安徽省皖南八校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（    ）A． B． C． D．3．已知單位向量滿足，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．4．已知雙曲線以正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過該正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線E的離心率為（    ）A． B．C． D．5．在三棱錐中，，則三棱錐外接球的體積為（    ）A． B． C． D．6．已知圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是（    ）A． B． C． D．7．為落實(shí)疫情防控“動(dòng)態(tài)清零”總方針和“四早”要求，有效應(yīng)對奧密克戎變異株傳播風(fēng)險(xiǎn)，確保正常生活和生產(chǎn)秩序，某企業(yè)決定于每周的周二、周五各做一次抽檢核酸檢測.已知該企業(yè)組裝車間的某小組有6名工人，每次獨(dú)立、隨機(jī)的從中抽取3名工人參加核酸檢測.設(shè)該小組在一周內(nèi)的兩次抽檢中共有名不同的工人被抽中，下列結(jié)論不正確的是（    ）A．該小組中的工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為B．C．該小組中的工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為D．8．已知，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D． 二、多選題9．隨著時(shí)代與科技的發(fā)展，信號處理以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、量子力學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域.而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)，的圖象就可以近似的模擬某種信號的波形，則下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為D．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為410．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．當(dāng)，則直線的傾斜角為C．若，則點(diǎn)到軸的距離為8D．11．在底面邊長為2、高為4的正四棱柱中，為棱上一點(diǎn)，且分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為底面的中心，為線段的中點(diǎn)，則下列命題正確的是（    ）A．與共面B．三棱錐的體積為C．的最小值為D．當(dāng)時(shí)，過三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得截面的周長為12．已知都是定義在上的函數(shù)，對任意滿足，且，則下列說法正確的有（    ）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．D．若，則 三、填空題13．國慶節(jié)前夕，某市舉辦以“紅心頌黨恩、喜迎二十大”為主題的青少年學(xué)生演講比賽，其中10人比賽的成績從低到高依次為：85，86，88，88，89，90，92，93，94，98（單位：分），則這10人成績的第75百分位數(shù)是__________.14．在的展開式中，的系數(shù)為__________.15．已知，則__________.16．已知，不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為：_______． 四、解答題17．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù).18．近年來，我國大學(xué)生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢，各省市出臺優(yōu)惠政策鼓勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè)．某市統(tǒng)計(jì)了該市其中四所大學(xué)2021年的畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（單位：千人），得到如下表格： 大學(xué)大學(xué)大學(xué)大學(xué)當(dāng)年畢業(yè)人數(shù)（千人）3456自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（千人）0.10.20.40.5 (1)已知與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；(2)假設(shè)該市政府對選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生每人發(fā)放1萬元的創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼．（ⅰ）若該市大學(xué)2021年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府要給大學(xué)選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼的總金額；（ⅱ）若大學(xué)的畢業(yè)生中小明、小紅選擇自主創(chuàng)業(yè)的概率分別為，，該市政府對小明、小紅兩人的自主創(chuàng)業(yè)的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1.4萬元，求的取值范圍．參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為．19．如圖，將長方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中，劣弧的長為為圓的直徑.(1)在弧上是否存在點(diǎn)（在平面的同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；(2)求平面與平面夾角的余弦值.20．如圖，在平面四邊形中，，．(1)若平分，證明：；(2)記與的面積分別為和，求的最大值．21．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓的右頂點(diǎn)為，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，求面積的最大值.22．已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)設(shè)曲線與軸正半軸相交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線為，求證：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；(2)若關(guān)于的方程（為正實(shí)數(shù)）有兩個(gè)不等實(shí)根，求證：.
