?河南省新鄉(xiāng)市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．某疫情防控志愿者小組有20名志愿者，由黨員和大學(xué)生組成，其中有15人是黨員，有9人是大學(xué)生，則既是黨員又是大學(xué)生的志愿者人數(shù)為（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
2．命題“有些梯形的對角線相等”的否定是（　　）
A．有些梯形的對角線不相等
B．所有梯形的對角線都相等
C．至少有一個梯形的對角線相等
D．沒有一個梯形的對角線相等
3．已知冪函數(shù)f（x）＝（3m2﹣11）xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則f（4）＝（　?。?br /> A．2 B．16 C． D．
4．“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．現(xiàn)有兩個相互嚙合的齒輪，大輪有64齒，小輪有24齒，當(dāng)小輪轉(zhuǎn)一周時，大輪轉(zhuǎn)動的弧度是（　?。?br /> A． B． C． D．
6．某燈具商店銷售一種節(jié)能燈，每件進(jìn)價10元，每月銷售量y（單位：件）與銷售價格x（單位：元）之間滿足如下關(guān)系式：y＝﹣10x+500（20＜x≤40且x∈N）．則燈具商店每月的最大利潤為（　?。?br /> A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元
7．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（　?。?br /> A．（11，+∞） B．（﹣∞，11） C．（23，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
8．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則的最小值為（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
9．已知a＝0.590.61，b＝0.610.59，，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜c＜b
10．已知，則＝（　?。?br /> A． B． C． D．
11．已知f（x）是定義在[﹣5，5]上的偶函數(shù)，當(dāng)﹣5≤x≤0時，f（x）的圖象如圖所示，則不等式＜0的解集為（　?。?br />
A．（﹣π，﹣2）∪（0，2）∪（π，5] B．（﹣π，﹣2）∪（π，5）
C．（﹣5，﹣2）∪（0，π）∪（π，5） D．（﹣5，﹣2）∪（π，5）
12．已知奇函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）為偶函數(shù)，且f（﹣1）＝5，則f（1）+f（2）+?+f（2021）＝（　?。?br /> A．10 B．﹣10 C．﹣5 D．5
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．
13．已知角θ的終邊經(jīng)過點，則＝　 ?。?br /> 14．函數(shù)的值域為 　 ?。?br /> 15．已知函數(shù)f（x）＝log2|x﹣1|，則不等式f（1﹣x）≤2的解集為 　 ?。?br /> 16．已知，，則cos2α+cos2β＝　 ?。?br /> 三、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）求值：
（1）；
（2）．
18．（12分）已知集合A＝{x|2a﹣2≤x≤a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}．
（1）若a＝﹣2，求A∪（?RB）；
（2）若A∩B＝A，求a的取值范圍．
19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝loga（x+2a）（a＞0且a≠1）的圖象過點（3，2）．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)，求g（x）≥2的解集．
20．（12分）若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求g（x）圖象的對稱中心；
（2）若，求的值．
21．（12分）已知函數(shù)．
（1）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）若對任意t∈R，k∈R，f（t2﹣t）+f（m﹣2t）＜k2恒成立，求m的取值范圍．
22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝sincos﹣sin2+sin（x+）+．
（1）將f（x）化為Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的形式；
（2）若函數(shù)g（x）＝a[f（x）]2﹣2f（x）+1在（）上有4個零點，求a的取值范圍．

參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．某疫情防控志愿者小組有20名志愿者，由黨員和大學(xué)生組成，其中有15人是黨員，有9人是大學(xué)生，則既是黨員又是大學(xué)生的志愿者人數(shù)為（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】黨員人數(shù)和大學(xué)生人數(shù)之和減去志愿者小組總?cè)藬?shù)，得到既是黨員又是大學(xué)生的志愿者人數(shù)．
【解答】解：某疫情防控志愿者小組有20名志愿者，由黨員和大學(xué)生組成，
其中有15人是黨員，有9人是大學(xué)生，
則既是黨員又是大學(xué)生的志愿者人數(shù)為：15+9﹣20＝4．
故選：C．
【點評】本題考查既是黨員又是大學(xué)生的志愿者人數(shù)的求法，考查集合中元素個數(shù)的判斷等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．命題“有些梯形的對角線相等”的否定是（　?。?br /> A．有些梯形的對角線不相等
B．所有梯形的對角線都相等
C．至少有一個梯形的對角線相等
D．沒有一個梯形的對角線相等
【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．
