江西省贛州市九校2023屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．已知集合，（），若，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A． B． C． D．3．已知直線，若，則與之間的距離為（    ）A．1 B．2 C． D．4．我國古代歷法從東漢的《四分歷》開始，就有各節(jié)氣初日晷影長度和太陽去極度的觀測記錄，漏刻、晷影成為古代歷法的重要計算項目．唐代僧一行在編制《大衍歷》時發(fā)明了求任何地方每日晷影長和去極度的計算方法——“九服晷影法”，建立了晷影長l與太陽天頂距之間的對應(yīng)數(shù)表（世界上最早的正切函數(shù)表）．根據(jù)三角學(xué)知識知：晷影長l等于表高h與天頂距正切值的乘積，即．若對同一表高進(jìn)行兩次測量，測得晷影長分別是表高的2倍和3倍，記對應(yīng)的天頂距分別為和，則（    ）A． B． C． D．15．已知是平面內(nèi)兩個不同的定點，為平面內(nèi)的動點，則“的值為定值，且”是“點的軌跡是雙曲線”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知，則曲線在點處的切線方程為（    ）A． B．C． D．7．已知雙曲線，F為C的下焦點．O為坐標(biāo)原點，是C的斜率大于0的漸近線，過F作斜率為的直線l交于點A，交x軸的正半軸于點B，若，則C的離心率為（    ）A．2 B． C． D．8．函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（    ）A． B． C． D．9．已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓C過和兩點，點P在線段上，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．10．已知定義在上的函數(shù)滿足：①；②對任意正數(shù)x，y，當(dāng)時，恒成立．若，則（    ）A． B． C． D．11．在四面體中，，異面直線與所成的角為，二面角為銳二面角，，則四面體的體積為（    ）A． B．3 C．5 D．1012．將曲線和曲線合成曲線E．斜率為k的直線l與E交于A，B兩點，P為線段的中點，則下列判斷錯誤的是（    ）A．曲線E所圍成圖形的面積小于36B．曲線E與其對稱軸僅有兩個交點C．存在，使得點P的軌跡總在某個橢圓上D．存在k，使得點P的軌跡總在某條直線上 二、填空題13．已知向量滿足，則與的夾角為_______________．14．直線l過點且與圓相切，則直線l的方程為______________．15．如圖，直線與拋物線交于A，B兩點，D為C上異于A，B的一點，若，則點D到直線的距離與p的比值為__________．16．若是函數(shù)的兩個極值點，且，則實數(shù)的取值范圍為_____________． 三、解答題17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大??；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．18．已知直線，若與的交點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若圓的圓心在直線上，且與曲線C相交所得公共弦的長為，求m，n的值．19．在正項數(shù)列中，，，．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，，且，設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：．20．在邊長為2的正方形外作等邊（如圖1），將沿折起到處，使得，E為的中點（如圖2）．(1)求證：平面 平面；(2)求二面角的正弦值．21．已知橢圓的一個焦點為，其左頂點為A，上頂點為B，且到直線的距離為（O為坐標(biāo)原點）．(1)求C的方程；(2)若橢圓，則稱橢圓E為橢圓C的倍相似橢圓．已知橢圓E是橢圓C的3倍相似橢圓，直線與橢圓C，E交于四點（依次為M，N，P，Q，如圖），且，證明：點在定曲線上．22．已知（）．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)，，，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
參考答案：1．D【分析】分別求出集合和集合，再由進(jìn)行求解.【詳解】由已知，集合即函數(shù)的定義域，由不等式，即，解得，∴，集合即函數(shù)的值域，因為指數(shù)函數(shù)的值域為，所以函數(shù)的值域為，∴，∵，∴的取值范圍是.故選：D.2．B【分析】先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡，再計算模長.【詳解】，故選：B3．A【分析】根據(jù)直線平行求出，再由平行線間的距離公式求解即可.【詳解】因為，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意；所以，所以與之間的距離，故選：A4．B【分析】根據(jù)已知條件得出的值，利用兩角差的正切公式可得結(jié)果.【詳解】由題意知，所以故選：B.5．B【分析】直接利用雙曲線的定義，直接判斷，可得答案.【詳解】“的值為定值，”，若，則點的軌跡不是雙曲線，故充分性不成立；“點的軌跡是雙曲線”，則必有是平面內(nèi)兩個不同的定點，且滿足，故必要性成立；故選：B6．C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可求得切線方程.