參考答案：1．C【分析】先利用一元二次不等式求出集合，然后再利用集合交集的運(yùn)算得出結(jié)果.【詳解】由解得，所以，因?yàn)?/span>，則.故選：C.2．D【分析】設(shè)，然后根據(jù)建立方程求解即可.【詳解】設(shè)，則，，解得，即.故選：D.3．C【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得，首先求得在上的投影數(shù)量，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由題意知：，，，，在上的投影向量為.故選：C.4．A【分析】利用已知條件列出方程組，求解得關(guān)于，的等式關(guān)系，轉(zhuǎn)化為離心率的式子，即可求得．【詳解】解：如圖，正方形的頂點(diǎn)A，B為雙曲線的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C，D在雙曲線上則，故由正方形得：，所以，則即：，兩邊同除得：，解得：或（舍）故選：A.5．A【分析】根據(jù)勾股定理可得，然后利用正弦定理可得，進(jìn)而可得的中點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，然后利用球的體積公式即得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，在中，由正弦定理得，即，所以，，取的中點(diǎn)，連接，則，即為三棱錐外接球的球心，外接球的半徑，所以三棱錐外接球的體積為.故選：A.6．D【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，由兩圓有公共點(diǎn)可確定圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】由圓方程得：圓心，半徑；直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離，即，解得：，的最小值為.故選：D.7．B【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算出每次抽取，工人甲被抽到的概率，進(jìn)而得到工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率；B選項(xiàng)，得到的可能取值，求出對應(yīng)的概率，得到BD選項(xiàng)；C選項(xiàng)，計(jì)算得到工人甲一周內(nèi)兩次均未被選中的概率，進(jìn)而利用對立事件的概率公式求出答案.【詳解】依題意每次抽取，工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為，故A正確；依題意的可能取值為，則，意味著第一次從6人中選中的3人，第二次仍然為這3人，則，同理可得：，所以，故B錯(cuò)誤；對于，工人甲一周內(nèi)兩次均未被選中的概率為，所以工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為，故正確；，意味著第一次先從6人中選中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人中的2人，另外一人從沒有抽到的3人中抽取，故概率為：，同理可得：，所以，故D正確.故選：B.8．B【分析】根據(jù) 是偶函數(shù)，可將自變量都轉(zhuǎn)到上，通過比較自變量的大小，以及判斷的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】， 是偶函數(shù)，又，記，則,所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，記當(dāng)時(shí)，,所以在單調(diào)遞減，故，即,記，當(dāng)時(shí)，,所以單調(diào)遞減，故，綜上可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故故選：B9．ABD【分析】由題可知，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得可判斷AC，根據(jù)奇偶性的概念可判斷B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?/span>R，對于A，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B， ，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于，由題知，故C錯(cuò)誤；對于，由題可知，故D正確.故選：.10．AD【分析】根據(jù)拋物線的圖象與幾何性質(zhì)，拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)逐個(gè)解決即可.其中對于D, .【詳解】對于A，易知，從而準(zhǔn)線方程為，故A正確；對于B，如圖分別過兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn).由于，不妨設(shè)，則，由拋物線的定義易知：，，在直角中，，此時(shí)的傾斜角為，根據(jù)拋物線的對稱性可知，的傾斜角為或，故B錯(cuò)誤；對于C，點(diǎn)，由拋物線的定義知，，所以有，所以到軸距離，故C錯(cuò)誤；對于D，由拋物線定義知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號，故D正確；故選:AD.11．ACD【分析】對于A，證明即可判斷；對于B，由等體積法即可判斷；對于C，展開平面，即可得到最小值；對于D，取，連接，即可得到截面，從而得到結(jié)果.【詳解】對于A，如圖1，在中，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，所以與共面，所以A正確；對于B，由，因?yàn)?/span>到平面的距離為定值2，且的面積為1，所以三棱錐的體積為，所以B錯(cuò)誤；對于C，如圖2，展開平面，使點(diǎn)共面，過作，交與點(diǎn)，交與點(diǎn)，則此時(shí)最小，易求的最小值為，則C正確；對于D，如圖3，取，連接，則，又，所以，所以共面，即過三點(diǎn)的正四棱柱的截面為，由，則是等腰梯形，且，所以平面截正四棱柱所得截面的周長為，所以D正確.故選:ACD.12．ABD【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷ABC，對于D，通過觀察選項(xiàng)可以推斷很可能為周期函數(shù)，結(jié)合，的特殊性以及一些已經(jīng)證明的結(jié)論，想到當(dāng)令和時(shí)可構(gòu)建出兩個(gè)式子，兩式相加即可得出，進(jìn)一步可得出是周期函數(shù)，從而可得出的值.【詳解】對于A，令，代入已知等式得，得，再令，，代入已知等式得，可得，結(jié)合得，故A正確；對于B，再令，代入已知等式得，將代入上式，得，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于C，再令，代入已知等式，得，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，故C錯(cuò)誤；對于D，分別令和，代入已知等式，得以下兩個(gè)等式：，兩式相加易得，所以有，即：，有：，即：，∴為周期函數(shù)，且周期為3，∵，∴，∴，，∴，∴，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于含有，，的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利用的點(diǎn)，以及利用證明了的條件或者選項(xiàng)；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、判斷某些關(guān)系，特別是有，雙變量，需要雙賦值，可以得到一個(gè)或多個(gè)關(guān)系式，進(jìn)而得到所需的關(guān)系.此過程中的難點(diǎn)是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設(shè)條件以及選項(xiàng)來決定.13．