【解答】解：特稱命題的否定是全稱量詞命題，則命題“有些梯形的對角線相等”的否定是“沒有一個梯形的對角線相等”，
故選：D．
【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．
3．已知冪函數(shù)f（x）＝（3m2﹣11）xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則f（4）＝（　?。?br /> A．2 B．16 C． D．
【分析】由題意，利用冪函數(shù)的定義，用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，可得要求函數(shù)的值．
【解答】解：由題意得，3m2﹣11＝1，且m＜0，解得m＝﹣2，
所以f（x）＝x﹣2，故f（4）＝4﹣2＝，
故選：D．
【點評】本題主要考查冪函數(shù)的定義，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．
4．“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】利用分類討論和象限角的定義得到充分性成立，利用舉實例得到必要性不成立．
【解答】解：①若α是第四象限角，則270°+k?360°＜α＜360°+k?360°，k∈Z，
∴135°+k?180°＜＜180°+k?180°，k∈Z，
當(dāng)k＝2m為偶數(shù)時，則135°+m?360°＜＜180°+m?360°，m∈Z，∴是第二象限角，
當(dāng)k＝2m+1為奇數(shù)時，則315°+m?360°＜＜360°+m?360°，m∈Z，∴是第四象限角，
∴是第二或第四象限角，∴充分性成立，
②當(dāng)＝﹣80°是第四象限角時，則α＝﹣160°是第三象限角，∴必要性不成立，
∴α是第四象限角是是第二或第四象限角的充分不必要條件．
故選：A．
【點評】本題考查了象限角的判斷，充要條件的判定，屬于中檔題．
5．現(xiàn)有兩個相互嚙合的齒輪，大輪有64齒，小輪有24齒，當(dāng)小輪轉(zhuǎn)一周時，大輪轉(zhuǎn)動的弧度是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合大輪與小輪轉(zhuǎn)過的弧長相等，即可求解．
【解答】解：當(dāng)小輪轉(zhuǎn)一周時，大輪轉(zhuǎn)動周，
則大輪轉(zhuǎn)動的弧度是．
故選：C．
【點評】本題主要考查弧長公式，屬于基礎(chǔ)題．
6．某燈具商店銷售一種節(jié)能燈，每件進(jìn)價10元，每月銷售量y（單位：件）與銷售價格x（單位：元）之間滿足如下關(guān)系式：y＝﹣10x+500（20＜x≤40且x∈N）．則燈具商店每月的最大利潤為（　?。?br /> A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元
【分析】先建立二次函數(shù)模型，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值．
【解答】解：設(shè)燈具商店每月的利潤為z元，
則z＝（x﹣10）（﹣10x+500）＝﹣10（x﹣30）2+4000≤4000，
故選：B．
【點評】本題主要考查函數(shù)模型及其應(yīng)用，二次函數(shù)最值的求解等知識，屬于基礎(chǔ)題．
7．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（　?。?br /> A．（11，+∞） B．（﹣∞，11） C．（23，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0求得函數(shù)定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)二次函數(shù)的減區(qū)間，即可求得原函數(shù)的增區(qū)間．
【解答】解：由x2﹣22x﹣23＞0，得x＜﹣1或x＞23，
∴函數(shù)的定義域為{x|x＜﹣1或x＞23}，
∵函數(shù)單調(diào)遞減，且函數(shù)t＝x2﹣22x﹣23在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，
函數(shù)在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞增．
故選：D．
【點評】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．對應(yīng)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．
8．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則的最小值為（　?。?br /> A．24 B．25 C．26 D．27
【分析】根據(jù)題意可得+＝（+）（x+2y）＝（34++），從而即可利用基本不等式進(jìn)行求解．
【解答】解：由題意，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．
故選：B．
【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生邏輯推理和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．
9．已知a＝0.590.61，b＝0.610.59，，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜c＜b
【分析】本題利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷a，b，根根對數(shù)運算可判斷c最?。?br /> 【解答】解：∵冪函數(shù)y＝xa，當(dāng)a＞0時，在（0，+∞）單調(diào)遞增，
故b＝0.610.59＞0.590.59，
又指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)0＜a＜1時，在R上單調(diào)遞減，
故0.590.59＞a＝0.590.61＞0，即b＞a，
，
所以c＜a＜b．
故選：B．
【點評】本題考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，對數(shù)相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．