【詳解】，，又，所求切線方程為：，即.故選：C.7．C【分析】分別表示出A、B坐標(biāo)，利用求得，即可求出離心率.【詳解】因為F為雙曲線的下焦點，不妨設(shè)，所以過F作斜率為的直線，所以.因為是C的斜率大于0的漸近線，所以可設(shè).由聯(lián)立解得：.因為，所以，解得：.所以離心率.故選：C8．A【分析】由函數(shù)周期可求出，又由特殊值和，可求得和，進(jìn)而可得的解析式，再利用的圖象變換規(guī)律，求得的解析式．【詳解】依題意有，得，又，所以，且，得，又，得，所以，所以．故選：A．9．D【分析】根據(jù)橢圓過點求出，再求出焦點坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的最值求解.【詳解】因為橢圓過點和，所以，可得，所以，，設(shè)，由題意直線的方程為，即，因為點P在線段上，所以滿足， 則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的取值范圍為.故選：D10．A【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，又根據(jù)，可構(gòu)造函數(shù)，且函數(shù)為單調(diào)遞減，又因為，即可得出.【詳解】由題意可知，對任意正數(shù)x，y，當(dāng)時，，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，即導(dǎo)函數(shù)在恒成立；可得；構(gòu)造函數(shù)，則，所以，在上單調(diào)遞減；設(shè)函數(shù)，則，即在為單調(diào)遞減，所以,即；設(shè)函數(shù)，則，即在為單調(diào)遞減，所以，即；綜上可知，，即即得.故選：A.11．C【分析】根據(jù)題意，如圖，將四面體放在長方體中，為三棱錐，過點D作于E，則平面，結(jié)合二面角和異面直線所成的角的定義可得，求出DE，利用三棱錐的體積公式計算即可.【詳解】如圖，在長方體中，，過點D作于E，則平面，所以為二面角的所成角，為銳角，為異面直線與的所成角，所以，所以.由題意知，該四面體為三棱錐，由，所以該三棱錐的體積為.故選：C.12．D【分析】畫出曲線表示的圖形，分析AB選項；選項C，分析當(dāng)時，設(shè)，且，，然后根據(jù)題意分析點P的軌跡總在某個橢圓上即可；選項D，結(jié)合C的部分條件，加上中點公式，以及差點法，若存在，使得點P的軌跡總在某條直線上，則為常數(shù)，化簡分析即可解決問題.【詳解】選項A：如圖，曲線E所圍成圖形在正方形內(nèi)部，由正方形的面積為，所以曲線E所圍成圖形的面積小于36，故A正確；由A中圖形可知，曲線E關(guān)于軸對稱，所以曲線E與其對稱軸僅有兩個交點，故B正確；選項C：設(shè)，且，，當(dāng)時，，兩式相減的：所以， 又，所以故存在，使得點P的軌跡總在某個橢圓上，C正確選項D： 由，，由題意若存在，使得點P的軌跡總在某條直線上，則，兩式相減得： 即，又，所以，即，又，所以若存在，使得點P的軌跡總在某條直線上，則為常數(shù)，即為定值，因為分子分母次數(shù)不同，故若上式為定值，則恒成立，即，無解，假設(shè)不成立，所以不存在k，使得點P的軌跡總在某條直線上所以選項D不正確；故選：D.13．【分析】根據(jù)平面向量夾角公式，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，，設(shè)與的夾角為，，因為，所以，故答案為：14．或.【分析】先求出圓的圓心和半徑，然后分直線的斜率不存在和存在兩種情況求解即可.【詳解】由，得圓心為，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線恰好與圓相切，符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則，，解得，所以直線的方程為，即，綜上，直線l的方程為或，故答案為：或.15．【分析】根據(jù)題意得到的坐標(biāo)，設(shè)，由題意可得，列出方程即可得到結(jié)果.【詳解】因為直線與拋物線交于A，B兩點，不妨設(shè)且D為C上異于A，B的一點，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)則由可得化簡可得，因為，則即點D到直線的距離與p的比值為故答案為:16．【分析】根據(jù)極值點定義可將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同交點；利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，并由此得到的圖象；采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定且；假設(shè)，由可確定，進(jìn)而得到的值，結(jié)合圖象可確定的取值范圍.【詳解】，是的兩個極值點，是的兩根，又當(dāng)時，方程不成立，與有兩個不同的交點；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則圖象如下圖所示，由圖象可知：且；，；當(dāng)時，不妨令，則，即，，解得：，當(dāng)時，，若，則，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】方法點睛：本題考查根據(jù)極值點求解參數(shù)范圍問題，可將問題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)的問題，解決此類問題的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.17．