【分析】根據(jù)第百位數(shù)公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，根據(jù)第百位數(shù)的含義知，應(yīng)該選取第8個(gè)數(shù)作為第75百分位數(shù)，所以這10人成績的第75百分位數(shù)是93.故答案為：93.14．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，把看成和兩項(xiàng)，展開式中含的項(xiàng)為，再寫出展開式中項(xiàng)的系數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，把二項(xiàng)式看成由和兩項(xiàng)構(gòu)成，展開式中含的項(xiàng)為，再將展開可得含的項(xiàng)為即可知的系數(shù)為.故答案為：15．##【分析】先變形得到，再分別求出所需要的角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，，因?yàn)?/span>， 所以，所以，故故答案為：.16．【分析】將不等式化簡后，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解【詳解】，∴，構(gòu)造函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞增，故等價(jià)于，即任意的實(shí)數(shù)恒成立，．令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，得． 故答案為：17．(1)證明見解析(2)4 【分析】(1) 由，化簡可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求解；(2)由（1）可得，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和常數(shù)列的求和公式，求得，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由，可得，，又，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，故..令易知隨的增大而增大.，故滿足的最大整數(shù)為4.18．(1)(2)（ⅰ）萬元（ⅱ） 【分析】（1）首先求，再根據(jù)參考公式求，，即可求得回歸直線方程；（2）（ⅰ）根據(jù)（1）的結(jié)果，代入，求得，即可求得總金額；（ⅱ）首先列出隨機(jī)變量X的所有可能值為0，1，2 ，并求解對應(yīng)的概率和數(shù)學(xué)期望，并求，即可求解.【詳解】（1）由題意得，    ，   所以故得關(guān)于的線性回歸方程為（2）（ⅰ）將代入,所以估計(jì)該市政府需要給大學(xué)畢業(yè)生選擇自主創(chuàng)業(yè)的人員發(fā)放補(bǔ)貼金總額為（萬元）     （ⅱ）設(shè)小明、小紅兩人中選擇自主創(chuàng)業(yè)的人數(shù)為X,則X的所有可能值為0，1，2     ，     ∴     ,故的取值范圍為19．(1)存在，當(dāng)為圓柱的母線，(2) 【分析】（1）當(dāng)為圓柱的母線，證明平面，從而得出；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）存在，當(dāng)為圓柱的母線，.連接，因?yàn)?/span>為圓柱的母線，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以.因?yàn)?/span>為圓的直徑，所以.，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以.（2）以為原點(diǎn)，分別為軸，垂直于軸直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.，因?yàn)?/span>的長為，所以，設(shè)平面的法向量，令，解得，所以.因?yàn)?/span>軸垂直平面，所以設(shè)平面的法向量.所以.所以平面與平面夾角的余弦值為.20．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用可構(gòu)造方程求得，利用余弦定理可求得，由此可得結(jié)論；（2）在中，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，利用三角形面積公式化簡為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得最大值.【詳解】（1）平分，，則，由余弦定理得：，即，解得：；，，，又，，（2），，整理可得：；，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.21．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)橢圓過的點(diǎn)和右焦點(diǎn)，列方程組求出，則橢圓方程可求；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用韋達(dá)定理計(jì)算，可得的關(guān)系，利用的關(guān)系表示出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.【詳解】（1）依題可得解得所以橢圓的方程為；（2）易知直線與的斜率同號，所以直線不垂直于軸，故可設(shè)，由可得，，所以，即，而，即，化簡可得，，化簡得，所以或，所以直線或，因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，所以直線經(jīng)過定點(diǎn).所以直線的方程為，易知，設(shè)定點(diǎn)，因?yàn)?/span>，且，所以，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，即面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在圓錐曲線中涉及到三角形面積的求解時(shí)，常常有三種求解三角形面積的方法：（1）常規(guī)面積公式：底高；（2）正弦面積公式：；（3）鉛錘水平面面積公式：過軸上的定點(diǎn)：（為軸上定長）過軸上的定點(diǎn)（為軸上定長）22．(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出點(diǎn)處的切線方程，再令，然后求出其單調(diào)區(qū)間和最小值，從而可證得結(jié)論；（2）先求出的單調(diào)區(qū)間的最值，可得，由（1）得點(diǎn)處的切線方程，再求出在點(diǎn)處的切線方程，設(shè)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，表示出，則，然后證明即可.【詳解】（1）證明：由題意可得：，，可得曲線在點(diǎn)處的切線為.令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方.（2）證明：由（1）可得，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以的最大值為，，曲線在點(diǎn)處的切線為，由（1）得，令，，，∴由零點(diǎn)的存在性定理知，同理可得曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為則，.下面證明：.，，且，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關(guān)鍵是求出在點(diǎn)處和點(diǎn)處的切線方程，再求出與兩切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后將問題轉(zhuǎn)化為，再轉(zhuǎn)化為證明，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題. 

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