10．已知，則＝（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】利用二倍角公式進(jìn)行化簡即可．
【解答】解：因為，所以，，
所以＝．
故選：C．
【點評】本題考查三角恒等變換，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．
11．已知f（x）是定義在[﹣5，5]上的偶函數(shù)，當(dāng)﹣5≤x≤0時，f（x）的圖象如圖所示，則不等式＜0的解集為（　?。?br />
A．（﹣π，﹣2）∪（0，2）∪（π，5] B．（﹣π，﹣2）∪（π，5）
C．（﹣5，﹣2）∪（0，π）∪（π，5） D．（﹣5，﹣2）∪（π，5）
【分析】由已知結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可確定0≤x≤5時函數(shù)性質(zhì)，然后結(jié)合分式不等式的求法可求．
【解答】解：因為f（x）是定義在[﹣5，5]上的偶函數(shù)，當(dāng)﹣5≤x≤0時，f（x）單調(diào)遞減，f（﹣2）＝0，
所以0≤x≤5時，函數(shù)單調(diào)遞增，f（2）＝0，
所以f（x）＞0的解集[﹣5，﹣2）∪（2，5]，f（x）＜0的解集（﹣2，2），
當(dāng)﹣5≤x≤5時，sinx＞0的解集[﹣5，﹣π）∪（0，π），sinx＜0時的解集（﹣π，0）∪（π，5]，
則不等式＜0可轉(zhuǎn)化為或，
解得﹣π＜x＜﹣2或π＜x≤5或0＜x＜2．
故選：A．
【點評】本題主要考查了偶函數(shù)的對稱性在求解不等式中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
12．已知奇函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）為偶函數(shù)，且f（﹣1）＝5，則f（1）+f（2）+?+f（2021）＝（　?。?br /> A．10 B．﹣10 C．﹣5 D．5
【分析】通過函數(shù)的奇偶性推出f（x）是周期為4的周期函數(shù)，再計算f（1），f（2），f（3），f（4）的值后，即可得解．
【解答】解：由題意得，f（x+1）＝f（﹣x+1）＝﹣f（x﹣1）①，
所以f（x﹣1）＝f（（x﹣2）+1）＝﹣f（x﹣2﹣1）＝﹣f（x﹣3）②，
由①②得，f（x+1）＝f（x﹣3），
所以f（x）的周期為4，
因為f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣5，f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝5，f（4）＝f（0）＝0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，
所以f（1）+f（2）+?+f（2021）＝505×0+f（2021）＝f（1）＝﹣5．
故選：C．
【點評】本題考查函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用，通過函數(shù)的奇偶性推出函數(shù)的周期性是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．
13．已知角θ的終邊經(jīng)過點，則＝　?。?br /> 【分析】由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式即可求解．
【解答】解：因為角θ的終邊經(jīng)過點，
所以sinθ＝＝﹣，
由題意得．
故答案為：．
【點評】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
14．函數(shù)的值域為 　[3，+∞）?。?br /> 【分析】先判斷和x2﹣x+1的單調(diào)性，從而判斷f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求值域．
【解答】解：由2x﹣4≥0，得x≥2．
因為在[2，+∞）上單調(diào)遞增，且x2﹣x+1在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
因為f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
所以f（x）min＝f（2）＝3．
故答案為：[3，+∞）．
【點評】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性求值域，屬于基礎(chǔ)題．
15．已知函數(shù)f（x）＝log2|x﹣1|，則不等式f（1﹣x）≤2的解集為 　[﹣4，0）∪（0，4]?。?br /> 【分析】直接求解不等式即可得到結(jié)論．
【解答】解：由f（1﹣x）＝log2|x|≤2，得0＜|x|≤4，解得﹣4≤x≤4且x≠0．
故答案為：[﹣4，0）∪（0，4]．
【點評】本題主要考查對數(shù)不等式的解法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．已知，，則cos2α+cos2β＝　?。?br /> 【分析】通過已知角和所求角之間的關(guān)系，將所求角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知角的三角函數(shù)值可解．
【解答】解：cos2α+cos2β＝cos[（α+β）+（α﹣β）]+cos[（α+β）﹣（α﹣β）]
＝cos（α+β）cos（α﹣β）﹣sin（α+β）sin（α﹣β）+cos（α+β）cos（α﹣β）+sin（α+β）sin（α﹣β）
＝．
故答案為：﹣．
【點評】本題考查了三角函數(shù)的求值，屬于基礎(chǔ)題．
三、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）求值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用指數(shù)冪的運算法則求解即可．
（2）利用對數(shù)的運算法則求解即可．
【解答】解：（1）原式＝?+π﹣2﹣1＝3﹣π﹣3＝π．
（2）原式＝log5100﹣log54+?﹣3＝log525+6﹣3＝2+6﹣3＝5．
【點評】本題考查指數(shù)冪，對數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．