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得到，進(jìn)而得到，即可求出A的大小；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和為，且為銳角三角形，從而可得出的取值范圍，再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)即可求解．【詳解】（1）由，則根據(jù)正弦定理有，即，又由余弦定理有，得，所以在中，得；（2）由為銳角三角形，且，則有，得，即，即，所以根據(jù)正弦定理有．18．(1)(2)或. 【分析】（1）由判斷出點的軌跡為以為直徑的圓(除去點)，進(jìn)而求其方程;（2）由圓的圓心的位置得,的關(guān)系,兩個圓方程相減得的方程,由弦長求,.【詳解】（1）當(dāng)故直線過定點， 直線，當(dāng)，故其過定點， 又,所以,所以點的軌跡為以為直徑的圓，當(dāng)時，兩直線交點為，但交點無法與點重合，故需除去點其圓心為原點,半徑為,所以曲線的方程為；（2）由(1)知,曲線的方程為，又圓的圓心為在直線上,所以,，兩圓方程作差得兩個圓的公共弦的方程為,即,因為兩個圓的公共弦的長為,原點到直線的距離為,所以,解得或,所以或.19．(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由可得到，根據(jù)累乘法求通項的方法，即可求出的通項公式；（2）由可知，可判斷數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出，即可求證.【詳解】（1）解：已知①，則，且②，，得，整理得，∴，，，，由累乘法可得， 又，，符合上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可知，，因為，所以，則數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，∴，，即，得證.20．(1)答案見解析(2) 【分析】取BC中點為O，建立以O為原點的空間直角坐標(biāo)系.（1）設(shè)平面PDE法向量為，平面PCD法向量為， 利用可證面面垂直.（2）求得平面PAD的法向量，后用向量法可求得二面角的余弦值，后可求得正弦值.【詳解】（1）因四邊形ABCD為正方形，則.又在三角形PCD中，，，，則.又平面PCD，平面PCD，，則平面PCD.取BC中點為O，AD中點為F，連接PO，OF.則.又平面PCD，則，得.故如圖建立以O為原點，以射線OB方向為x軸正方向，射線FO方向為y軸正方向，射線OP方向為z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系.則，.得，設(shè)平面PDE法向量為，則，取.設(shè)PCD法向量為，則，取.因，則平面 平面.（2）由（1）分析可知，平面PDE法向量為.又，設(shè)平面PAD的法向量，則，取.則，又由圖可知二面角平面角為銳角，則，得二面角的正弦值.21．(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出，，由此能求出橢圓的方程．（2）分別聯(lián)立直線與橢圓、橢圓的方程消元，可證明線段、中點相同，然后結(jié)合可得，由此可證明.【詳解】（1），直線的方程為，即，到直線的距離為，，又，解得，，橢圓的方程為：．（2）橢圓的3倍相似橢圓的方程為，設(shè)，，，各點坐標(biāo)依次為，，，，，，，，將代入橢圓方程，得：，，，，，將代入橢圓的方程得，，，，，線段，中點相同，，由可得，，所以，，化簡得，滿足式，，即點在定曲線上．22．(1)當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2) 【分析】（1）先求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)的取值范圍進(jìn)行分類討論即可；（2）當(dāng)，時，，去絕對值后，構(gòu)造函數(shù)求解即可.【詳解】（1）由已知，（）的定義域為，，①當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，則，，解得（舍），，∴當(dāng)時，，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，，，，，，等價于，即，令，，則恒成立，令，，則，令，解得，當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，的最大值為，∴當(dāng)時，，即，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，∴，，有，又∵在區(qū)間上單調(diào)遞減， ，，且，有，∴等價于，∴，設(shè)，，則，，且，等價于，即在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴，∵當(dāng)時，的最大值為，∴的最小值為，∴，綜上所述，滿足題意的實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題第（2）問解題的關(guān)鍵點有兩個，一個是將等價轉(zhuǎn)換為，便于構(gòu)造函數(shù)；另一個是通過構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性去絕對值. 

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