，f(x)的變化如下表：
x
(?∞，t2?)
t2?
(t2?，t2+)
t2+
(t2+，+∞)

+
0
?
0
+
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗

所以函數(shù)f(x)的極大值為f(t2?)=(?)3?9×(?)=6，
函數(shù)f(x)的極小值為f(t2+)=()3?9×()=?6．
（Ⅲ）曲線y=f(x)與直線y=?(x?t2)?6有三個互異的公共點(diǎn)等價于關(guān)于x的方程(x?t2+d)(x?t2)(x?t2?d)+(x?t2)+ 6=0有三個互異的實(shí)數(shù)解，
令u=x?t2，可得u3+(1?d2)u+6=0．
設(shè)函數(shù)g(x)=x3+(1?d2)x+6，則曲線y=f(x)與直線y=?(x?t2)?6有三個互異的公共點(diǎn)等價于函數(shù)y=g(x)有三個零點(diǎn)．
=3x3+(1?d2)．
當(dāng)d2≤1時，≥0，這時在上R單調(diào)遞增，不合題意．
當(dāng)d2>1時，=0，解得x1=，x2=．
易得，g(x)在(?∞，x1)上單調(diào)遞增，在[x1，x2]上單調(diào)遞減，在(x2，+∞)上單調(diào)遞增．
g(x)的極大值g(x1)=g()=>0．
g(x)的極小值g(x2)=g()=?．
若g(x2)≥0，由g(x)的單調(diào)性可知函數(shù)y=g(x)至多有兩個零點(diǎn)，不合題意．
若即，也就是，此時，且，從而由的單調(diào)性，可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個零點(diǎn)，符合題意．
所以，的取值范圍是．
點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度??從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
96．???? ????
【分析】分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；
【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求
分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；
解： 因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；
[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合
當(dāng)時，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖象為：

所以當(dāng)時的切線，只需找到關(guān)于y軸的對稱直線即可.
[方法三]：
因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；.

97．???? -1;???? .
【分析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用導(dǎo)函數(shù)的解析式可得a的取值范圍.
【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù),則，
對任意的恒成立.
若函數(shù)是上的增函數(shù),則恒成立,.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性?單調(diào)性?利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過程中,需利用轉(zhuǎn)化與化歸思想,轉(zhuǎn)化成恒成立問題.注重重點(diǎn)知識?基礎(chǔ)知識?基本運(yùn)算能力的考查.

相關(guān)試卷

5-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-五年（2018-2022）高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編：

這是一份5-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-五年（2018-2022）高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編，共164頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題，雙空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編27-概率（含解析）：

這是一份五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編27-概率（含解析），共26頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題，雙空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編26-計(jì)數(shù)原理（含解析）：

這是一份五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編26-計(jì)數(shù)原理（含解析），共17頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題，雙空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編25-統(tǒng)計(jì)（含解析）

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編25-統(tǒng)計(jì)（含解析）
五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編12-數(shù)列求和（含解析）

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編12-數(shù)列求和（含解析）
五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編3-函數(shù)及其性質(zhì)（含解析）

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編3-函數(shù)及其性質(zhì)（含解析）
五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編1-集合（含解析）

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編1-集合（含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部