18．（12分）已知集合A＝{x|2a﹣2≤x≤a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}．
（1）若a＝﹣2，求A∪（?RB）；
（2）若A∩B＝A，求a的取值范圍．
【分析】（1）由已知結(jié)合集合的并集集補(bǔ)集運算即可求解；
（2）由題意得A?B，然后結(jié)合集合的包含關(guān)系對A是否為空集進(jìn)行分類討論可求．
【解答】解：（1）由題意得A＝{x|﹣6≤x≤﹣2}，?RB＝{x|x≥1或x≤﹣3}，
故A∪（?RB）＝{x|x≥1或x≤﹣2}；
（2）由題意得A?B，
①當(dāng)A＝?時，2a﹣2＞a，得a＞2，符合題意；．
②當(dāng)A≠?時，，得．
故a的取值范圍為．
【點評】本題主要考查了集合的交集，補(bǔ)集集并集運算，還考查了集合的包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于中等題．
19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝loga（x+2a）（a＞0且a≠1）的圖象過點（3，2）．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)，求g（x）≥2的解集．
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)過定點，建立方程進(jìn)行求解即可．
（2）求出g（x）的表達(dá)式，根據(jù)不等式的解法進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（x）的圖象過點（3，2）．
∴由題意得f（3）＝loga（3+2a）＝2，得a2＝2a+3，即a2﹣2a﹣3＝0，
解得a＝3或﹣1（舍去），故a＝3．
（2）當(dāng)a＝3時，f（x）＝log3（x+6），
由題意得．
當(dāng)x＜2時，g（x）＝x+1≥2，解得1≤x＜2；
當(dāng)x≥2時，g（x）＝log3（x+6）≥2，解得x≥3．
故g（x）≥2的解集為[1，2）∪[3，+∞）．
【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
20．（12分）若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求g（x）圖象的對稱中心；
（2）若，求的值．
【分析】（1）由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換可求函數(shù)解析式，利用余弦函數(shù)的對稱性即可求解．
（2）由題意利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，進(jìn)而利用二倍角的正切公式即可求解．
【解答】解：（1）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度，得到，
由（k∈Z），
得（k∈Z），
故g（x）圖象的對稱中心為（k∈Z）．
（2）由題意得，
所以．
故．
【點評】本題考查了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換，余弦函數(shù)的對稱性，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正切公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
21．（12分）已知函數(shù)．
（1）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）若對任意t∈R，k∈R，f（t2﹣t）+f（m﹣2t）＜k2恒成立，求m的取值范圍．
【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性定義判斷；
（2）先轉(zhuǎn)化為對任意t∈R，f（t2﹣t）+f（m﹣2t）＜0恒成立，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為t2﹣3t+m＞0，對任意t∈R恒成立求解．
【解答】解：（1）f（x）是奇函數(shù)，理由如下：
f（x）的定義域為R，
，
故f（x）是奇函數(shù)．
（2）對任意t∈R，k∈R，f（t2﹣t）+f（m﹣2t）＜k2恒成立，
等價于對任意t∈R，f（t2﹣t）+f（m﹣2t）＜0恒成立，
等價于對任意t∈R，f（t2﹣t）＜﹣f（m﹣2t）＝f（2t﹣m）成立，
因為，
所以f（x）單調(diào)遞減，
故對任意t∈R，t2﹣t＞2t﹣m，
即t2﹣3t+m＞0，
所以Δ＝9﹣4m＜0，
解得，
故m的取值范圍是．
【點評】本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．
22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝sincos﹣sin2+sin（x+）+．
（1）將f（x）化為Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的形式；
（2）若函數(shù)g（x）＝a[f（x）]2﹣2f（x）+1在（）上有4個零點，求a的取值范圍．
【分析】（1）由題意，利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，可得結(jié)果．
（2）由題意，令t＝f（x）∈（0，2），則at2﹣2t+1＝0在（0，2）上有2個不同的解，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得a的范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝sincos﹣sin2+sin（x+）+＝sinx﹣?+（sinx+cosx）+
＝sinx+cosx＝2sin（x+）．
（2）∵x+∈（﹣，π），∴sin（x+）∈（﹣，1]，∴f（x）∈（﹣1，2]．
而函數(shù)g（x）＝a[f（x）]2﹣2f（x）+1在（）上有4個零點，
∴f（x）∈（0，2）．
∴令t＝f（x）∈（0，2），則at2﹣2t+1＝0在（0，2）上有2個不同的解，
∴．
求得＜a＜1，即a的取值范圍為（，1）．
【點評】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．


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